Metode Rasionalisasi Penyebut vs Substitusi Weierstrass

Pada kesempatan kali ini yana akan mengerjakan soal \displaystyle \int \frac{dx}{1+\sin x} dengan metode rasionalisasi penyebut dan substitusi Weierstrass. Apakah kedua metode hasilnya sama? Jika berbeda, saya akan menurunkan hasil pengintegralan dari dua metode yang berbeda untuk menunjukkan bahwa kedua metode valid digunakan.

  • Metode Rasionalisasi Penyebut

Diajarkan di SMA dan penyelesaian soal ini melibatkan identitas trigonometri.

\displaystyle \int \frac{dx}{1+\sin x}\\ =\int \left ( \frac{1}{1+\sin x}\, \frac{1-\sin x}{1+\sin x} \right )dx\\ =\int \frac{1-\sin x}{1-\sin^2 x}\, dx\\ =\int \frac{1-\sin x}{\cos^2 x}\, dx\\ =\int \left ( \frac{1}{\cos^2 x}-\frac{\sin x}{\cos^2 x} \right )dx

Sampai sini kita selesaikan dulu \displaystyle \int \frac{\sin x}{\cos^2 x}\, dx dengan metode substitusi:

\displaystyle u=\cos x\\ \frac{du}{dx}=-\sin x\rightarrow dx=-\frac{du}{\sin x}\\ \int \frac{\sin x}{\cos^2 x}\, dx\\ =\int \frac{\sin x}{u^2}\, \frac{du}{-\sin x}\\ =-\frac{1}{u}\\ =-\frac{1}{\cos x}=-\sec x

Jadi:

\displaystyle \int \left ( \frac{1}{\cos^2 x}-\frac{\sin x}{\cos^2 x} \right )dx\\ =\tan x-\sec x+C

  • Metode Substitusi Weierstrass

Digunakan untuk menyelesaikan integral fungsi rasional trigonometri. Ada 5 substitusi yang digunakan dan ‘mereka’ adalah:

\displaystyle t=\tan \left ( \frac{x}{2} \right )\\ dx=\frac{2}{1+t^2}\, dt\\ \sin x=\frac{2t}{1+t^2}\\ \cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}\\ \tan x=\frac{2t}{1-t^2}

Lalu darimana ke 5 nya diperoleh? Perhatikan gambar dibawah ini:

Weierstrass Substitution

Sekarang kita kerjakan soal ini:

\displaystyle \int \frac{dx}{1+\sin x}\\ =\int \frac{\frac{2dt}{1+t^2}}{1+\frac{2t}{1+t^2}}\\ =\int \frac{2dt}{1+t^2}\, \frac{1+t^2}{1+t^2+2t}\\ =2\int \frac{dt}{(1+t)^2}\\ =-\frac{2}{1+t}+C\\ =-\frac{2}{\tan \left ( \frac{x}{2} \right )+1}+C

Ternyata kedua metode menghasilkan jawaban yang beda. Kita turunkan kedua hasil yang diperoleh apakah hasilnya akan \displaystyle \frac{1}{1+\sin x} ?

  • \displaystyle \frac{d}{dx}(\tan x-\sec x)

\displaystyle =\sec^2 x-\sec x\tan x\\ =\sec x (\sec x-\tan x)\\ =\frac{\frac{1}{\cos x}-\frac{\sin x}{\cos x}}{\cos x}\\ =\frac{1-\sin x}{\cos^2 x}\\ =\frac{1-\sin x}{1-\sin^2 x}\\ =\frac{1-\sin x}{(1-\sin x)(1+\sin x)}\\ =\frac{1}{1+\sin x}

Metode pertama valid digunakan. Bagaimana dengan metode kedua?

