Menyelesaikan Soal Bentuk Pangkat Level Olimpiade SMP

  • \displaystyle \frac{8^{802}-8^{800}+126}{8^{800}+2}

Soal ini saya temui di salah satu buku simulasi UNBK SMP 2017. Jangan panik melihat pangkat yang sangat besar. Jika kita tahu konsep bentuk pangkat pasti bisa menyelesaikannya. Untuk soal ini kita menggunakan bentuk pangkat \displaystyle a^{m+n}=a^m~a^n dan sifat distributif.

\displaystyle \frac{8^{802}-8^{800}+126}{8^{800}+2}\\ =\frac{8^2~8^{800}-8^{800}+126}{8^{800}+2}\\ =\frac{8^{800}(8^2-1)+126}{8^{800}+2}\\=\frac{63(8^{800}+2)}{8^{800}+2}\\ =63

 

  • \displaystyle \frac{2015^2(2014^2-2013)}{(2014^2-1)(2014^3+1)}\, \frac{2013^2(2014^2+2015)}{2014^3-1}

Soal ini boleh saya bilang termasuk HOTS. Agar memudahkan perhitungan kita bawa ke bentuk aljabar. Misal x = 2014 maka 2013 = x – 1 dan 2015 = x + 1.

\displaystyle \frac{2015^2(2014^2-2013)}{(2014^2-1)(2014^3+1)}\, \frac{2013^2(2014^2+2015)}{2014^3-1}\\ =\frac{(x+1)^2[x^2-(x-1)]}{(x^2-1)(x^3+1)}\, \frac{(x-1)^2[x^2+(x+1)]}{x^3-1}\\ =\frac{(x+1)^2(x^2-x+1)(x-1)^2(x^2+x+1)}{(x^2-1)(x^3+1)(x^3-1)}\\=\frac{(x+1)(x+1)(x^2-x+1)(x-1)(x-1)(x^2+x+1)}{(x-1)(x+1)(x^6-1)}\\ =\frac{(x+1)(x-1)(x^2-x+1)(x^2+x+1)}{(x+1)(x-1)(x^2-x+1)(x^2+x+1)}\\ =1
Iklan

Penyelesaian Soal Mengenai Sifat-Sifat Logaritma

Ini merupakan kelanjutan dari postingan saya yang membuktikan sifat-sifat logaritma (lihat https://blognyamazpandoe.wordpress.com/2018/11/02/pembuktian-sifat-sifat-logaritma/). Di situ ada 4 soal yang akan saya jawab. Ini hanyalah soal evaluasi kemampuan analisis dan penggunaannya tidak terlalu penting. Berikut penyelesaiannya:

  • Bukti \displaystyle \frac{^a\log c}{^b\log c}=\frac{\log b}{\log a}
\displaystyle \textrm{Misal}~^a\log c=m\leftrightarrow a^m=c\: \textrm{dan}\: ^b\log c=n\leftrightarrow b^n=c\\ a^m=b^n\\ \log a^m=\log b^n\\ m~\log a=n~\log b\\ \frac{m}{n}=\frac{\log b}{\log a}\\ \frac{^b\log c}{^a\log c}=\frac{\log b}{\log a}

Terbukti.

  • Bukti \displaystyle a^{~^b\log c}=c^{~^b\log a}
\displaystyle \textrm{Misal}\, a^{~^b\log c}=y\\ \log a^{~^b\log c}=\log y\\ ^b\log c~\log a=\log y\\ \frac{\log c}{\log b}\log a=\log y\\ \frac{\log a}{\log b}\log c=\log y\\ ^b\log a~\log c=\log y\\ \log c^{~^b\log a}=\log y\\ c^{~^b\log a}=y

Dari kesamaan y, jelas bahwa sifat ini benar. Terbukti.

Soal ke 3 dan ke 4 adalah soal terstruktur.

