Menyelesaikan Integral Bentuk ∫ dx / (ax² + b)^n

Untuk integral seperti ini tidak dapat diselesaikan dengan pecahan parsial seperti \displaystyle \frac{1}{(x^2+1)^2}=\frac{Ax+B}{x^2+1}+\frac{Cx+D}{(x^2+1)^2} karena variabel A, B, C & D pada ruas kanan setelah dicari nilainya akan kembali lagi menjadi ruas kiri. Untuk menyelesaikan ini menggunakan metode parsial, tetapi saya akan menurunkan rumus reduksi untuk menyelesaikannya agar cepat diselesaikan yang mana rumusnya:

\displaystyle \boxed {\int \frac{dx}{(ax^2+b)^n}=\frac{2n-3}{2b(n-1)}\int \frac{dx}{(ax^2+b)^{n-1}}+\frac{x}{2b(n-1)(ax^2+b)^{n-1}}+C}

Bukti rumus di atas:

\displaystyle \int u\, dv=uv-\int v\, du\\ u=\frac{1}{(ax^2+b)^n}\rightarrow du=-\frac{-2anx}{(ax^2+b)^{n+1}}\: dx\\ dv=1\rightarrow v=x\\ \int \frac{dx}{(ax^2+b)^n}=\frac{x}{(ax^2+b)^n}+2n\int \frac{ax^2}{(ax^2+b)^{n+1}}\: dx+C\\ \int \frac{dx}{(ax^2+b)^n}=\frac{x}{(ax^2+b)^n}+2n\int \frac{ax^2+b-b}{(ax^2+b)^{n+1}}\: dx+C\\ \int \frac{dx}{(ax^2+b)^n}=\frac{x}{(ax^2+b)^n}+2n\int \left ( \frac{1}{(ax^2+b)^n}-\frac{b}{(ax^2+b)^{n+1}} \right )\: dx+C\\ \int \frac{dx}{(ax^2+b)^n}=\frac{x}{(ax^2+b)^n}+2n\int \frac{dx}{(ax^2+b)^n}-2nb\int \frac{dx}{(ax^2+b)^{n+1}}+C\\ 2nb\int \frac{dx}{(ax^2+b)^{n+1}}=2n\int \frac{dx}{(ax^2+b)^n}-\int \frac{dx}{(ax^2+b)^n}+\frac{x}{(ax^2+b)^n}+C\\ 2nb\int \frac{dx}{(ax^2+b)^{n+1}}=(2n-1)\int \frac{dx}{(ax^2+b)^n}+\frac{x}{(ax^2+b)^n}+C\\

Sampai sini, ubah n menjadi n – 1 dan bagi kedua ruas dengan 2(n – 1)b menghasilkan:

\displaystyle 2(n-1)b\int \frac{dx}{(ax^2+b)^n}=(2n-3)\int \frac{dx}{(ax^2+b)^{n-1}}+\frac{x}{(ax^2+b)^{n-1}}+C\\ \int \frac{dx}{(ax^2+b)^n}=\frac{2n-3}{2b(n-1)}\int \frac{dx}{(ax^2+b)^{n-1}}+\frac{x}{2b(n-1)(ax^2+b)^{n-1}}+C

Rumus sudah terbukti. Sekarang saya beri satu contoh soal yang diselesaikan dengan rumus reduksi tersebut:

\displaystyle \int \frac{dx}{(ax^2+b)^n}=\frac{2(2)-3}{2(1)(2-1)}\int \frac{dx}{(x^2+1)^{2-1}}+\frac{x}{2(1)(2-1)(x^2+1)^{2-1}}+C\\ =\frac{x}{2(x^2+1)}+\frac{1}{2}\int \frac{dx}{x^2+1}+C\\ =\frac{x}{2(x^2+1)}+\frac{1}{2}\arctan (x)+C\\ =\frac{\tan^{-1}(x)}{2}+\frac{x}{2(x^2+1)}+C

Iklan

Menyelesaikan Soal Integral Parsial dengan Penalaran

Umumnya di sekolah kita mengerjakan soal integral parsial hanya membutuhkan pemahaman biasa tidak sampai menalar dengan tingkat tinggi (high order thinking skill), padahal hal ini juga baik untuk meningkatkan wawasan, apalagi untuk memecahkan suatu permasalahan kompleks. Di perguruan tinggi soal-soal matematika banyak yang membutuhkan HOTS untuk diselesaikan dan kita dituntut sebagai analisator bukan kalkulator. Saya akan memberikan 4 contoh soal yang diselesaikan dengan penalaran.

