Mengkonversi Satuan Derajat ke Radian dan Sebaliknya

Sebenarnya di Google atau buku-buku matematika SMA/SMK banyak yang membahas ini tetapi tujuan saya memposting ini karena ingin menujukkan cara yang mungkin lebih mudah dipahami, yaitu menggunakan perbandingan senilai. Cara ini menggunakan patokan 1 radian = 180°.

  • Mengkonversi Satuan Derajat ke Radian

Contoh soal: Ubah 165° ke satuan radian!

\displaystyle \frac{180^{\circ}}{\pi \mathrm{rad}}=\frac{165^{\circ}}{x}\\ x=\frac{165}{180}\, \pi \mathrm{rad}\\ x=\frac{11\pi}{12}\mathrm{rad}

Silahkan coba untuk soal-soal lainnya yang sedang anda akan kerjakan!

  • Mengkonversi satuan Radian ke Derajat

Ini adalah sebaliknya dari yang tadi. Contoh soal: Ubah π/12 rad ke satuan derajat!

\displaystyle \frac{\pi \mathrm{rad}}{180^{\circ}}=\frac{\frac{\pi}{12}\mathrm{rad}}{x}\\ 12=\frac{180^{\circ}}{x}\\ x=15^{\circ}

Silahkan coba untuk soal-soal lainnya yang sedang anda akan kerjakan!

Iklan

Hubungan Koordinat Cartesius dengan Koordinat Polar/Kutub

Dalam koordinat Cartesius suatu titik (misal titik P) dinyatakan dengan P(x, y), tetapi pada koordinat polar titik P dinyatakan dengan P(r, θ) yang mana r merupakan jarak titik P ke titik pangkal (0, 0) dan θ besar sudut garis r dengan sumbu X. Perhatikan gambar berikut:

hub cartesius polar

Berdasarkan gambar x dan y dapat diubah menjadi r cos θ dan r sin θ dan r dihitung denngan rumus Pythagoras r = √(x² + y²), sedangkan θ dihitung dari invers fungsi tangen θ = arctan (y/x) dan dalam mengkonversikan harus memerhatikan letak titik di kuadran berapa! Contoh soal:

  • Konversikan titik A(-3, 3√3) ke koordinat kutub!

Letak titik A berada di kuadran II. Hitung r dengan rumus Pythagoras:

\displaystyle r=\sqrt{x^2+y^2}\\ =\sqrt{\left ( -3 \right )^2+\left ( 3\sqrt{3} \right )^2}=6\\ \\ \theta =\tan^{-1}\left ( \frac{y}{x} \right )\\ =\tan^{-1}\left ( \frac{3\sqrt{3}}{-3} \right )=120^{\circ}

Jadi koordinat kutubnya A(6, 120°).

 

Sekarang kita konversikan balik ke koordinat Cartesius.

\displaystyle x=r\cos \theta \\ =6\cos 120^{\circ}=-3\\ \\y=r\sin \theta \\ =6\sin 120^{\circ}=3\sqrt{3}

Jadi koordinat Cartesiusnya A(-3, 3√3).

 

Catatan sebelum mengkonversi:

  • Dari koordinat Cartesius ke kutub/polar

Perhatikan tanda + dan – pada x dan y! Pada kuadran I, (x, y); kuadran II, (-x, y), kuadran III, (-x, –y) dan kuadran IV, (x, –y).

  • Dari koordinat polar ke Cartesius

Perhatikan besar sudutnya (θ)! Kuadran I, 0° <= θ <= 90°; Kuadran II, 90° <= θ <= 180°; Kuadran III, 180° <= θ <= 270° dan Kuadran IV, 270° <= θ <= 360°.

Evaluate csc² (π/7) + csc² (2π/7) + csc² (3π/7)

Bagi banyak orang soal ini dianggap terlalu rumit untuk dikerjakan. Sebenarnya tidak hanya penyelesaiannya panjang. Sebelumnya saya juga pernah kesulitan untuk menaklukkan soal ini. Saya cari di Google dan fb jawabannya 8. Penyelesaian yang diberikan melibatkan teorema Vieta seperti https://brainly.co.id/tugas/10633967. Di situ soal dijadikan suatu bentuk dan dimisalkan π/7, 2π/7 & 3π/7 menjadi akar-akar persamaan kubik dari penyelesaian soal yang mana persamaan nya adalah 64 (sin² x)³ – 112 (sin² x)² + 56 sin² x – 7 = 0. Sayangnya penyelesaian ini tidak sah! Mengapa? Coba anda masukkan akar-akarnya ke persamaan. Ternyata akar 2π/7 saat dimasukkan persamaanya tidak sama dengan 0. Yang saya heran kok bisa soal ini dibawa ke bentuk persamaan kubik dan hasil perhitungan benar? Maka dari itu setelah saya bisa menyelesaikan dengan jalan yang benar, saya publikasikan ini untuk semua!