  • Bukti \displaystyle ^{ab}\log x=\frac{^a\log x~^b\log x}{^a\log x+^b\log x}
\displaystyle ^{ab}\log x=\frac{1}{^x\log ab}\\ =\frac{1}{^x\log a+^x\log b}\\ =\frac{^a\log x~^b\log x}{(^x\log a+^x\log b)(^a\log x~^b\log x)}\\ =\frac{^a\log x~^b\log x}{^x\log a~^a\log x~^b\log x+^x\log b~^b\log x~^a\log x}\\ =\frac{^a\log x~^b\log x}{^x\log x(^b\log x+^a\log x)}\\ =\frac{^a\log x~^b\log x}{^a\log x+^b\log x}

Terbukti.

  • Bukti \displaystyle \frac{^a\log n}{^{ab}\log n}=1+^a\log b
\displaystyle \frac{^a\log n}{^{ab}\log n}=\frac{^a\log n}{\frac{^a\log n~^b\log n}{^a\log n+^b\log n}}\\ =\frac{^a\log n(^a\log n+^b\log n)}{^a\log n~^b\log n}\\ =1+\frac{^a\log n}{^b\log n}\\ =1+\frac{\log b}{\log a}\\ 1+^a\log b

Terbukti.

Pembuktian Sifat-Sifat Logaritma

Logaritma adalah invers dari eksponen. Dalam bahasa matematika dirumuskan \displaystyle ^a\log b=c\leftrightarrow a^c=b. a adalah basis, b adalah numerus dan c adalah eksponen dengan a, b > 0, a ≠ 1.
Ada 8 sifat yang sangat berguna untuk menyelesaikan soal-soal logaritma. Berikut pembuktiannya:

  • Bukti \displaystyle ^a\log a=1

Kita sudah tahu bahwa berapapun bilangan jika dipangkatkan dengan satu sama dengan bilangan itu sendiri. Berdasarkan definisi logaritma dapat dibuktikan:

\displaystyle a^1=a\leftrightarrow ^a\log a=1

Terbukti.

  • Bukti \displaystyle ^a\log 1=0

Pada postingan sebelumnya telah dibuktikan berapapun bilangan dipangkatkan dengan nol hasilnya sama dengan satu. Sama seperti sebelumnya dapat dibuktikan:

\displaystyle a^0=1\leftrightarrow ^a\log 1=0

Terbukti.

  • Bukti \displaystyle ^a\log b+^a\log c=^a\log bc
\displaystyle \textrm{Misal}~^a\log b=m\leftrightarrow a^m=b\: \textrm{dan}~^a\log c=n\leftrightarrow a^n=c\\ bc=a^m~a^n\\ bc=a^{m+n}\leftrightarrow ^a\log bc=m+n\\ ^a\log bc=^a\log b+^a\log c

Terbukti.

  • Bukti \displaystyle ^a\log b-^a\log c=^a\log \left ( \frac{b}{c} \right )=-^a\log \left ( \frac{c}{b} \right )
\displaystyle \textrm{Misal}~^a\log b=m\leftrightarrow a^m=b\: \textrm{dan}~^a\log c=n\leftrightarrow a^n=c\\ \frac{b}{c}=\frac{a^m}{a^n}\\ \frac{b}{c}=a^{m-n}\leftrightarrow ^a\log \left ( \frac{b}{c} \right )=m-n\\ ^a\log \left ( \frac{b}{c} \right )=^a\log b-^a\log c

Bentuk diatas dapat kita ubah menjadi:

\displaystyle ^a\log b-^a\log c=-\left ( ^a\log c-^a\log b \right )=-^a\log \left ( \frac{c}{b} \right )

Terbukti.

  • Bukti \displaystyle ^{a^m}\log b^n=\frac{n}{m}~^a\log b
\displaystyle \textrm{Misal}~^{a^m}\log b^n=c\leftrightarrow \left ( a^m \right )^c=b^n\\ a^{mc}=b^n\\ b=\sqrt[n]{a^{mc}}\\ b=a^{\frac{mc}{n}}\leftrightarrow ^a\log b=\frac{mc}{n}\\ \frac{n}{m}~^a\log b=^{a^m}\log b^n

Terbukti.