  • \displaystyle \int \arctan x\: dx

Ini masih menggunakan penalaran biasa untuk diselesaikan. Kita manipulasi menjadi ∫ arctan x (1) dx sehingga:

\displaystyle u=\arctan x\rightarrow du=\frac{1}{1+x^2}\: dx\\ dv=1\rightarrow v=x\\ \int \arctan x=x \arctan x -\int \frac{x}{1+x^2}\: dx\\ w=1+x^2\rightarrow dw=2x\: dx\\ \int \arctan x=x \arctan x -\int \frac{x}{w}\: \frac{dw}{2x}\\ \int \arctan x=x \arctan x -\frac{1}{2}\int \frac{1}{w}\: dw\\ \int \arctan x=x \arctan x -\frac{1}{2} \ln w+C\\ \int \arctan x=x \arctan x -\frac{\ln (x^2+1)}{2}+C

Tambahan, silahkan anda coba membuktikan \displaystyle \int \ln x= x(\ln (x)-1)+C\\ ! Cara pada nomor 1 berlaku untuk menyelesaikan soal integral fungsi invers trigonometri.

  • \displaystyle \int e^x \sin x\: dx\\

\displaystyle u=\sin x\rightarrow du=\cos x\: dx\\ dv=e^x\rightarrow v=e^x\\ \int e^x\sin x\: dx=e^x\sin x-\int e^x\cos x\: dx

Ternyata masih melibatkan integral parsial sekali lagi untuk ∫ e^x cos x dx:

\displaystyle u=\cos x\rightarrow du=-\sin x\: dx\\ dv=e^x\rightarrow v=e^x\\ \int e^x\cos x\: dx=e^x\cos x+\int e^x\sin x\: dx

Jadi:

\displaystyle \int e^x\sin x\: dx=e^x\sin x-\left ( e^x\cos x+\int e^x\sin x\: dx \right )\\ \int e^x\sin x\: dx=e^x\sin x-e^x\cos x-\int e^x\sin x\: dx\\ 2\int e^x\sin x\: dx=e^x(\sin x-\cos x)+C\\ \int e^x\sin x\: dx=\frac{e^x(\sin x-\cos x)}{2}+C

Mengapa bisa seperti ini? Karena pada ruas kanan ∫ e^x sin x dx = e^x sin x – e^x cos x – ∫ e^x  sin x dx tidak akan selesai solusinya jika terus dikerjakan.

  • \displaystyle \int x^5e^{x^2}\: dx

Soal ini melibatkan manipulasi aljabar dan teknik substitusi untuk menyelesaikannya karena misal dv = e^x^2 jika diintegralkan hasinya 1/2 √π erfi (x) yang merupakan error function, tentunya soal tidak bisa diselesaikan jika begini. Maka dari itu soal diubah menjadi ∫ x x^4 e^x^2 dx.

\displaystyle u=x^2\rightarrow u^2=x^4\\ dx=2x\: dx\\ \int x\: x^4e^{x^2}\: dx\\ =\int x\: u^2e^u\: \frac{du}{2x}\\ =\int x\: u^2e^u\: \frac{du}{2x}\\ =\frac{1}{2}\int u^2e^u\: du

Sampai sini saya menggunakan cara Tanzalin (DI method) agar lebih cepat diselesaikan:

Metode Tanzalin

\displaystyle \frac{1}{2}\int u^2e^u\: du\\ =\frac{u^2e^u-2ue^u+2e^u}{2}+C\\ =\frac{e^{x^2}(x^4-2x^2+2)}{2}+C

  • \displaystyle \int \frac{x^2}{(x\sin x+\cos x)^2}\: dx

Kalau ini benar-benar soal HOTS yang diselesaikan dengan metode integral parsial. Agar bisa diselesaikan dengan metode ini kita manipulasi menjadi \displaystyle \int x\sec x\: \frac{x\cos x}{(x\sin x+\cos x)^2}\: dx

