Menurunkan Rumus Garis Bagi Antara Dua Garis Lurus

Perhatikan gambar di bawah ini:

Garis Bagi

Garis ungu membagi sama rata garis biru dan merah. Ini berati jarak antara kedua garis merah dan hijau sama. Berdasarkan gambar secara matematis dituliskan:

\displaystyle d_1=d_2\\ \begin{vmatrix} \frac{a_1x+b_1y+c_1}{\sqrt{a_1^2+b_1^2}} \end{vmatrix} =\begin{vmatrix} \frac{a_2x+b_2y+c_2}{\sqrt{a_2^2+b_2^2}} \end{vmatrix}

Jika kita hilangkan tanda mutlaknya, persamaan menjadi:

\displaystyle \boxed {\frac{a_1x+b_1y+c_1}{\sqrt{a_1^2+b_1^2}}=\pm \frac{a_2x+b_2y+c_2}{\sqrt{a_2^2+b_2^2}}}

Tanda ± menunjukkan ada 2 garis yang dapat dibentuk dan jarak antar garis bagi sama. Pada gambar garis bagi tersebut yang ungu dan hijau.

Iklan

Menurunkan Rumus Sudut Apit Dua Garis Lurus

Perhatikan gambar berikut:

Sudut Berpotongan

Kita akan menurunkan rumus untuk mencari besar sudut θ. Perhatikan bahwa sudut β merupakan penjumlahan dari sudut α dan θ. Ini berati θ = βα. Beri kedua ruas dengan tan sehingga:

\displaystyle \beta =\alpha +\theta \\ \theta =\beta -\alpha \\ \tan \theta =\tan (\beta -\alpha )\\ \tan \theta =\frac{\tan \beta -\tan \alpha }{1+\tan \beta \tan \alpha }\\ \boxed {\theta =\tan^{-1} \begin{vmatrix} \frac{m_1-m_2}{1+m_1m_2} \end{vmatrix}}

Kita lihat hubungan sudut θ dengan γ. Sudut γ dijumlahkan dengan sudut θ sama dengan 180°. Ini berati θ = 180° – γ. Beri kedua ruas dengan tan sehingga:

tan θ = tan (180° – γ)

tan θ = -tan γ … (*)

Jika kita analisis, berdasarkan gambar sudut γ tidak mungkin >180°. Berdasarkan persamaan (*) dan gambar. 1 tan bernilai negatif jika berada di kuadran II dan IV dan sudut γ besarnya 90° < γ < 180°. Agar anda sekalian paham coba pahami soal berikut:

  1. Carilah sudut apit yang dibentuk oleh garis 2x + y – 12 = 0 dan 3xy – 2 = 0!

Sekarang coba kita jawab tanpa nilai mutlak. Jika kita memisalkannya seperti ini:

2x + y – 12 = 0 → m = -2

3xy – 2 = 0 → m = 3

\displaystyle \theta =\tan^{-1} \left ( \frac{m_1-m_2}{1+m_1m_2} \right )\\ \theta =\tan^{-1} \left ( \frac{-2-3}{1+(-2)(3)} \right )\\ \theta =\tan^{-1}(1)\\ \theta=45^{\circ}

Jika kita memisalkannya seperti ini:

3xy – 2 = 0 → m = 3

2x + y – 12 = 0 → m= -2

\displaystyle \theta =\tan^{-1} \left ( \frac{m_1-m_2}{1+m_1m_2} \right )\\ \theta =\tan^{-1} \left ( \frac{3-(-2)}{1+3(-2)} \right )\\ \theta =\tan^{-1}(-1)\\ \theta=135^{\circ}

Terdapat dua kemungkinan jawaban. Soal tersirat karena sudut apit yang dicari apakah sudut yang lancip atau tumpul. Berdasarkan definisi nilai mutlak:

\displaystyle |x|=\left\{\begin{matrix} x\, \textrm{jika}\, x\geq 0\\ -x\, \textrm{jika}\, x< 0 \end{matrix}\right.

maka rumus yang digunakan harus diberi nilai mutlak agar tidak menimbulkan kerancuan. Kita kerjakan ulang:

Jika kita menggunakan permisalan pertama atau kedua hasilnya akan sama yaitu θ = 45° atau θ = 135° (menggunakan nilai mutlak).