Jika m = 1, maka \displaystyle ^a\log b^n=n~^a\log b

Untuk sifat \displaystyle ^a\log b^n=n~^a\log b bisa dibuktikan dengan cara berikut:

\displaystyle ^a\log b^n\\=^a\log (b~b~b~...)\\=^a\log b+^a\log b+^a\log b+...\\ =n~^a\log b
  • Bukti \displaystyle ^a\log b=\frac{^c\log b}{^c\log a}=\frac{1}{^b\log a}
\displaystyle \textrm{Misal}~^a\log b=m\leftrightarrow a^m=b\\ \textrm{Kita 'log' kan kedua ruas pada}~a^m=b ~\textrm{dengan basis c}\\ ^c\log a^m=^c\log b\\ m~^c\log a=^c\log b\\ ^a\log b=\frac{^c\log b}{^c\log a}

Apabila c = b, maka:

\displaystyle ^a\log b=\frac{^b\log b}{^b\log a}=\frac{1}{^b\log a}

Terbukti.

  • Bukti \displaystyle ^a\log b~~^b\log c=^a\log c

Kita gunakan sifat \displaystyle ^a\log b=\frac{^c\log b}{^c\log a}

\displaystyle ^a\log b~^b\log c=\frac{\log b}{\log a}\, \frac{\log c}{\log b}=\frac{\log c}{\log a}=^a\log c

Terbukti.

  • Bukti \displaystyle a^{~{^a}\log b}=b
\displaystyle \textrm{Misal}~^a\log b=c\leftrightarrow a^c=b\\ a^{~{^a}\log b}=b

Terbukti.

 

Kedepannya akan dibuktikan 4 sifat logaritma di bawah ini pada postingan selanjutnya:

  1. \displaystyle \frac{^b\log c}{^a\log c}=\frac{\log a}{\log b}
  2. \displaystyle a^{~{^b}\log c}=c^{~{^b}\log a}
  3. \displaystyle ^{ab}\log x=\frac{^a\log x~^b\log x}{^a\log x+^b\log x}
  4. \displaystyle \frac{^a\log n}{^{ab}\log n}=1+^a\log b

Soal nomor 3 dan 4 saya ambil dari buku Matematika Wajib Kelas X Kurikulum 2013, Sukino.

 

 

Pangkat Pecahan dan Bentuk Akar

Akan dibuktikan pangkat pecahan mempunyai hubungan dengan bentuk akar. Hubungan berikut ialah:

\displaystyle a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}=\left ( \sqrt[n]{a} \right )^m

Berdasarkan definisi \displaystyle \sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}:

\displaystyle a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}\\ a^{\frac{m}{n}}=\left ( a^{\frac{1}{n}} \right )^m=\left ( \sqrt[n]{a} \right )^m

Terbukti.

Berdasarkan definisi dapat dibuktikan bahwa \displaystyle \sqrt[n]{a^n}=a

Akan dibuktikan rumus-rumus lain yang 2 rumusnya mirip dengan bentuk pangkat.

  • Bukti \displaystyle \sqrt[n]{a}\, \sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}\: \textrm{dengan}~a,b\geq 0
\displaystyle \sqrt[n]{a}\, \sqrt[n]{b}= a^{\frac{1}{n}}\, b^{\frac{1}{n}} =\left ( ab \right )^{\frac{1}{n}} =\sqrt[n]{ab}\: \textrm{dengan}~a,b\geq 0

Terbukti.

  • Bukti \displaystyle \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[mn]{a}\, \textrm{dengan}~a\geq 0
\displaystyle \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} =\left ( a^{\frac{1}{n}} \right )^{\frac{1}{m}} =a^{\frac{1}{mn}} =\sqrt[mn]{a}\, \textrm{dengan}~a\geq 0

Terbukti.