\displaystyle u=x\sec x\\ \frac{du}{dx}=1\sec x+x\sec x\tan x\rightarrow du=\sec x\: (1+x\tan x)\: dx

dan:

\displaystyle dv=\frac{x\cos x}{(x\sin x+\cos x)^2}\\ v=\int \frac{x\cos x}{(x\sin x+\cos x)^2}\: dx\\ w=x\sin x+\cos x\\ \frac{dw}{dx}=1\sin x+x\cos x-\sin x\rightarrow dx=\frac{dw}{x\cos x}\\ \int \frac{x\cos x}{(x\sin x+\cos x)^2}\: dx\\ =\int \frac{x\cos x}{w^2}\frac{du}{x\cos x}\\ =-\frac{1}{w}\\ =-\frac{1}{x\sin x+\cos x}

maka:

\displaystyle \int \frac{x^2}{(x\sin x+\cos x)^2}\: dx\\ =\int x\sec x\frac{x\cos x}{(x\sin x+\cos x)^2}\: dx\\ =-x\sec x\: \frac{1}{x\sin x+\cos x}+\int \frac{1}{x\sin x+\cos x}\: \sec x\: (1+x\tan x)\: dx\\ =-\frac{x\sec x}{x\sin x+\cos x}+\int \frac{\sec x+x\sec x\tan x}{x\sin x+\cos x}\: dx\\ =-\frac{x\sec x}{x\sin x+\cos x}+\int \frac{\sec x+x\sec x\tan x}{x\tan x\cos x+\cos x}\: dx\\ =-\frac{x\sec x}{x\sin x+\cos x}+\int \frac{\sec x(1+x\tan x)}{\cos x(1+x\tan x)}\: dx\\ =-\frac{x\sec x}{x\sin x+\cos x}+\int \sec^2 x\: dx\\ =-\frac{x\sec x}{x\sin x+\cos x}+\tan x+C\\ =-\frac{x}{\cos x (x\sin x+\cos x)}+\frac{\sin x}{\cos x}+C\\ =\frac{-x+\sin x(x\sin x+\cos x)}{\cos x (x\sin x+\cos x)}+C\\ =\frac{-x+\sin^2 x+\sin x\cos x}{\cos x (x\sin x+\cos x)}+C\\ =\frac{-x+(1-\cos^2 x)+\sin x\cos x}{\cos x (x\sin x+\cos x)}+C\\ =\frac{\cos x(-x\cos x+\sin x)}{\cos x (x\sin x+\cos x)}+C\\ =\frac{\sin x-x\cos x}{x\sin x+\cos x}+C

Soal Integral Fungsi Rasional yang ‘Tak Biasa’

Mengapa tak biasa? Karena soal mengenai integral ini yang diberikan di mata kuliah kalkulus biasanya penyebut sudah menunjukkan bentuk faktor linear tak berulang, faktor linear berulang, faktor kuadrat tak berulang dan faktor kuadrat berulang dengan D < 0 (definit) untuk faktor kuadratnya. Sebenarnya soal ini dari https://brainly.co.id/tugas/11455236 tetapi hanya menyuruh menjadikan ke pecahan parsial saja. Jawaban yang diberikan bebar tetapi kurang lengkap penyelesaiannya. Maka dari itu saya perjelas dalam postingan ini.

\displaystyle \int \frac{7x^4-11x^3+3x^2+7x-2}{x^5-x^4-2x^3+2x^2+x-1}\: dx

Faktorkan penyebut terlebih dahulu dengan bagan Horner:

Bagan Horner
Memfaktorkan polinomial berderajat 5 dengan bagan Horner.

Berdasarkan uraian di atas maka \displaystyle x^5-x^4-2x^3+2x^2+x-1=(x+1)^2(x-1)^3. Bentuk faktor yang diperoleh merupakan faktor linear berulang, sehingga:

\displaystyle \frac{7x^4-11x^3+3x^2+7x-2}{x^5-x^4-2x^3+2x^2+x-1}= \frac{A}{x-1}+\frac{B}{(x+1)^2}+\frac{C}{x-1}+\frac{D}{(x-1)^2}+\frac{E}{(x-1)^3}\\ \frac{7x^4-11x^3+3x^2+7x-2}{(x+1)^2(x-1)^3}= \frac{A(x+1)(x-1)^3+B(x-1)^3+C(x+1)^2(x-1)^2+D(x+1)^2(x-1)+E(x+1)^2}{(x+1)^2(x-1)^3}

