Pembuktian Rumus panjang Jari-Jari Lingkaran Dalam dan Luar Segitiga

Perhatikan kedua gambar berikut:

Njobo Njero

 

Saya buktikan dulu rumus panjang jari-jari lingkaran dalam segitiga. Perhatikan gambar 1!

\displaystyle L\Delta ABC=L\Delta BOC+L\Delta AOB+L\Delta AOC\\ L\Delta ABC=\frac{1}{2}ar+\frac{1}{2}cr+\frac{1}{2}br\\ L\Delta ABC=\frac{1}{2}r(a+b+c)\\ L\Delta ABC=\frac{1}{2}r(2s)\\ r=\frac{\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}}{s}\\ \boxed {r=\sqrt{\frac{(s-a)(s-b)(s-c)}{s}}\, \textrm{dengan}\, s=\frac{a+b+c}{2}}

 

Selanjutnya kita buktikan rumus panjang jari-jari lingkaran luar segitiga. Saya menggunakan trigonometri karena penyelesaiannya lebih cepat daripada menggunakan kesebangunan.

\displaystyle \Delta AOD=\Delta COD\\ \sin \theta =\frac{\frac{b}{2}}{r}=\frac{b}{2r}\\ L\Delta ABC=\frac{1}{2}ac\sin \theta\\ L\Delta ABC=\frac{1}{2}ac\left ( \frac{b}{2r} \right )\\ L\Delta ABC=\frac{abc}{4r}\\ \boxed {r=\frac{abc}{4\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}}\, \textrm{dengan}\, s=\frac{a+b+c}{2}}
Iklan

Pembuktian Rumus Parameshvara

Rumus ini untuk menghitung panjang jari-jari lingkaran luar segiempat tali busur. Perhatikan gambar:

bunderan

Untuk membuktikan ini kita melibatkan lingkaran luar segitiga. Perhatikan baik-baik! Luas segiempat tali busur tersebut adalah L = L ΔBCD + L ΔABD atau L = L ΔABC + L ΔADC.  Kita buktikan rumusnya:

\displaystyle L=L\Delta ABC+L\Delta ADC\\ L=\frac{cdq}{4r}+\frac{abq}{4r}\\ L=\frac{q(ab+cd)}{4r}\leftrightarrow r=\frac{q(ab+cd)}{4L}~...(*)

 

\displaystyle L=L\Delta BCD+L\Delta BAD\\ L=\frac{adp}{4r}+\frac{bcp}{4r}\\ L=\frac{p(ad+bc)}{4r}\leftrightarrow r=\frac{p(ad+bc)}{4L}~...(**)

 

Masih belum terbukti. Dari kedua persamaan tersebut, kalikan keduanya kemudian akarkan sampai terbuktinya rumus itu:

\displaystyle r^2=\frac{p(ad+bc)}{4L}\, \frac{q(ab+cd)}{4L}\\ r^2=\frac{pq(ab+cd)(ad+bc)}{16L^2}\\ r^2=\frac{(ac+bd)(ab+cd)(ad+bc)}{16(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}\\ \boxed {r=\frac{1}{4}\sqrt{\frac{(ac+bd)(ab+cd)(ad+bc)}{16(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}\, \textrm{dengan}\, s=\frac{a+b+c+d}{2}}

Pembuktian Rumus Brahmagupta

Rumus ini digunakan untuk menghitung luas segiempat tali busur. Perhatikan gambar:

bunderan

Kita gunakan gabungan 2 luas segitiga dan melibatkan trigonometri. Luas segiempat tali busur ABCD adalah L = L ΔABC + L ΔADC atau L = L ΔBCD + L ΔBAD. Saya gunakan yang pertama.

\displaystyle L=L\Delta ADC+L\Delta ABC\\ L=\frac{1}{2}ab\sin D+\frac{1}{2}cd\sin B\\ L=\frac{1}{2}ab\sin D+\frac{1}{2}cd\sin \left ( 180^{\circ}-D \right )\\ L=\frac{1}{2}ab\sin D+\frac{1}{2}cd\sin D\\ L=\frac{1}{2}\sin D(ab+cd)\\ L^2=\frac{1}{4}(ab+cd)^2\sin^2 D\\ 4L^2=(ab+cd)^2(1-\cos^2 D)\\ 4L^2=(ab+cd)^2-(ab+cd)^2\cos^2 D~...(*)

Karena kita menggunakan rumus L = L ΔABC + L ΔADC, kita tinjau ∠D dan ∠B! Berdasarkan aturan cosinus:

\displaystyle q^2=a^2+b^2-2ab\cos D=c^2+d^2-2cd\cos B\\ a^2+b^2-2ab\cos D=c^2+d^2-2cd\cos \left ( 180^{\circ}-D \right )\\ c^2+d^2+2cd\cos D=a^2+b^2-2ab\cos D\\ 2(ab+cd)\cos D=a^2+b^2-c^2-d^2\\ (ab+cd)^2\cos^2 D=\frac{(a^2+b^2-c^2-d^2)^2}{4}~...(**)