\displaystyle \frac{d}{dx}\left ( -\frac{2}{\tan\left ( \frac{x}{2} \right )+1} \right )\\ =\frac{0\left [ \tan\left ( \frac{x}{2} \right )+1 \right ]-(-2)\left [ \frac{1}{2}\sec^2 \left ( \frac{x}{2} \right )+0 \right ]}{\left ( \tan\left ( \frac{x}{2} \right )+1 \right )^2}\\ =\frac{\sec^2 \left ( \frac{x}{2} \right )}{\left ( \tan\left ( \frac{x}{2} \right )+1 \right )^2}\\ =\frac{1}{\left ( \sin\left ( \frac{x}{2} \right )+\cos\left ( \frac{x}{2} \right ) \right )^2}\\ =\frac{1}{\sin^2\left ( \frac{x}{2} \right )+2\sin\left ( \frac{x}{2} \right )\cos\left ( \frac{x}{2} \right )+\cos^2\left ( \frac{x}{2} \right )}\\ =\frac{1}{1+\sin x}

Ternyata juga sama. Berati kedua metode valid untuk digunakan menyelesaikan soal dengan bentuk ini.

Iklan

How to Integrate ∫ sin 4x e^(tan² x) dx ?

Soal ini pada awal penyelesaian tidak langsung menggunakan metode parsial karena akan sangat sulit diselesaikan. Untuk menyelesaikannya kita menggunakan beberapa identitas trigonometri dan trik berupa rumus cepat (dibuktikan pada postingan ini). Penggunaan rumus sudut ganda disini tidak menggunakan rumus yang sudah dipelajari saat SMA. Kita menggunakan \displaystyle \sin 2x=\frac{2\tan x}{1+\tan^2 x}\: \textrm{dan}\: \cos 2x=\frac{1-\tan^2 x}{1+\tan^2 x}.

Mengapa saya memosting soal ini? Karena ternyata wolframalpha.com yang mungkin didewa-dewakan untuk menyelesaikan soal rumit saja tidak dapat menunjukkan cara penyelesaiannya (hanya hasilnya) untuk soal ini!

Integral Istimewa

 

\displaystyle \int \sin 4x\, e^{\tan^2 x}\: dx\\ =\int 2\sin 2x \cos 2x\, e^{\tan^2 x}\: dx\\ =2\int \frac{2\tan x}{1+\tan^2 x}\: \frac{1-\tan^2 x}{1+\tan^2 x}\, e^{\tan^2 x}\: dx\\\\ =4\int \frac{\tan x(1-\tan^2 x)}{(\sec^2 x)^2}\, e^{\tan^2 x}\: dx\\ u=\tan^2 x\\ du=2\tan x\sec^2 x\, dx\\ =4\int \frac{\tan x(1-u)e^u}{(\sec^2 x)^2}\: \frac{du}{2\sec^2 x\tan x}\\ =2\int \frac{1-u}{(\sec^2 x)^3}\, e^u\, du\\ =2\int \frac{1-u}{(1+\tan^2 x)^3}\, e^u\, du\\ =2\int \frac{1-u}{(1+u)^3}\, e^u\, du\\ =2\int \frac{1+1-1-u}{(1+u)^3}\, e^u\, du\\ =2\int \frac{2-(1+u)}{(1+u)^3}\, e^u\, du\\ =2\int e^u\left [ \frac{2}{(1+u)^3}-\frac{1+u}{(1+u)^3} \right ]du\\ =2\int e^u\left [\frac{2}{(1+u)^3}-\frac{1}{(1+u)^2} \right ]du\\ =2\int e^u\left [-\frac{1}{(1+u)^2}+\frac{2}{(1+u)^3} \right ]du

Permasalahan di atas merupakan bentuk ∫ e^u [f(u) + f‘(u)] du yang memberikan solusi e^u f(u) + C. Kita buktikan rumus ini dengan metode parsial:
\displaystyle \int e^u[f(u)+f'(u)]\, du\\ \int e^u[f(u)+f'(u)]\, du=\int e^uf(u)\, du+\int e^uf'(u)\, du\\ \int e^u[f(u)+f'(u)]\, du=\int e^uf(u)\, du+e^uf(u)-\int e^uf(u)\, du\\ \boxed {\int e^u[f(u)+f'(u)]\, du=e^uf(u)+C}

Jadi:

\displaystyle =-2e^u\frac{1}{(1+u)^2}+C\\ =-\frac{2e^{\tan^2 x}}{(1+\tan^2 x)^2}+C\\ =-\frac{2e^{\tan^2 x}}{\sec^4 x}+C\\ =-2\cos^4 x\, e^{\tan^2 x}+C

