Menurunkan Rumus Tinggi Pantulan ke-n pada Tumbukan Jatuh Bebas

Pada postingan sebelumnya (lihat https://blognyamazpandoe.wordpress.com/2018/09/21/menurunkan-rumus-cepat-kecepatan-kedua-benda-setelah-tumbukan-lenting-sempurna/)! pada persamaan (3) kita ubah menjadi:

\displaystyle v_2'+v_2=v_1+v_1'\\ v_2-v_1=v_1'-v_2'\\ v_2-v_1=-(v_2'-v_1')

Apabila ruas kanan dibagi dengan ruas kiri diperoleh definisi dari koefisien restitusi.

\displaystyle \boxed {e=-\frac{v_2'-v_1}{v_2-v_1}}

 

Mantul

Perhatikan gambar 1! Saat bola berada di dasar permukaan, kecepatan sesaatnya \displaystyle v_2=0 dan sebelum memantul \displaystyle v_2'=0. Tumbukan ini kita anggap jatuh bebas, maka:

\displaystyle e=-\frac{0-\sqrt{2gh_1}}{0-(-\sqrt{2gh_0})}\\ \boxed {e=\sqrt{\frac{h_1}{h_0}}}

Jika kita hihat pola tumbukan pada gambar 2 dan menganalogi gambar 1, dapat disimpulkan:

\displaystyle {e=\sqrt{\frac{h_1}{h_0}}}=\sqrt{\frac{h_2}{h_1}}=\sqrt{\frac{h_3}{h_2}}=...=\sqrt{\frac{h_n}{h_{n-1}}}~...(*)\\ e^2=\frac{h_n}{h_{n-1}}\\ \boxed {h_n=h_{n-1}~e^2}

Dari persamaan (*) kita kuadratkan masing-masing ruas lalu kita rumuskan tinggi pantulan ke 1, 2, 3.

\displaystyle e^2=\frac{h_1}{h_0}=\frac{h_2}{h_1}=\frac{h_3}{h_2}\\ h_1=h_0~e^2\\ h_2=\frac{h_1^2}{h_0}=\frac{h_0^2~e^4}{h_0}=h_0~e^4\\ h_3=\frac{h_2^2}{h_1}=\frac{h_0^2~e^8}{h_0~e^2}=h_0~e^6\\ .\\ .\\ .

Jika kita lihat dari perumusan ini, maka tinggi pantulan ke-n dapat juga ditulis:

\displaystyle \boxed {h_n=h_0~e^{2n}}
Iklan

Menurunkan Rumus Cepat Kecepatan Kedua Benda Setelah Tumbukan Lenting Sempurna

Rumus ini untuk menyelesaikan soal mengenai tumbukan lenting sempurna yang diketahui massa kedua benda dan kecepatan kedua benda. Untuk menyelesaiannya seringkali kita melibatkan persamaan linear dua veriabel yang diperoleh dari rumus hukum kekekalan momentum dan rumus koefisien restitusi. Ada cara yang lebih cepat untuk menyelesaikannya! Dari rumus hukum kekekalan momentum kita ubah menjadi seperti berikut:

\displaystyle m_1v_1+m_2v_2=m_1v_1'+m_2v_2'\\ m_1v_1-m_1v_1'=m_2v_2'-m_2v_2\\ m_1(v_1-v_1')=m_2(v_2'-v_2)~...~(1)

Pada tumbukan lenting sempurna berlaku hukum kekekalan energi mekanik. Dari rumus hukum kekekalan energi mekanik kita ubah menjadi:

\displaystyle \frac{1}{2}m_1v_1^2+\frac{1}{2}m_2v_2^2=\frac{1}{2}m_1(v_1')^2+\frac{1}{2}m_2(v_2')^2\\ m_1[v_1^2-(v_1')^2]=m_2[(v_2')^2-v_2^2]\\ m_1(v_1-v_1')(v_1+v_1')=m_2(v_2'+v_2)(v_2'-v_2)~...~(2)

Substitusi persamaan (1) ke persamaan (2) menghasilkan:

\displaystyle m_2(v_2'-v_2)(v_1+v_1')=m_2(v_2'-v_2)(v_2'+v_2)\\ v_2'+v_2=v_1+v_1'~...~(3)

Dari persamaan (3) dapat diperoleh kedua persamaan kecepatan benda setelah tumbukan:

\displaystyle v_1'=v_2+v_2'-v_1~...~(4)\\ v_2'=v_1+v_1'-v_2~...~(5)

Persamaan diatas belum selesai karena tidak melibatkan variabel massa kedua benda. Maka dari itu substitusi persamaan (4) ke persamaan (2) sehingga diperoleh:

\displaystyle m_1(v_1-v_2-v_2'+v_1)(v_1+v_2+v_2'-v_1)=m_2(v_2'+v_2)(v_2'-v_2)\\ m_2(v_2'+v_2)(v_2'-v_2)=m_1(2v_1-v_2'-v_2)(v_2'+v_2)\\ m_2v_2'-m_2v_2=2m_1v_1-m_1v_2'-m_1v_2\\ m_2v_2'+m_1v_2'=m_2v_2-m_1v_2+2m_1v_1\\ v_2'(m_1+m_2)=2m_1v_1+m_2v_2-m_1v_2\\ \boxed {v_2'=\frac{2m_1}{m_1+m_2}v_1+\frac{m_2-m_1}{m_1+m_2}v_2}

Substitusi juga persamaan (5) ke persamaan (2) sehingga diperoleh:

\displaystyle m_1(v_1-v_1')(v_1+v_1')=m_2(v_1+v_1'-v_2+v_2)(v_1+v_1'-v_2-v_2)\\ m_2(v_1+v_1'-2v_2)=m_1(v_1-v_1')\\ m_2v_1+m_2v_1'-2m_2v_2=m_1v_1-m_1v_1'\\ m_2v_1'+m_1v_1'=m_1v_1-m_2v_1+2m_2v_2\\ v_1'(m_1+m_2)=m_1v_1-m_2v_1+2m_2v_2\\ \boxed {v_1'=\frac{2m_2}{m_1+m_2}v_2+\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}v_1}