Sampai sini kita cari nilai dari dua dari lima variabel (A, B, C, D & E) dengan mensubstitusi akar-akar real dari penyebut ke:

\displaystyle 7x^4-11x^3+3x^2+7x-2=A(x+1)(x-1)^3+B(x-1)^3+C(x+1)^2(x-1)^2+D(x+1)^2(x-1)+E(x+1)^2 ... (*)

agar mempermudah perhitungan yang mana akar-akar real nya -1 dan 1.

Substitusi -1 ke  (*) menghasilkan:

\displaystyle 7(-1)^4-11(-1)^3+3(-1)^2+7(-1)-2=A(-1+1)(-1-1)^3+B(-1-1)^3+C(-1+1)^2(-1-1)^2+D(-1+1)^2(-1-1)+E(-1+1)^2\\ 12=-8B\rightarrow B=-\frac{3}{2}

Substitusi 1 ke  (*) menghasilkan:

\displaystyle 7(1)^4-11(1)^3+3(1)^2+7(1)-2=A(1+1)(1-1)^3+B(1-1)^3+C(1+1)^2(1-1)^2+D(1+1)^2(1-1)+E(1+1)^2\\ 4=4E\rightarrow E=1

lalu substitusi B dan E ke (*), jabarkan dan kelompokkan seperti berikut:

\displaystyle 7x^4-11x^3+3x^2+7x-2=A(x+1)(x-1)^3-\frac{3}{2}(x-1)^3+C(x+1)^2(x-1)^2+D(x+1)^2(x-1)+(x+1)^2\\ 7x^4-11x^3+3x^2+7x-2=(A+C)x^4+\left ( D-2A-\frac{3}{2} \right )x^3+\left ( D-2C+\frac{11}{2} \right )x^2+\left ( 2A-D-\frac{5}{2} \right )x+\left ( C-A-D+1+\frac{3}{2} \right )

Akhirnya terbentuk 5 persamaan yang diperoleh dari pengelompokann tadi dengan menyamakan konstanta pada ruas kiri:

\displaystyle A+C=7\\ D-2A-\frac{3}{2}=-11\\ D-2C+\frac{11}{2}=3\\ 2A-D-\frac{5}{2}=7\\ C-A-D+1+\frac{3}{2}=-2

Kita cari nilai dari A, C & E:

\displaystyle D-2A=-\frac{19}{2}\\ D-2(7-C)=-\frac{19}{2}\\ D+2C=\frac{9}{2}\\ D+2C=\frac{9}{2}\\ D-2C=-\frac{5}{2}\\ 4C=7\rightarrow C=\frac{7}{4}\\ D-2\left ( \frac{7}{4} \right )=-\frac{5}{2}\rightarrow D=1\\ 2A-1=\frac{19}{2}\rightarrow A=\frac{21}{4}

Jadi:

\displaystyle \int \frac{7x^4-11x^3+3x^2+7x-2}{x^5-x^4-2x^3+2x^2+x-1}\: dx\\ =\int \left ( \frac{21}{4(x-1)}-\frac{3}{2(x-1)^2}+\frac{7}{4(x-1)}+\frac{1}{(x-1)^2}+\frac{1}{(x-1)^3} \right )dx\\ =\frac{21\ln |x-1|}{4}+\frac{3}{2(x-1)}+\frac{7\ln |x-1|}{4}-\frac{1}{x-1}-\frac{1}{2(x-1)^2}+C\\ =\frac{21\ln |x-1|+7\ln |x-1|}{4}+\frac{3(x-1)-2(x-1)-1}{2(x-1)^2}+C\\ =\frac{21\ln |x-1|+7\ln |x-1|}{4}+\frac{(x-1)(3-2)-1}{2(x-1)^2}+C\\ =\frac{21\ln |x-1|+7\ln |x-1|}{4}+\frac{x-2}{2(x-1)^2}+C

 

Integral Parsial vs Integral Substitusi

Apa yang ada di benah anda jika melihat soal ∫ 2x(x – 6)^4 dx ? Anda pasti mengerjakannya menggunakan metode  parsial (integration by parts method) karena 2x(x – 6)^4 merupakan bentuk perkalian. Akan tetapi integral yang melibatkan bentuk itu tidak semua harus dikerjakan dengan metode parsial. Sekarang saja selesaikan dengan metode parsial kemudian dengan metode substitusi.

