Dua Cara Membuktikan Rumus Heron

Rumus ini digunakan untuk mencari luas segitiga jika diketahui panjang ketiga sisinya. Cara pertama untuk membuktikannya menggunakan rumus Pythagoras dan cara medua menggunakan trigonometri. Materi ini sudah dipelajari sejak SMP. Bagi yang ingin tahu asal rumus itu diperoleh (yang masih SMP), pelajarilah cara pertama karena belum memelajari trigonometri yang diajarkan di kelas X SMA/SMK/MA.

 

  • Cara pertama

Perhatikan gambar segitiga dibawah ini:

Her 1

Tinggi segitiga dirumuskan t² = c² – d² … (*) atau t² = b² – (ad)² … (**). Dari kedua persamaan, kita operasikan untuk memperoleh d kemudian disubstitusi ke persaman (*).

\displaystyle c^2-d^2=b^2-(a-d)^2\\ c^2-d^2=b^2-a^2+2ad-d^2\\ d=\frac{c^2-b^2+a^2}{2a}~...(***)

Substitusi ke persamaan (*) sehingga:

\displaystyle t^2=c^2-\left ( \frac{c^2-b^2+a^2}{2a} \right )^2\\ t^2=\frac{(2a)^2c^2-(c^2-b^2+a^2)^2}{(2a)^2}\\ t^2=\frac{[2ac+(c^2-b^2+a^2)][2ac-(c^2-b^2+a^2)]}{(2a)^2}\\ t^2=\frac{(2ac+c^2-b^2+a^2)(2ac-c^2+b^2-a^2)}{(2a)^2}\\ t^2=\frac{[(a+c)^2-b^2][b^2-(a-c)^2]}{(2a)^2}\\ t^2=\frac{[(a+c)-b][(a+c)+b][b-(a-c)][b+(a-c)]}{(2a)^2}\\t^2=\frac{(a-b+c)(a+b+c)(-a+b+c)(a+b-c)}{(2a)^2}\\ t^2=\frac{(a+b+c)(a+b+c-2a)(a+b+c-2b)(a+b+c-2c)}{(2a)^2}\\ t^2=\frac{2s(2s-2a)(2s-2b)(2s-2c)}{(2a)^2}\\ t^2=\frac{2s~2(s-a)~2(s-b)~2(s-c)}{4a^2}\\ t=\frac{2\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}}{a}
Luas segitiga ABC adalah L ΔABC = 1/2 at. Substitusi t ke persamaan ini menghasilkan:

\displaystyle L~\Delta ABC=\frac{1}{2}a~\frac{2\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}}{a}\\ \boxed {L~\Delta ABC=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}~\textrm{dengan}~s=\frac{a+b+c}{2}}

 

  • Cara kedua

Perhatikan gambar segitiga dibawah ini:

Her 2

Cara ini melibatkan aturan cosinus. Luas segitiga ABC tersebut adalah = 1/2 bc sin A = 1/2 ac sin B = 1/2 ab sin C. Saya menggunakan rumus yang = 1/2 ab sin C. Kuadratkan rumus tersebut lalu operasikan sampai diperoleh:

\displaystyle L^2=\frac{1}{4}a^2b^2\sin^2 C\\ L^2=\frac{1}{4}a^2b^2(1-\cos^2 C)\\ L^2=\frac{1}{4}a^2b^2(1-\cos C)(1+\cos C)\\ L^2=\frac{1}{4}a^2b^2\left ( 1-\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} \right )\left ( 1+\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} \right )\\ L^2=\frac{1}{4}a^2b^2\left ( \frac{2ab+a^2+b^2-c^2}{2ab} \right )\left ( \frac{2ab-a^2-b^2+c^2}{2ab} \right )\\ L^2=\frac{1}{16}[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]\\L^2=\frac{1}{16}[(a+b)-c][(a+b)+c][c-(a-b)][c+(a-b)]\\ L^2=\left ( \frac{a+b-c}{2} \right )\left ( \frac{a+b+c}{2} \right )\left ( \frac{c-a+b}{2} \right )\left ( \frac{c+a-b}{2} \right )\\ L^2=\left ( \frac{a+b+c}{2} \right )\left ( \frac{a+b+c-2a}{2} \right )\left ( \frac{a+b+c-2b}{2} \right )\left ( \frac{a+b+c-2c}{2} \right )\\ L^2=s(s-a)(s-b)(s-c)\\ \boxed {L=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}~\textrm{dengan}~s=\frac{a+b+c}{2}}

 

Silahkan anda coba menggunakan rumus luas segitiga L = 1/2 bc sin A dan L = 1/2 ac sin B untuk membuktikan kebenaran aturan sinus dan cosinus!

Iklan

Pembuktian Teorema Pythagoras Menggunakan Luas Trapesium dan Segitiga Siku-Siku

Sebenarnya banyak cara untuk membuktikan rumus yang populer ini. Rumus ini sudah kita terima (diajarkan) sejak SD. Perhatikan gambar!

26907552_402512923504621_5143505103176357455_n
Sebelumnya kita tunjukkan dulu ΔBCE adalah segitiga siku-siku.
∠AEB + ∠BEC + DEC = 180°
90° – θ + ∠BEC + θ = 180°
∠BEC = 90°
ΔBCE merupakan segitiga siku-siku.

L ABCD = L ΔABE + L ΔCDE + L ΔBCE
(a + b)(a + b) / 2 = ba / 2 + ab / 2 + cc / 2
a² + 2ab + b² = 2ab + c²
a² + 2ab + b² – 2ab = c²
a² + b² = c²