Menyelesaikan Integral Bentuk ∫ dx / (ax² + b)^n

Untuk integral seperti ini tidak dapat diselesaikan dengan pecahan parsial seperti \displaystyle \frac{1}{(x^2+1)^2}=\frac{Ax+B}{x^2+1}+\frac{Cx+D}{(x^2+1)^2} karena variabel A, B, C & D pada ruas kanan setelah dicari nilainya akan kembali lagi menjadi ruas kiri. Untuk menyelesaikan ini menggunakan metode parsial, tetapi saya akan menurunkan rumus reduksi untuk menyelesaikannya agar cepat diselesaikan yang mana rumusnya:

\displaystyle \boxed {\int \frac{dx}{(ax^2+b)^n}=\frac{2n-3}{2b(n-1)}\int \frac{dx}{(ax^2+b)^{n-1}}+\frac{x}{2b(n-1)(ax^2+b)^{n-1}}+C}

Bukti rumus di atas:

\displaystyle \int u\, dv=uv-\int v\, du\\ u=\frac{1}{(ax^2+b)^n}\rightarrow du=-\frac{-2anx}{(ax^2+b)^{n+1}}\: dx\\ dv=1\rightarrow v=x\\ \int \frac{dx}{(ax^2+b)^n}=\frac{x}{(ax^2+b)^n}+2n\int \frac{ax^2}{(ax^2+b)^{n+1}}\: dx+C\\ \int \frac{dx}{(ax^2+b)^n}=\frac{x}{(ax^2+b)^n}+2n\int \frac{ax^2+b-b}{(ax^2+b)^{n+1}}\: dx+C\\ \int \frac{dx}{(ax^2+b)^n}=\frac{x}{(ax^2+b)^n}+2n\int \left ( \frac{1}{(ax^2+b)^n}-\frac{b}{(ax^2+b)^{n+1}} \right )\: dx+C\\ \int \frac{dx}{(ax^2+b)^n}=\frac{x}{(ax^2+b)^n}+2n\int \frac{dx}{(ax^2+b)^n}-2nb\int \frac{dx}{(ax^2+b)^{n+1}}+C\\ 2nb\int \frac{dx}{(ax^2+b)^{n+1}}=2n\int \frac{dx}{(ax^2+b)^n}-\int \frac{dx}{(ax^2+b)^n}+\frac{x}{(ax^2+b)^n}+C\\ 2nb\int \frac{dx}{(ax^2+b)^{n+1}}=(2n-1)\int \frac{dx}{(ax^2+b)^n}+\frac{x}{(ax^2+b)^n}+C\\

Sampai sini, ubah n menjadi n – 1 dan bagi kedua ruas dengan 2(n – 1)b menghasilkan:

\displaystyle 2(n-1)b\int \frac{dx}{(ax^2+b)^n}=(2n-3)\int \frac{dx}{(ax^2+b)^{n-1}}+\frac{x}{(ax^2+b)^{n-1}}+C\\ \int \frac{dx}{(ax^2+b)^n}=\frac{2n-3}{2b(n-1)}\int \frac{dx}{(ax^2+b)^{n-1}}+\frac{x}{2b(n-1)(ax^2+b)^{n-1}}+C

Rumus sudah terbukti. Sekarang saya beri satu contoh soal yang diselesaikan dengan rumus reduksi tersebut:

\displaystyle \int \frac{dx}{(ax^2+b)^n}=\frac{2(2)-3}{2(1)(2-1)}\int \frac{dx}{(x^2+1)^{2-1}}+\frac{x}{2(1)(2-1)(x^2+1)^{2-1}}+C\\ =\frac{x}{2(x^2+1)}+\frac{1}{2}\int \frac{dx}{x^2+1}+C\\ =\frac{x}{2(x^2+1)}+\frac{1}{2}\arctan (x)+C\\ =\frac{\tan^{-1}(x)}{2}+\frac{x}{2(x^2+1)}+C

Menyelesaikan Soal Integral Parsial dengan Penalaran

Umumnya di sekolah kita mengerjakan soal integral parsial hanya membutuhkan pemahaman biasa tidak sampai menalar dengan tingkat tinggi (high order thinking skill), padahal hal ini juga baik untuk meningkatkan wawasan, apalagi untuk memecahkan suatu permasalahan kompleks. Di perguruan tinggi soal-soal matematika banyak yang membutuhkan HOTS untuk diselesaikan dan kita dituntut sebagai analisator bukan kalkulator. Saya akan memberikan 4 contoh soal yang diselesaikan dengan penalaran.