Substitusi (**) ke (*) menghasilkan:

\displaystyle 4L^2=(ab+cd)^2-\frac{(a^2+b^2-c^2-d^2)^2}{4}\\ 16L^2=4(ab+cd)^2-(a^2+b^2-c^2-d^2)^2

Sampai disini gunakan rumus selisih kuadrat untuk menyelesaikannya sehingga:

\displaystyle 16L^2=[2(ab+cd)-(a^2+b^2-c^2-d^2)]~[2(ab+cd)+(a^2+b^2-c^2-d^2)]\\ 16L^2=(2ab+2cd-a^2-b^2+c^2+d^2)(2ab+2cd+a^2+b^2-c^2-d^2)\\ 16L^2=[(c^2+2cd+d^2)-(a^2-2ab+b^2)]~[(a^2+2ab+b^2)-(c^2-2cd+d^2)]\\ 16L^2=[(c+d)^2-(a-b)^2]~[(a+b)^2-(c-d)^2]

Kita gunakan rumus selisih kuadrat lagi sampai dibuktikannya rumus tersebut:

\displaystyle 16L^2=[(c+d)-(a-b)]~[(c+d)+(a-b)]~[(a+b)-(c-d)]~[(a+b)+(c-d)]\\ 16L^2=(c+d-a+b)(c+d+a-b)(a+b-c+d)(a+b+c-d)\\ 16L^2=(a+b+c+d-2a)(a+b+c+d-2b)(a+b+c+d-2c)(a+b+c+d-2d)\\ 16L^2=(2s-2a)(2s-2b)(2s-2c)(2s-2d)\\ 16L^2=2(s-a)~2(s-b)~2(s-c)~2(s-d)\\ \boxed {L=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}\, \textrm{dengan}\, s=\frac{a+b+c+d}{2}}

Pembuktian Teorema Ptolemy via Trigonometri

Bunyi teorema ini adalah: Hasil kali panjang dua diagonal segiempat tali busur sama dengan jumlah dari hasil kali panjang sisi segiempat tali busur yang saling berhadapan. Saya akan membuktikan teorema ini menggunakan aturan cosinus. Sebelumnya ingat kembali bahwa jumlah sudut segiempat tali busur yang saling berhadapan sama dengan 180°. Perhatikan gambar di bawah ini:

bunderan

Tinjau diagonal p! Berdasarkan aturan cosinus:

\displaystyle p^2=a^2+d^2-2ad\cos \angle DCB~...(i)

 

\displaystyle p^2=b^a+c^2-2bc\cos \angle DAB\\ p^2=b^2+c^2-2bc\cos (180^{\circ}-\angle DCB)\\ p^2=b^2+c^2+2bc \cos \angle DCB~...(ii)

Kalikan persamaan (i) dengan bc dan persamaan (ii) dengan ad kemudian jumlahkan kedua persamaan sehingga diperoleh rumus panjang diagonal p.

\displaystyle bcp^2=bca^2+bcd^2-2abcd \cos \angle DCB\\ adp^2=adb^2+adc^2+2abcd \cos \angle DCB\\ (bc+ad)p^2=bca^2+adb^2+bcd^2+adc^2\\ (bc+ad)p^2=ab(ac+bd)+cd(bd+ac)\\ p=\sqrt{\frac{(ab+cd)(ac+bd)}{ad+bc}}

 

Tinjau diagonal q! Dengan cara yang sama:

\displaystyle q^2=c^2+d^2-2cd \cos \angle ABC~...(iii)

 

\displaystyle q^2=a^2+b^2-2ab \cos \angle ADC\\ q^2=a^2+b^2-2ab \cos (180^{\circ}-\angle ABC)\\ q^2=a^2+b^2+2ab \cos \angle ABC~...(iv)

Kalikan persamaan (iii) dengan ab dan persamaan (iv) dengan cd kemudian jumlahkan kedua persamaan sehingga diperoleh rumus panjang diagonal q.

\displaystyle abq^2=abc^2+abd^2-2abcd \cos \angle ABC\\ cdq^2=cda^2+cdb^2+2abcd \cos \angle ABC\\ (ab+cd)q^2=abc^2+cda^2+abd^2+cdb^2\\ (ab+cd)q^2=ac(ad+bc)+bd(ad+bc)\\ q=\sqrt{\frac{(ac+bd)(ad+bc)}{ab+cd}}

 

Kalikan p dengan q sehingga:

\displaystyle pq=\sqrt{\frac{(ab+cd)(ac+bd)}{ad+bc}\frac{(ac+bd)(ad+bc)}{ab+cd}}\\ \boxed{pq=ac+bd}

Terbukti.

