Evaluate tan 9° – tan 27° – tan 63° + tan 81°

Penyelesaian soal ini sebenarnya mudah jika tahu perbandingan trigonometri untuk sudut 18°.

\displaystyle \tan 9^{\circ}-\tan 27^{\circ}-\tan 63^{\circ}+\tan 81^{\circ}\\ =\tan 9^{\circ}-\tan 27^{\circ}-\cot 27^{\circ}+\cot 9^{\circ}\\ =\tan 9^{\circ}+\cot 9^{\circ}-\left ( \tan 27^{\circ}+\cot 27^{\circ} \right )\\ =\frac{\sin 9^{\circ}}{\cos 9^{\circ}}+\frac{\cos 9^{\circ}}{\sin 9^{\circ}}-\left ( \frac{\sin 27^{\circ}}{\cos 27^{\circ}}+\frac{\cos 27^{\circ}}{\sin 27^{\circ}} \right )\\ =\frac{\sin^2 9^{\circ}+\cos^2 9^{\circ}}{\cos 9^{\circ}\sin 9^{\circ}}-\frac{\sin^2 27^{\circ}+\cos^2 27^{\circ}}{\cos 27^{\circ}\sin 27^{\circ}}\\=\frac{1}{\frac{\sin 18^{\circ}}{2}}-\frac{1}{\frac{\sin 54^{\circ}}{2}}\\ =\frac{2}{\frac{\sqrt{5}-1}{4}}-\frac{2}{\frac{\sqrt{5}+1}{4}}\\ =8\left ( \frac{1}{\sqrt{5}-1}-\frac{1}{\sqrt{5}+1} \right )\\=8\left ( \frac{\sqrt{5}+1-\sqrt{5}+1}{5-1} \right )\\ =4

Iklan

Analisis Grafik Fungsi Kuadrat

  • Pengaruh Nilai a

Kita lihat pengaruh nilai a apabila positif dan negatif pada fungsi y = ax² + bx + c dengan > 0! Perhatikan gambar-gambar dibawah ini:

Analisis a

Dari gambar di atas disimpulkan bahwa:

  1. Jika a positif kurva membuka ke atas.
  2. Jika a negatif kurva membuka ke bawah.
  • Kecekungan Parabola

Perhatikan gambar di bawah:

Makin Cekung

Jika nilai a, b, dan c semakin besar parabola semakin cekung (menguncup).

  • Pergeseran Parabola

Untuk menganalisis ini kita ubah ke bentuk y = a(x ± h)² ± k. Kita lihat pengaruh tanda positif dan negatif pada h dan k. Perhatikan gambar-gambar di bawah ini:

Tengen

Dapat disimpulkan bahwa h negatif menandakan pergeseran parabola ke kanan.

Ngiwa

Dapat disimpulkan bahwa h positif menandakan pergeseran parabola ke kiri.

Midun

Dapat disimpulkan bahwa k negatif menandakan pergeseran parabola ke bawah.

Munggah

Dapat disimpulkan bahwa k positif menandakan pergeseran parabola ke atas.

Agar anda paham saya beri satu contoh soal:

Parabola y = x² – 6x + 8 digeser ke kanan sejauh 2 satuan searah dengan sumbu X dan digeser kebawah sejauh 3 satuan. Jika parabola hasil pergeseran ini memotong sumbu X di x₁ dan x₂, nilai x₁ + x₂ = …

Ubah ke bentuk vertex terlebih dahulu:

y = x² – 6x + 8

y = x² – 6x + 9 – 1

y = (x – 3)² – 1 → h = 3 dan k = -1

Digeser ke kanan 2 satuan berati h dikurangi 2, digeser ke bawah 3 satuan berati dikurangi 3. maka:

h‘ = 3 – 2 = 5 dan k‘ = -1 – 3 = -4

Fungsi grafiknya menjadi y‘ = (x – 5)² – 4

Kita Jabarkan (ubah ke bentuk umum) maka y‘ = x² – 10x + 21 lalu  ubah ke bentuk y‘ = a(xx₁)(xx₂) sehingga fungsi menjadi y‘ = (x – 3)(x – 7). Maka nilai x₁ + x₂ = 3 + 7 = 10.

Pergeseran

Catatan: y aksen (y‘) di sini bukan turunan suatu fungsi!