  • \displaystyle \int \arctan x\: dx

Ini masih menggunakan penalaran biasa untuk diselesaikan. Kita manipulasi menjadi ∫ arctan x (1) dx sehingga:

\displaystyle u=\arctan x\rightarrow du=\frac{1}{1+x^2}\: dx\\ dv=1\rightarrow v=x\\ \int \arctan x=x \arctan x -\int \frac{x}{1+x^2}\: dx\\ w=1+x^2\rightarrow dw=2x\: dx\\ \int \arctan x=x \arctan x -\int \frac{x}{w}\: \frac{dw}{2x}\\ \int \arctan x=x \arctan x -\frac{1}{2}\int \frac{1}{w}\: dw\\ \int \arctan x=x \arctan x -\frac{1}{2} \ln w+C\\ \int \arctan x=x \arctan x -\frac{\ln (x^2+1)}{2}+C

Tambahan, silahkan anda coba membuktikan \displaystyle \int \ln x= x(\ln (x)-1)+C\\ ! Cara pada nomor 1 berlaku untuk menyelesaikan soal integral fungsi invers trigonometri.

  • \displaystyle \int e^x \sin x\: dx\\

\displaystyle u=\sin x\rightarrow du=\cos x\: dx\\ dv=e^x\rightarrow v=e^x\\ \int e^x\sin x\: dx=e^x\sin x-\int e^x\cos x\: dx

Ternyata masih melibatkan integral parsial sekali lagi untuk ∫ e^x cos x dx:

\displaystyle u=\cos x\rightarrow du=-\sin x\: dx\\ dv=e^x\rightarrow v=e^x\\ \int e^x\cos x\: dx=e^x\cos x+\int e^x\sin x\: dx

Jadi:

\displaystyle \int e^x\sin x\: dx=e^x\sin x-\left ( e^x\cos x+\int e^x\sin x\: dx \right )\\ \int e^x\sin x\: dx=e^x\sin x-e^x\cos x-\int e^x\sin x\: dx\\ 2\int e^x\sin x\: dx=e^x(\sin x-\cos x)+C\\ \int e^x\sin x\: dx=\frac{e^x(\sin x-\cos x)}{2}+C

Mengapa bisa seperti ini? Karena pada ruas kanan ∫ e^x sin x dx = e^x sin x – e^x cos x – ∫ e^x  sin x dx tidak akan selesai solusinya jika terus dikerjakan.

  • \displaystyle \int x^5e^{x^2}\: dx

Soal ini melibatkan manipulasi aljabar dan teknik substitusi untuk menyelesaikannya karena misal dv = e^x^2 jika diintegralkan hasinya 1/2 √π erfi (x) yang merupakan error function, tentunya soal tidak bisa diselesaikan jika begini. Maka dari itu soal diubah menjadi ∫ x x^4 e^x^2 dx.

\displaystyle u=x^2\rightarrow u^2=x^4\\ dx=2x\: dx\\ \int x\: x^4e^{x^2}\: dx\\ =\int x\: u^2e^u\: \frac{du}{2x}\\ =\int x\: u^2e^u\: \frac{du}{2x}\\ =\frac{1}{2}\int u^2e^u\: du

Sampai sini saya menggunakan cara Tanzalin (DI method) agar lebih cepat diselesaikan:

Metode Tanzalin

\displaystyle \frac{1}{2}\int u^2e^u\: du\\ =\frac{u^2e^u-2ue^u+2e^u}{2}+C\\ =\frac{e^{x^2}(x^4-2x^2+2)}{2}+C

  • \displaystyle \int \frac{x^2}{(x\sin x+\cos x)^2}\: dx

Kalau ini benar-benar soal HOTS yang diselesaikan dengan metode integral parsial. Agar bisa diselesaikan dengan metode ini kita manipulasi menjadi \displaystyle \int x\sec x\: \frac{x\cos x}{(x\sin x+\cos x)^2}\: dx