  • Bukti \displaystyle \sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}\, \textrm{dengan}~b\geq 0
\displaystyle \sqrt[n]{\frac{a}{b}}= \left ( \frac{a}{b} \right )^\frac{1}{n} =\frac{a^\frac{1}{n}}{b^\frac{1}{n}} =\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}\, \textrm{dengan}~b\geq 0

Terbukti.

Bukti Rumus-Rumus Bentuk Pangkat, Pangkat Negatif dan Pangkat Nol

  • Bukti \displaystyle a^m~a^n=a^{m+n}

a^m a^n = (a a a … a) (a a a … a)

= a a a … a sebanyak m + n kali

= a^(m + n)

Terbukti.

Keterangan: warna merah menunjukkan a faktor sebanyak m kali dan warna biru menunjukkan a faktor sebanyak n kali.

  • Bukti \displaystyle \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\: \textrm{dengan}~a\neq 0
\displaystyle \frac{a^m}{a^n}=\frac{a~a~a~...~a\rightarrow \textrm{sebanyak~m~kali}}{a~a~a~...~a\rightarrow \textrm{sebanyak~n~kali}}\\ =a~a~a~...~a\rightarrow \textrm{sebanyak~m-n~kali}\\ =a^{m-n}

Terbukti.

  • Bukti \displaystyle \left ( a^m \right )^n=a^{mn}
\displaystyle \left ( a^m \right )^n=a^m~a^m~a^m~...~a^m\rightarrow \textrm{sebanyak~n~kali}\\ =a^{m+m+m+...+m}\rightarrow \textrm{sebanyak~n~kali}\\ =a^{mn}

Terbukti.

  • Bukti \displaystyle a^m~b^m=\left ( ab \right )^m

a^m b^m = (a a a … a) (b b b … b)

= ab ab ab … ab → sebanyak m kali

= (ab)^m

Terbukti.

Keterangan: warna ungu menunjukkan a faktor dan b faktor sebanyak m kali.

  • Bukti \displaystyle \frac{a^m}{b^m}=\left ( \frac{a}{b} \right )^m\; \textrm{dengan}~b\neq 0
\displaystyle \frac{a^m}{b^m}=\frac{a~a~a~...~a\rightarrow \textrm{sebanyak}~m~\textrm{kali}}{b~b~a~...~b\rightarrow \textrm{sebanyak}~m~\textrm{kali}}\\ =\frac{a}{b}\, \frac{a}{b}\, \frac{a}{b}\, ...\, \frac{a}{b}\rightarrow \textrm{sebanyak}~m~\textrm{kali}\\ =\left ( \frac{a}{b} \right )^m

Terbukti.

  • Bukti pangkat nol sama dengan satu

Untuk membuktikan ini kita gunakan rumus  \displaystyle \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\: \textrm{dengan}~a\neq 0. Kita buat a^0 = a^(m – m) sehingga:

\displaystyle \frac{a^m}{a^m}=a^{m-m}\\ 1=a^0\, \textrm{dengan}~a\neq 0

Terbukti.

  • Bukti pangkat negatif \displaystyle a^{-m}=\frac{1}{a^m}\, \textrm{dengan}~a\neq 0

Gunakan rumus  \displaystyle \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\: \textrm{dengan}~a\neq 0 untuk membuktikannya. Kita buat a^(-m) = a^(0 – m) sehingga:

\displaystyle a^{-m}=a^{0-m}=\frac{a^0}{a^m}=\frac{1}{a^m}\, \textrm{dengan}~a\neq 0

Terbukti.

Dari sini kita bisa turunkan rumus a^(m – n) = 1 / [a^(n – m)] dengan a ≠ 0.

\displaystyle a^{m-n}=a^{-(n-m)}=\frac{1}{a^{n-m}}\: \textrm{dengan}~a\neq 0