Jelas

Andai soal meminta mencari yang sudut lancip atau tumpul, ambil yang memenuhi dari dua jawaban.

Menurunkan Rumus Cepat Menentukan Persamaan Garis yang Sejajar dan Tegak Lurus Melalui Titik (x₁, y₁)

Di SMP kelas VIII sudah diajarkan materi mengenai garis lurus. Misal ada soal: Persamaan garis yang sejajar garis 2x + 5y – 1 = 0 dan melalui titik (2, 3) adalah … Hampir >90% guru mengajarkan hitung dulu gradien garis 2x + 5y – 1 = 0. Karena sejajar maka \displaystyle m_1=m_2 lalu masukkan ke persamaan \displaystyle y-y_1=m_2(x-x_1). Ada cara yang lebih cepat untuk menyelesaiaknnya! Garis ax + by + c = 0 kita ubah menjadi y = –a/b x + c/b. Ini merupakan bentuk y = mx + C. Jelas terlihat bahwa gradien garis ax + by + c = 0 adalah m = –a/b. Selanjutnya kita akan menurunkan 2 rumus cepat.

 

  • Rumus persamaan garis yang sejajar dengan garis ax + by + c = 0 melewati titik (x₁, y₁)

Gradien kedua garis yang sejajar sama. Karena gradien garis ax + by + c = 0 adalah m₁ = –a/b, maka \displaystyle m_1=m_2=-\frac{a}{b} sehingga:

\displaystyle y-y_1=m_2(x-x_1)\\ y-y_1=-\frac{a}{b}(x-x_1)\\ by-by_1=-ax+ax_1\\ \boxed {ax+by=ax_1+by_1}

Sejajar

 

  • Rumus persamaan garis yang tegak lurus dengan garis ax + by + c = 0 melewati titik (x₁, y₁)

Hasil kali kedua gradien garis yang saling tegak lurus adalah -1. Karena gradien garis ax + by + c = 0 adalah m₁ = –a/b, maka \displaystyle m_2=-\frac{1}{m_1}=-\frac{1}{-\frac{a}{b}}=\frac{b}{a} sehingga:

\displaystyle y-y_1=m_2(x-x_1)\\ y-y_1=\frac{b}{a}(x-x_1)\\ ay-ay_1=bx-bx_1\\ \boxed {bx-ay=bx_1-ay_1}

Tegak Lurus

Pembuktian Rumus Jarak Suatu Titik yang Ditarik Tegak Lurus ke Garis ax + by + c = 0

Bagi yang sudah SMA kelas XI (kelompok peminatan ilmu-ilmu alam) pasti sudah tahu rumus d = |ax₁ + by₁ + c| / √(a² + b²) pada bab Lingkaran, dan bagi yang sudah kuliah pasti sering menggunakan rumus itu pada materi geometri tentang garis lurus. Saya akan membuktikan rumus tersebut dengan cara yang nantinya tidak melibatkan perhitungan aljabar yang membingungkan. Perhatikan gambar di bawah:

46482809_570440103378568_7153564109353517056_n

Kita akan menbuktikan rumus jarak titik (x₁, y₁) ke garis 1 (garis ax + by + c = 0). Langkah pertama buat garis yang sejajar dengan garis 1 dan melewati titik (x₁, y₁), kemudian tentukan persamaan garisnya dan diberi nama garis 2. Kita ubah persamaan ax + by + c = 0 menjadi y = -a/b x – c/b. Gradien garis 1 adalah m₁ = -a/b. Karena garis 2 sejajar dengan garis 1, maka gradien garis 2 sama. Persamaan garis 2 adalah:

\displaystyle y-y_1=m_2(x-x_1)\\ y-y_1=-\frac{a}{b}(x-x_1)\\ by-by_1=-ax+ax_1\\ y=\frac{ax_1+by_1-ax}{b}~...(i)

 