\displaystyle u=x\sec x\\ \frac{du}{dx}=1\sec x+x\sec x\tan x\rightarrow du=\sec x\: (1+x\tan x)\: dx

dan:

\displaystyle dv=\frac{x\cos x}{(x\sin x+\cos x)^2}\\ v=\int \frac{x\cos x}{(x\sin x+\cos x)^2}\: dx\\ w=x\sin x+\cos x\\ \frac{dw}{dx}=1\sin x+x\cos x-\sin x\rightarrow dx=\frac{dw}{x\cos x}\\ \int \frac{x\cos x}{(x\sin x+\cos x)^2}\: dx\\ =\int \frac{x\cos x}{w^2}\frac{du}{x\cos x}\\ =-\frac{1}{w}\\ =-\frac{1}{x\sin x+\cos x}

maka:

\displaystyle \int \frac{x^2}{(x\sin x+\cos x)^2}\: dx\\ =\int x\sec x\frac{x\cos x}{(x\sin x+\cos x)^2}\: dx\\ =-x\sec x\: \frac{1}{x\sin x+\cos x}+\int \frac{1}{x\sin x+\cos x}\: \sec x\: (1+x\tan x)\: dx\\ =-\frac{x\sec x}{x\sin x+\cos x}+\int \frac{\sec x+x\sec x\tan x}{x\sin x+\cos x}\: dx\\ =-\frac{x\sec x}{x\sin x+\cos x}+\int \frac{\sec x+x\sec x\tan x}{x\tan x\cos x+\cos x}\: dx\\ =-\frac{x\sec x}{x\sin x+\cos x}+\int \frac{\sec x(1+x\tan x)}{\cos x(1+x\tan x)}\: dx\\ =-\frac{x\sec x}{x\sin x+\cos x}+\int \sec^2 x\: dx\\ =-\frac{x\sec x}{x\sin x+\cos x}+\tan x+C\\ =-\frac{x}{\cos x (x\sin x+\cos x)}+\frac{\sin x}{\cos x}+C\\ =\frac{-x+\sin x(x\sin x+\cos x)}{\cos x (x\sin x+\cos x)}+C\\ =\frac{-x+\sin^2 x+\sin x\cos x}{\cos x (x\sin x+\cos x)}+C\\ =\frac{-x+(1-\cos^2 x)+\sin x\cos x}{\cos x (x\sin x+\cos x)}+C\\ =\frac{\cos x(-x\cos x+\sin x)}{\cos x (x\sin x+\cos x)}+C\\ =\frac{\sin x-x\cos x}{x\sin x+\cos x}+C

Soal Integral Fungsi Rasional yang ‘Tak Biasa’

Mengapa tak biasa? Karena soal mengenai integral ini yang diberikan di mata kuliah kalkulus biasanya penyebut sudah menunjukkan bentuk faktor linear tak berulang, faktor linear berulang, faktor kuadrat tak berulang dan faktor kuadrat berulang dengan D < 0 (definit) untuk faktor kuadratnya. Sebenarnya soal ini dari https://brainly.co.id/tugas/11455236 tetapi hanya menyuruh menjadikan ke pecahan parsial saja. Jawaban yang diberikan bebar tetapi kurang lengkap penyelesaiannya. Maka dari itu saya perjelas dalam postingan ini.

\displaystyle \int \frac{7x^4-11x^3+3x^2+7x-2}{x^5-x^4-2x^3+2x^2+x-1}\: dx

Faktorkan penyebut terlebih dahulu dengan bagan Horner:

Bagan Horner
Memfaktorkan polinomial berderajat 5 dengan bagan Horner.