Empat Soal yang Sering Digunakan untuk Menentukan Fungsi Kuadrat

  • Menentukan fungsi kuadrat jika diketahui 2 titik potongnya dengan sumbu X dan melalui suatu titik.

Di postingan yang pernah saya buat sudah dijelaskan untuk menentukan persamaan kuadrat jika diketahui akar-akarnya mengunakan rumus y = a(xx₁)(xx₂). Lalu pada postingan sebelumnya mengenai kaitan diskriminan dengan fungsi kuadrat, maka untuk menyelesaikan ini rumus yang digunakan adalah:

\displaystyle \boxed {y=f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)}

Contoh soal:

Persamaan grafik fungsi kuadrat yang memotong sumbu X di titik (1, 0) dan (3, 0) serta melalui titik (-1, -16) adalah …

\displaystyle y=f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)\\ -1=a(-1-1)(-1-3)\\ a=-2\\ \\ y=-2(x-1)(x-3)\\ y=f(x)=-2x^2+8x-6

Fungsi Kuadrat 1

  • Menentukan fungsi kuadrat jika diketahui titik puncak/balik nya menyinggung sumbu X dan melalui suatu titik.

Berdasarkan tinjauan mengenai kaitan diskriminan dengan fungsi kuadrat, maka untuk menyelesaikan ini rumus yang digunakan adalah:

\displaystyle y=f(x)=a(x-x_1)(x-x_1)\\ y=f(x)=a(x-x_1)^2\\ \boxed {y=f(x)=a(x-h)^2}

dengan h merupakan absis titik puncak/balik parabola.

Contoh soal:

Persamaan fungsi kuadrat yang grafiknya menyinggung sumbu X di titik (2, 0) dan melalui titik (0, 4) adalah …

\displaystyle y=f(x)=a(x-h)^2\\ 4=a(0-2)^2\\ a=1\\ \\ y=(x-2)^2\\ y=f(x)=x^2-4x+4

Fungsi Kuadrat 2

  • Menentukan fungsi kuadrat jika diketahui titik puncak/balik nya dan melewati suatu titik.

Sebelumnya kita akan menurunkan rumus untuk menentukan koordinat titik puncak/balik dari parabola (fungsi kuadrat). Perhatikan kesimetrisan parabola ini:

Simetris

Dapat dilihat bahwa garis merah (sumbu simetri) dari parabola persamaan fungsinya x = 1. Sekarang kita coba menjumlahkan absis-absisnya yang saling berhadapan kemudian dibagi dua:

(0 + 2)/2 = 1, (-1 + 3)/2 = 1, (-2 + 4)/2 = 1

Ini menunjukkan sifat simetris dari parabola dan jika anda lihat absis titik puncak/baliknya sama dengan perhitungan di atas, kemudian lihat absis 2 titik potong dengan sumbu X. Maka absis dan ordinat dari titik puncak/balik parabola adalah:

\displaystyle x=\frac{x_1+x_2}{2}\\ x=\frac{-\frac{b}{a}}{2}\\ \boxed {x=-\frac{b}{2a}}\\ \\y=ax^2+bx+c\\ y=a\left (-\frac{b}{2a} \right )^2+b\left (-\frac{b}{2a} \right )+c\\ y=\frac{b^2-2b^2+4ac}{4a}\\ y=-\frac{b^2-4ac}{4a}\\ \boxed {y=-\frac{D}{4a}}
Sekarang kita turunkan rumus untuk menentukan parabola nya:

\displaystyle y=f(x)=ax^2+bx+c\\ \frac{y}{a}=x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}\\ \frac{y}{a}=x^2+\frac{b}{a}x+\left ( \frac{b}{2a} \right )^2-\left ( \frac{b}{2a} \right )^2+\frac{c}{a}\\ \frac{y}{a}=\left ( x+\frac{b}{2a} \right )^2-\left ( \frac{b}{2a} \right )^2+\frac{c}{a}\\ y=a\left ( x+\frac{b}{2a} \right )^2-\frac{b^2}{4a}+c\\ y=a\left [ x-\left ( -\frac{b}{2a} \right ) \right ]^2+\left ( -\frac{b^2-4ac}{4a} \right )\\ \boxed {y=f(x)=a(x-h)^2+k}
dengan h dan k absis dan ordinat titik puncak/balik parabola.