Langkah kedua buat garis yang tegak lurus dengan garis 1 dan 2 sekaligus melewati titik pangkal (0, 0). Garis 3 memotong titik S dan R. Tentukan persamaan garis itu dan beri nama garis 3!. Gradien garis 3 adalah b/a. Persamaan garisnya:

\displaystyle y-0=\frac{b}{a}(x-x_1)\\ y=\frac{b}{a}x~...(ii)

Karena garis 2 dan 3 melalui titik yang sama (titik R) maka:

\displaystyle \frac{ax_1+by_1-ax}{b}=\frac{b}{a}x\\ b^2x=a^2x_1+aby_1-a^2x\\ \left ( b^2+a^2 \right )x=a(ax_1+by_1)\\ x=\frac{a(ax_1+by_1)}{a^2+b^2}~...(iii)

Substitusi (iii) ke (ii) menghasilkan:

\displaystyle y=\frac{b}{a}\frac{a(ax_1+by_1)}{a^2+b^2}\\ y=\frac{b(ax_1+by_1)}{a^2+b^2}

Kita peroleh koordinat titik R adalah: \displaystyle R\left ( \frac{a(ax_1+by_1)}{a^2+b^2},\frac{b(ax_1+by_1)}{a^2+b^2} \right )

Garis 3 melalui titik S. Hal ini menyebabkan \displaystyle -\frac{a}{b}x-\frac{c}{b}=\frac{b}{a}x. Kita operasikan untuk memperoleh x:

\displaystyle -\frac{a}{b}x-\frac{c}{b}=\frac{b}{a}x\\ ax+c=-\frac{b^2}{a}x\\ x\left ( a+ \frac{b^2}{a}\right )=-c\\ x=-\frac{ac}{a^2+b^2}~...(iv)

Substitusi (iv) ke (ii) menghasilhan:

\displaystyle y=\frac{b}{a}\left ( -\frac{ac}{a^2+b^2} \right )\\ y=-\frac{bc}{a^2+b^2}

Akhirnya diperoleh koordinat titik S yaitu: \displaystyle S\left ( -\frac{ac}{a^2+b^2},-\frac{bc}{a^2+b^2} \right )

 

Karena d sama dengan jarak titik R ke S, maka:

\displaystyle d=\overline{RS}\\ d=\sqrt{\left [-\frac{ac}{a^2+b^2}-\frac{a(ax_1+by_1)}{a^2+b^2} \right ]^2+\left [ -\frac{bc}{a^2+b^2}-\frac{b(ax_1+by_1)}{a^2+b^2} \right ]^2}\\ d=\sqrt{\left [-\frac{a(ax_1+by_1+c)}{a^2+b^2} \right ]^2+\left [ -\frac{b(ax_1+by_1+c)}{a^2+b^2} \right ]^2}\\ d=\sqrt{\frac{a^2(ax_1+by_1+c)^2+b^2(ax_1+by_1+c)^2}{\left ( a^2+b^2 \right )^2}}\\ d=\sqrt{\frac{\left ( a^2+b^2 \right )(ax_1+by_1+c)^2}{\left ( a^2+b^2 \right )^2}}\\\boxed {d=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}}

Bukti Perkalian Dua Gradien Garis yang Saling Tegak Lurus Sama Dengan -1

Saya berinisiatif membuktikan rumus m₁ m₂ = -1 karena dalam buku pelajaran bahkan guru hampir tidak membuktikannya. Rumus ini instan diberikan saat memelajari bab garis lurus di kelas VIII SMP. Saya buktikan melalui rumus Pythagoras dan jarak antar dua titik. Perhatikan gambar!

Tidak Sempurna

a² + b² = c²

(x₂ – 0)² + (y₂ – 0)² + (x₁ – 0)² + (y₁ – 0)² = (x₁ – x₂)² + (y₁ – y₂)²

x² + x² + y² + y² = x² + 2x₁x₂ + x² + y² + 2y₁y₂ + y²

xx₂ + y₁y₂ = 0

y₂/x₂ = -x₁/y₁

 

m₁m₂ = y₁/x₁ y₂/x₂

m₁m₂ = y₁/x₁ (-x₁/y₁)

m₁m₂ = -1