Berdasarkan uraian di atas maka \displaystyle x^5-x^4-2x^3+2x^2+x-1=(x+1)^2(x-1)^3. Bentuk faktor yang diperoleh merupakan faktor linear berulang, sehingga:

\displaystyle \frac{7x^4-11x^3+3x^2+7x-2}{x^5-x^4-2x^3+2x^2+x-1}= \frac{A}{x-1}+\frac{B}{(x+1)^2}+\frac{C}{x-1}+\frac{D}{(x-1)^2}+\frac{E}{(x-1)^3}\\ \frac{7x^4-11x^3+3x^2+7x-2}{(x+1)^2(x-1)^3}= \frac{A(x+1)(x-1)^3+B(x-1)^3+C(x+1)^2(x-1)^2+D(x+1)^2(x-1)+E(x+1)^2}{(x+1)^2(x-1)^3}

Sampai sini kita cari nilai dari dua dari lima variabel (A, B, C, D & E) dengan mensubstitusi akar-akar real dari penyebut ke:

\displaystyle 7x^4-11x^3+3x^2+7x-2=A(x+1)(x-1)^3+B(x-1)^3+C(x+1)^2(x-1)^2+D(x+1)^2(x-1)+E(x+1)^2 ... (*)

agar mempermudah perhitungan yang mana akar-akar real nya -1 dan 1.

Substitusi -1 ke  (*) menghasilkan:

\displaystyle 7(-1)^4-11(-1)^3+3(-1)^2+7(-1)-2=A(-1+1)(-1-1)^3+B(-1-1)^3+C(-1+1)^2(-1-1)^2+D(-1+1)^2(-1-1)+E(-1+1)^2\\ 12=-8B\rightarrow B=-\frac{3}{2}

Substitusi 1 ke  (*) menghasilkan:

\displaystyle 7(1)^4-11(1)^3+3(1)^2+7(1)-2=A(1+1)(1-1)^3+B(1-1)^3+C(1+1)^2(1-1)^2+D(1+1)^2(1-1)+E(1+1)^2\\ 4=4E\rightarrow E=1

lalu substitusi B dan E ke (*), jabarkan dan kelompokkan seperti berikut:

\displaystyle 7x^4-11x^3+3x^2+7x-2=A(x+1)(x-1)^3-\frac{3}{2}(x-1)^3+C(x+1)^2(x-1)^2+D(x+1)^2(x-1)+(x+1)^2\\ 7x^4-11x^3+3x^2+7x-2=(A+C)x^4+\left ( D-2A-\frac{3}{2} \right )x^3+\left ( D-2C+\frac{11}{2} \right )x^2+\left ( 2A-D-\frac{5}{2} \right )x+\left ( C-A-D+1+\frac{3}{2} \right )

Akhirnya terbentuk 5 persamaan yang diperoleh dari pengelompokann tadi dengan menyamakan konstanta pada ruas kiri:

\displaystyle A+C=7\\ D-2A-\frac{3}{2}=-11\\ D-2C+\frac{11}{2}=3\\ 2A-D-\frac{5}{2}=7\\ C-A-D+1+\frac{3}{2}=-2

Kita cari nilai dari A, C & E:

\displaystyle D-2A=-\frac{19}{2}\\ D-2(7-C)=-\frac{19}{2}\\ D+2C=\frac{9}{2}\\ D+2C=\frac{9}{2}\\ D-2C=-\frac{5}{2}\\ 4C=7\rightarrow C=\frac{7}{4}\\ D-2\left ( \frac{7}{4} \right )=-\frac{5}{2}\rightarrow D=1\\ 2A-1=\frac{19}{2}\rightarrow A=\frac{21}{4}

Jadi:

\displaystyle \int \frac{7x^4-11x^3+3x^2+7x-2}{x^5-x^4-2x^3+2x^2+x-1}\: dx\\ =\int \left ( \frac{21}{4(x-1)}-\frac{3}{2(x-1)^2}+\frac{7}{4(x-1)}+\frac{1}{(x-1)^2}+\frac{1}{(x-1)^3} \right )dx\\ =\frac{21\ln |x-1|}{4}+\frac{3}{2(x-1)}+\frac{7\ln |x-1|}{4}-\frac{1}{x-1}-\frac{1}{2(x-1)^2}+C\\ =\frac{21\ln |x-1|+7\ln |x-1|}{4}+\frac{3(x-1)-2(x-1)-1}{2(x-1)^2}+C\\ =\frac{21\ln |x-1|+7\ln |x-1|}{4}+\frac{(x-1)(3-2)-1}{2(x-1)^2}+C\\ =\frac{21\ln |x-1|+7\ln |x-1|}{4}+\frac{x-2}{2(x-1)^2}+C