Contoh soal:

Grafik fungsi kuadrat yang mempunyai titik puncak (1, -4) dan melalui titik (2, -3) persamaannya adalah …

\displaystyle y=f(x)=a(x-h)^2+k\\ -3=a(2-1)^2-4\\ a=1\\ \\ y=(x-1)^2-4\\ y=f(x)=x^2-2x-3

Fungsi Kuadrat 3

 

  • Menentukan fungsi kuadrat jika diketahui melalui tiga titik.

Penyelesaiannya menggunakan persamaan linear tiga variabel. Contoh soal:

Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya melalui titik (1, 2), (2, 4), dan (3, 8)!

\displaystyle y=ax^2+bx+c\\ 2=a(1)^2+b(1)+c\\ a+b+c=2~...(*)\\ \\y=ax^2+bx+c\\ 4=a(2)^2+b(2)+c\\ 4a+2b+c=4~...(**)\\ \\y=ax^2+bx+c\\ 8=a(3)^2+b(3)+c\\ 9a+3b+c=8~...(***)
Setelah dioperasikan diperoleh a = 1, b = -1, dan c = 2. Persamaan fungsinya:

\displaystyle y=ax^2+bx+c\\ y=f(x)=x^2-x+2

 

fungsi kuadrat 4

Diskriminan Persamaan Kuadrat dan Kaitannya dengan Fungsi Kuadrat

Kita sudah tahu bahwa diskriminan dari persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0 adalah D = b² – 4ac. Kali ini kita selidiki bagaimana akar-akar persamaan kuadrat jika D > 0, D = 0 dan D < 0 dengan beberapa contoh soal.

  • Apabila D > 0

\displaystyle x^2-6x+8=0\\ x_1=2 \vee x_2=4\rightarrow x_1\neq x_2\\ D=b^2-4ac\\ =(-6)^2-4(1)(8)\\ =4\rightarrow D>0\\ \\ x^2-5x+6=0\\ x_1=3 \vee x_2=2\rightarrow x_1\neq x_2\\ D=b^2-4ac\\ =(-5)^2-4(1)(6)\\ =1\rightarrow D>0\\ \\3x^2-5x-2=0\\ x_1=2 \vee x_2=-\frac{1}{3}\rightarrow x_1\neq x_2\\ D=(-5)^2-4(3)(-2)\\ =49\rightarrow D>0

Sekarang kita misalkan ketiga persamaan diatas menjadi fungsi kuadrat dan gambar grafiknya:

Real Berlainan 1Real Berlainan 2Real Berlainan 3

Kesimpulan dari uraian diatas:

  1. Jika D > 0 maka akar-akarnya real berlainan.
  2. Andai ini fungsi kuadrat, ternyata akar-akarnya merupakan absis dari 2 titik potong dengan sumbu X.

  • Apabila D = 0
\displaystyle x^2-6x+9=0\\ x_1=2 \vee x_2=2\rightarrow x_1=x_2\\ D=(-6)^2-4(1)(9)\\ =0\\ \\x^2-2x+1=0\\ x_1=1 \vee x_2=1\rightarrow x_1=x_2\\ D=(-2)^2-4(1)(1)\\ =0

Kita misalkan lagi semua persamaan diatas menjadi fungsi kuadrat dan gambar grafiknya:

Real Sama 1Real Sama 2

Kesimpulan dari uraian diatas:

  1. Jika D = 0 maka akar-akarnya real sama/kembar (hanya mempunyai 1 akar).
  2. Andai ini fungsi kuadrat, ternyata akarnya merupakan absis dari titik puncak/balik yang menyinggung sumbu X.

 

  • Apabila D < 0
\displaystyle 3x^2-2x+4=0\\ x_{1,2}=\frac{1\pm i\sqrt{13}}{3}\\ D=(-2)^2-4(3)(4)\\ =-44\rightarrow D<0\\ \\x^2-2x+3=0\\ x_{1,2}=1 \pm i\sqrt{2}\\ D=(-2)^2-4(1)(3)\\ =-8\rightarrow D<0

Kita misalkan lagi semua persamaan diatas menjadi fungsi kuadrat dan gambar grafiknya:

Imajiner 1Imajiner 2

Kesimpulan dari uraian diatas:

  1. Jika D < 0 maka akar-akarnya imajiner (jika dalam bilangan real dinyatakan tidak memiliki penyelesaian).
  2. Andaikan ini fungsi kuadrat, grafik tidak pernah menyinggung sumbu X.