Perhatikan pada https://brainly.co.id/tugas/10633967 foto kedua penyelesaian sebelum hasil akhir, ia menjadikan bentuk itu ke persamaan kubik. Justru itu adalah kesalahan yang cukup fatal karena menyebabkan penyelesaian tidak sah! Beginilah penyelesaian yang sah!

\displaystyle \csc^2 \frac{\pi}{7}+\csc^2 \frac{2\pi}{7}+\csc^2 \frac{3\pi}{7}\\ =\frac{1}{\sin^2 \frac{\pi}{7}}+\frac{1}{\sin^2 \frac{2\pi}{7}}+\frac{1}{\sin^2 \frac{3\pi}{7}}\\ =\frac{2}{1-\cos \frac{2\pi}{7}}+\frac{2}{1-\cos \frac{4\pi}{7}}+\frac{2}{1-\cos \frac{6\pi}{7}}\\=\frac{2}{1+\cos \frac{5\pi}{7}}+\frac{2}{1+\cos \frac{3\pi}{7}}+\frac{2}{1+\cos \frac{\pi}{7}}\\ =2\left [ \frac{\left ( 1+\cos \frac{3\pi}{7} \right )\left ( 1+\cos \frac{\pi}{7} \right )+\left ( 1+\cos \frac{5\pi}{7} \right )\left ( 1+\cos \frac{\pi}{7} \right )+\left ( 1+\cos \frac{5\pi}{7} \right )\left ( 1+\cos \frac{3\pi}{7} \right )}{\left ( 1+\cos \frac{5\pi}{7} \right )\left ( 1+\cos \frac{3\pi}{7} \right )\left ( 1+\cos \frac{\pi}{7} \right )} \right ]\\=2\left [ \frac{3+2\cos \frac{3\pi}{7}+2\cos \frac{\pi}{7}+2\cos \frac{5\pi}{7}+\cos \frac{\pi}{7}\cos \frac{3\pi}{7}+\cos \frac{3\pi}{7}\cos \frac{5\pi}{7}+\cos \frac{5\pi}{7}\cos \frac{\pi}{7}}{\left ( 1+\cos \frac{5\pi}{7} \right )\left ( 1+\cos \frac{3\pi}{7} \right )\left ( 1+\cos \frac{\pi}{7} \right )} \right ]\\ =2\left [ \frac{3+2\cos \frac{3\pi}{7}+2\cos \frac{\pi}{7}+2\cos \frac{5\pi}{7}+\frac{1}{2}\left ( -\cos \frac{3\pi}{7}-\cos \frac{5\pi}{7}-\cos \frac{\pi}{7}-\cos \frac{5\pi}{7}-\cos \frac{\pi}{7}-\cos \frac{3\pi}{7} \right )}{\left ( 1+\cos \frac{5\pi}{7} \right )\left ( 1+\cos \frac{3\pi}{7} \right )\left ( 1+\cos \frac{\pi}{7} \right )} \right ]\\=2\left ( \frac{3+\cos \frac{3\pi}{7}+\cos \frac{\pi}{7}+\cos \frac{5\pi}{7}}{1+\cos \frac{5\pi}{7}\cos \frac{3\pi}{7}\cos \frac{\pi}{7}} \right )\\ =2\left ( \frac{3+\frac{2\sin \frac{\pi}{7}\cos \frac{\pi}{7}+2\sin \frac{\pi}{7}\cos \frac{3\pi}{7}+2\sin \frac{\pi}{7}\cos \frac{5\pi}{7}}{2\sin \frac{\pi}{7}}}{1+\frac{2\sin \frac{\pi}{7}\cos \frac{\pi}{7}\cos \frac{2\pi}{7}\cos \frac{4\pi}{7}}{2\sin \frac{\pi}{7}}} \right )
Lanjutannya:

\displaystyle =2\left ( \frac{3+\frac{\sin \frac{\pi}{7}}{2\sin \frac{\pi}{7}}}{1+\frac{2\sin \frac{4\pi}{7}\cos \frac{4\pi}{7}}{8\sin \frac{\pi}{7}}} \right )\\=2\left [ \frac{3+\frac{1}{2}}{1+\frac{\sin \left ( \pi+\frac{\pi}{7} \right )}{8\sin \frac{\pi}{7}}} \right ]\\\\ =2\left ( \frac{\frac{7}{2}}{1-\frac{1}{8}} \right )\\=8

 

Bonus soal yang sebenarnya dapat dikatakan soal terstruktur:

\displaystyle \cot^2 \frac{\pi}{7}+\cot^2 \frac{2\pi}{7}+\cot^2 \frac{3\pi}{7}\\ =\csc^2 \frac{\pi}{7}-1+\csc^2 \frac{2\pi}{7}-1+\csc^2 \frac{3\pi}{7}-1\\ =8-3\\ =5

 

Silakhan anda buktikan 2 soal terstruktur ini:

\displaystyle \sec^2 \frac{\pi}{7}+\sec^2 \frac{2\pi}{7}+\sec^2 \frac{3\pi}{7}=24\\ \tan^2 \frac{\pi}{7}+\tan^2 \frac{2\pi}{7}+\tan^2 \frac{3\pi}{7}=21