\displaystyle \int 2x(x-6)^4dx\\ \\ \int u\, dv=uv-\int v\, du\\ u=2x\rightarrow dx=\frac{du}{2}\\ dv=(x-6)^4\rightarrow v=\frac{(x-6)^5}{5}\\ \int 2x(x-6)^4dx=(2x)\, \frac{(x-6)^5}{5}-\int \frac{(x-6)^5}{5}\, (2\, dx)\\ =\frac{2x(x-6)^5}{2}-\frac{2}{5}\, \frac{(x-6)^6}{6}+C\\ =\frac{2x(x-6)^5}{2}-\frac{(x-6)^6}{15}+C\\ = \frac{6x(x-6)^5-(x-6)^6}{15}+C\\ =\frac{(x-6)^5\, [6x-(x-6)]}{15}+C\\ =\frac{(x-6)^5\, (5x+6)}{15}+C

Bandingkan dengan menggunakan metode substitusi:

\displaystyle \int 2x(x-6)^4dx\\  u=x-6\rightarrow x=u-6\\ du=dx\\ 2\int (u+6)u^4du\\ =2\left ( \frac{u^6}{6}+\frac{6u^5}{5} \right )+C\\ =\frac{(x-6)^6}{3}+\frac{12(x-6)^5}{5}+C\\ =\frac{5(x-6)^6+36(x-6)^5}{15}+C\\ =\frac{(x-6)^5\, [5(x-6)+36]}{15}+C\\ =\frac{(x-6)^5\, (5x+6)}{15}+C

Sekarang kalau soalnya begini: ∫ 4x√(3x – 2) dx

Dengan metode substitusi:

\displaystyle \int 4x\sqrt{3x-2}\, dx\\ \displaystyle u=3x-2\rightarrow x=\frac{u+2}{3}\\ du=3\, dx\rightarrow dx=\frac{du}{3}\\  4\int \frac{u+2}{3}u^{\frac{1}{2}}\, \frac{du}{3}\\ =\frac{4}{9}\int \left ( u^{\frac{3}{2}}+2u^{\frac{1}{2}} \right )du\\ =\frac{4}{9}\left [ \frac{2(3x-2)^{\frac{5}{2}}}{5}+\frac{4(3x-2)^{\frac{3}{2}}}{3} \right ]+C\\ =\frac{8(3x-2)^{\frac{5}{2}}}{45}+\frac{16(3x-2)^{\frac{3}{2}}}{27}+C\\ =\frac{24(3x-2)^{\frac{5}{2}}+80(3x-2)^{\frac{3}{2}}}{135}+C\\ =\frac{(3x-2)^{\frac{3}{2}}[24(3x-2)+80(3x-2)^0]}{135}+C\\ =\frac{8(3x-2)^{\frac{3}{2}}(9x+4)}{135}+C

Dengan metode parsial:

\displaystyle \int 4x\sqrt{3x-2}dx\\  u=4x\rightarrow du=4\, dx\\ dv=(3x-2)^\frac{1}{2}\rightarrow v=\frac{2(3x-2)^{\frac{3}{2}}}{9}\\ \int 4x\sqrt{3x-2}\, dx=\frac{2(3x-2)^{\frac{3}{2}}}{9}(4x)-\int \frac{2(3x-2)^{\frac{3}{2}}}{9}(4\, dx)\\ =\frac{8(3x-2)^{\frac{3}{2}}}{9}-\frac{8}{9}\int (3x-2)^{\frac{3}{2}}\, dx\\ =\frac{8(3x-2)^{\frac{3}{2}}}{9}-\frac{8}{9}\: \frac{2(3x-2)^{\frac{5}{2}}}{15}+C\\ =\frac{8(3x-2)^{\frac{3}{2}}}{9}-\frac{16(3x-2)^{\frac{5}{2}}}{135}+C\\ =\frac{120x(3x-2)^{\frac{3}{2}}-16(3x-2)^{\frac{5}{2}}}{135}+C\\ =\frac{(3x-2)^{\frac{3}{2}}[120x-16(3x-2)]}{135}+C\\ =\frac{8(3x-2)^{\frac{3}{2}}(9x+4)}{135}+C

Ternyata pada soal kedua jika diselesaikan dengan metode  parsial lebih lama waktunya karena juga melibatkan integral substitusi. Jadi untuk menyelesaikan bentuk soal seperti soal kedua lebih efisien menggunakan integral substitusi.