Menurunkan Rumus Cepat Persamaan Kuadrat Baru

Ada 5 rumus yang penting digunakan dan akan saya turunkan mengenai hal ini.

  • Jika x₁ dan x₂ merupakan akar-akar persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0, maka persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya (x₁ – m) dan (x₂ – m) adalah a(x + m)² + b(x + m) + c = 0

Bukti:

Misal akar-akar barunya αx₁ – m dan β = x₂ – m, maka:

\displaystyle \alpha +\beta =x_1-m+x_2-m=-\frac{b}{a}-2m\\ \alpha \beta =(x_1-m)(x_2-m)=\frac{c}{a}+\frac{b}{a}m+m^2\\ \\x^2-(\alpha +\beta )x+\alpha \beta =0\\ x^2-\left ( -\frac{b}{a}-2m \right )x+\left ( \frac{c}{a}+\frac{b}{a}m+m^2 \right )=0\\ ax^2+bx+2amx+c+bm+am^2=0\\ a(x^2+2mx+m^2)+bx+bm+c=0\\ a(x+m)^2+b(x+m)+c=0

Terbukti.

 

  • Jika x₁ dan x₂ merupakan akar-akar persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0, maka persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya (x₁ + m) dan (x₂ + m) adalah a(x – m)² + b(xm) + c = 0

Bukti:

Misal akar-akar barunya αx₁ + m dan β = x₂ + m, maka:

\displaystyle \alpha+\beta =x_1+m+x_2+m=-\frac{b}{a}+2m\\ \alpha \beta =(x_1+m)(x_2+m)=\frac{c}{a}-\frac{b}{a}m+m^2\\ \\x^2-(\alpha +\beta )x+\alpha \beta =0\\ x^2-\left ( -\frac{b}{a}+2m \right )x+\frac{c}{a}-\frac{b}{a}m+m^2=0\\ ax^2+bx-2amx+c-bm+am^2=0\\ a(x^2-2mx+m^2)+bx-bm+c=0\\ a(x-m)^2+b(x-m)+c=0
Terbukti.

 

  • Jika x₁ dan x₂ merupakan akar-akar persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0, maka persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya mx₁ dan mx₂ adalah a(x/m)² + b(x/m) + c = 0

Bukti:

Misal akar-akar barunya α = mx dan β = mx₂, maka:

\displaystyle \alpha +\beta =mx_1+mx_2=-\frac{b}{a}m\\ \alpha \beta =m^2x_1x_2=\frac{c}{a}m^2\\ \\ x^2-(\alpha +\beta )x+\alpha \beta =0\\ x^2-\left ( -\frac{b}{a}m \right )x+\frac{c}{a}m^2=0\\ ax^2+bmx+cm^2=0\\ a\left ( \frac{x}{m} \right )^2+b\left ( \frac{x}{m} \right )+c=0
Terbukti.

 

  • Jika x₁ dan x₂ merupakan akar-akar persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0, maka persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya m/x₁ dan m/x₂ adalah a(m/x)² + b(m/x) + c = 0

Bukti:

\displaystyle \alpha +\beta =\frac{m}{x_1}+\frac{m}{x_2}=-\frac{b}{c}m\\ \alpha \beta =\frac{m}{x_1}\frac{m}{x_2}=\frac{a}{c}m^2\\ \\x^2-(\alpha +\beta )x+\alpha \beta =0\\ x^2-\left ( -\frac{b}{c}m \right )x+\frac{a}{c}m^2=0\\ cx^2+bmx+am^2=0\\ a\left ( \frac{m}{x} \right )^2+b\left ( \frac{m}{x} \right )+c=0
Terbukti.

 

  • Jika x₁ dan x₂ merupakan akar-akar persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0, maka persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya x₁/m dan x₂/m adalah a(mx)² + b(mx) + c = 0

Bukti:

\displaystyle \alpha +\beta =\frac{x_1}{m}+\frac{x_2}{m}=-\frac{b}{am}\\ \alpha \beta =\frac{x_1}{m}\frac{x_2}{m}=\frac{c}{am^2}\\ \\x^2-(\alpha +\beta )x+\alpha \beta =0\\ x^2-\left ( -\frac{b}{am} \right )x+\frac{c}{am^2}=0\\ a(mx)^2+b(mx)+c=0

Terbukti.