 

Penurunan Persamaan Garis Singgung Lingkaran yang Melewati Titik (x₁, y₁) di Luar Lingkaran

Kita akan menurunkan rumus cepat untuk kasus ini. Kita gunakan rumus y – y₁ = m(x – x₁) untuk menyelesaikannya dengan m merupakan sebuah rumus. Ingat, RUMUS INI HANYA BISA DIGUNAKAN UNTUK IRISAN KERUCUT LINGKARAN.

  • Rumus persamaan garis singgung lingkaran x² + y² = r² yang melewati titik (x₁, y₁) di luar lingkaran.

Garis  y = mx ± r √(1 + m²) melewati titik (x₁, y₁) di luar lingkaran. Ini berati rumus tersebut menjadi y₁ = mx₁ ± r √(1 + m²). Kuadratkan kedua ruas dan ubah ke bentuk persamaan kuadrat!

y₁ – mx₁ = ± r √(1 + m²)

y₁² – 2x₁y₁m + x₁²m² = r² (1 + m²)

y₁² – 2x₁y₁m + x₁²m² – r² – rm² = 0

(x₁² – r²)m² + (-2x₁y₁)m + (y₁² – r²) = 0

Dengan menggunakan rumus mencari akar-akar persamaan kuadrat diperoleh:

\displaystyle m=\frac{-(-2x_1y_1)\pm \sqrt{(-2x_1y_1)^2-4(x_1^2-r^2)(y_1^2-r^2)}}{2(x_1^2-r^2)}\\ m=\frac{x_1y_1\pm \sqrt{x_1^2y_1^2-x_1^2y_1^2+x_1r^2+y_1r^2-r^4}}{x_1^2-r^2}\\ m=\frac{x_1y_1\pm \sqrt{r^2(x_1^2+y_1^2-r^2)}}{x_1^2-r^2}\\

Jadi, persamaan garis singgung lingkaran x² + y² = r² yang melewati titik (x₁, y₁) di luar lingkaran adalah

\displaystyle \boxed {y-y_1=m(x-x_1)~\textrm{dengan}~m=\frac{x_1y_1\pm r\sqrt{x_1^2+y_1^2-r^2}}{x_1^2-r^2}}

 

 

  • Rumus persamaan garis singgung lingkaran (x – a)² + (y – b)² = r² yang melewati titik (x₁, y₁) di luar lingkaran.

Garis  y – b = m(x – a) ± r √(1 + m²) melewati titik (x₁, y₁) di luar lingkaran. Ini berati rumus tersebut menjadi y₁ – b = m(x₁ – a) ± r √(1 + m²). Kuadratkan kedua ruas dan ubah ke bentuk persamaan kuadrat!

(y₁ – b) – m(x₁ – a) = ± r √(1 + m²)

(y₁ – b)² – 2(y₁ – b)(x₁ – a)m + m²(x₁ – a)² = r² (1 + m²)

(y₁ – b)² – 2(y₁ – b)(x₁ – a)m + m²(x₁ – a)² – r² – rm² = 0

[(x₁ – a)² – r²]m – [2(y₁ – b)(x₁ – a)]m + [(y₁ – b)² – r²] = 0

Dengan menggunakan rumus mencari akar-akar persamaan kuadrat diperoleh:

\displaystyle m=\frac{-[-2(y_1-b)(x_1-a)]\pm \sqrt{[-2(y_1-b)(x_1-a)]^2-4[(x_1-a)^2-r^2][(y_1-b)^2-r^2]}}{2[(x_1-a)^2-r^2]}\\ m=\frac{(y_1-b)(x_1-a)\pm \sqrt{(y_1-b)^2(x_1-a)^2-(x_1-a)^2(y_1-b)^2+(x_1-a)^2r^2+(y_1-b)^2r^2-r^4}}{(x_1-a)^2-r^2}\\ m=\frac{(x_1-a)(y_1-b)\pm \sqrt{r^2[(x_1-a)^2+(y_1-b)^2-r^2]}}{(x_1-a)^2-r^2}\\ m=\frac{(x_1-a)(y_1-b)\pm r\sqrt{(x_1-a)^2+(y_1-b)^2-r^2}}{(x_1-a)^2-r^2}

Jadi, persamaan garis singgung lingkaran x² + y² = r² yang melewati titik (x₁, y₁) di luar lingkaran adalah:

\boxed {\displaystyle y-y_1=m(x-x_1)~\textrm{dengan}~m=\frac{(x_1-a)(y_1-b)\pm r\sqrt{(x_1-a)^2+(y_1-b)^2-r^2}}{(x_1-a)^2-r^2}}

 

Untuk persamaan umum lingkaran, persamaannya menjadi:

\boxed {\displaystyle y-y_1=m(x-x_1)~\textrm{dengan}~m=\frac{\left ( x_1+\frac{A}{2} \right )\left ( y_1+\frac{B}{2} \right )\pm r\sqrt{\left ( x_1+\frac{A}{2} \right )^2+\left ( y_1+\frac{B}{2} \right )^2-r^2}}{\left ( x_1+\frac{A}{2} \right )^2-r^2}}