Lalu metode parsial sebaiknya digunakan jika bentuk soal bagaimana? Digunakan apabila u dan dv merupakan fungsi yang berbeda jenisnya. Contoh soal yang harus menggunakan metode parsial:

  1. ∫ arcsin x dx
  2. x² ln x dx
  3. x² e^(2x) dx
  4. ∫ e^x sin x dx

Dua Soal Identitas Trigonometri dari Sukino Beserta Penyelesaiannya

  • Soal pertama dari nomor 8 halaman 352 Matematika Kelas XII Sukino Kelompok Peminatan MIPA Kurikulum 2013 yang mana bunyi soalnya, Tunjukkan bahwa:

\displaystyle \frac{1+\sin \theta }{1+\cos \theta }=\frac{1}{2}\left [ \tan \left ( \frac{\theta}{2}\right)+1 \right ]^2

Soal ini mudah hanya agar bisa diselesaikan harus menggunakan identitas trigonometri yang tepat!

\displaystyle \frac{1}{2}\left [ \tan \left ( \frac{\theta}{2}\right)+1 \right ]^2\\ =\frac{1}{2}\left [ \tan^2 \left ( \frac{\theta}{2} \right )+2\tan \left ( \frac{\theta}{2} \right )+1 \right ]\\ =\frac{1}{2}\left ( \frac{1-\cos \theta }{1+\cos \theta}+2\frac{\sin \theta}{1+\cos \theta}+1 \right )\\=\frac{1}{2}\: \frac{1-\cos \theta +2\sin \theta +1+\cos \theta }{1+\cos \theta }\\ =\frac{1}{2}\: \frac{2(1+\sin \theta ) }{1+\cos \theta }\\ =\frac{1+\sin \theta}{1+\cos \theta}
TERBUKTI.

  • Soal kedua dari nomor 10f halaman 346 Matematika Kelas XII Sukino Kelompok Peminatan MIPA Kurikulum 2013 yang mana bunyi soalnya, Buktikanlah kebenaran setiap identitas berikut:

\displaystyle \frac{1+\sin \theta +\cos \theta }{1+\sin \theta -\cos \theta}=\cot \left ( \frac{\theta}{2} \right )

Di buku soal no 10 ada 10 sub soal (10a – 10j) tetapi hanya satu yang saya kerjakan. Teknik untuk mengerjakan soal ini merasionalkan penyebut pada pecahan.

\displaystyle \frac{1+\sin \theta +\cos \theta }{1+\sin \theta -\cos \theta}\\ =\frac{1+\sin \theta +\cos \theta }{1+(\sin \theta -\cos \theta)}\: \frac{1-(\sin \theta +\cos \theta) }{1-(\sin \theta -\cos \theta)}\\ =\frac{(1+\sin \theta +\cos \theta)(1-\sin \theta +\cos \theta)}{1-(\sin \theta -\cos \theta )^2}\\=\frac{1-\sin \theta +\cos \theta +\sin \theta -\sin^2 \theta +\sin \theta \cos \theta +\cos \theta -\cos\theta \sin \theta +\cos^2 \theta }{1-(\sin^2 \theta-2\sin \theta \cos \theta +\cos^2 \theta )}\\ =\frac{1+2\cos \theta +\cos 2\theta }{1-(1-2\sin \theta \cos \theta )}\\ =\frac{1+2\cos \theta +2\cos^2 \theta -1}{2\sin \theta \cos \theta }\\=\frac{1+2\cos \theta +2\cos^2 \theta -1}{2\sin \theta \cos \theta }\\ =\frac{\cos \theta (1+\cos \theta )}{\sin \theta \cos \theta}\\ =\cot \left ( \frac{\theta}{2} \right )

TERBUKTI.