Soal Integral Fungsi Rasional yang ‘Tak Biasa’

Mengapa tak biasa? Karena soal mengenai integral ini yang diberikan di mata kuliah kalkulus biasanya penyebut sudah menunjukkan bentuk faktor linear tak berulang, faktor linear berulang, faktor kuadrat tak berulang dan faktor kuadrat berulang dengan D < 0 (definit) untuk faktor kuadratnya. Sebenarnya soal ini dari https://brainly.co.id/tugas/11455236 tetapi hanya menyuruh menjadikan ke pecahan parsial saja. Jawaban yang diberikan bebar tetapi kurang lengkap penyelesaiannya. Maka dari itu saya perjelas dalam postingan ini.

\displaystyle \int \frac{7x^4-11x^3+3x^2+7x-2}{x^5-x^4-2x^3+2x^2+x-1}\: dx

Faktorkan penyebut terlebih dahulu dengan bagan Horner:

Bagan Horner
Memfaktorkan polinomial berderajat 5 dengan bagan Horner.

Berdasarkan uraian di atas maka \displaystyle x^5-x^4-2x^3+2x^2+x-1=(x+1)^2(x-1)^3. Bentuk faktor yang diperoleh merupakan faktor linear berulang, sehingga:

\displaystyle \frac{7x^4-11x^3+3x^2+7x-2}{x^5-x^4-2x^3+2x^2+x-1}= \frac{A}{x-1}+\frac{B}{(x+1)^2}+\frac{C}{x-1}+\frac{D}{(x-1)^2}+\frac{E}{(x-1)^3}\\ \frac{7x^4-11x^3+3x^2+7x-2}{(x+1)^2(x-1)^3}= \frac{A(x+1)(x-1)^3+B(x-1)^3+C(x+1)^2(x-1)^2+D(x+1)^2(x-1)+E(x+1)^2}{(x+1)^2(x-1)^3}

Sampai sini kita cari nilai dari dua dari lima variabel (A, B, C, D & E) dengan mensubstitusi akar-akar real dari penyebut ke:

\displaystyle 7x^4-11x^3+3x^2+7x-2=A(x+1)(x-1)^3+B(x-1)^3+C(x+1)^2(x-1)^2+D(x+1)^2(x-1)+E(x+1)^2 ... (*)

agar mempermudah perhitungan yang mana akar-akar real nya -1 dan 1.

Substitusi -1 ke  (*) menghasilkan:

\displaystyle 7(-1)^4-11(-1)^3+3(-1)^2+7(-1)-2=A(-1+1)(-1-1)^3+B(-1-1)^3+C(-1+1)^2(-1-1)^2+D(-1+1)^2(-1-1)+E(-1+1)^2\\ 12=-8B\rightarrow B=-\frac{3}{2}

Substitusi 1 ke  (*) menghasilkan:

\displaystyle 7(1)^4-11(1)^3+3(1)^2+7(1)-2=A(1+1)(1-1)^3+B(1-1)^3+C(1+1)^2(1-1)^2+D(1+1)^2(1-1)+E(1+1)^2\\ 4=4E\rightarrow E=1

lalu substitusi B dan E ke (*), jabarkan dan kelompokkan seperti berikut:

\displaystyle 7x^4-11x^3+3x^2+7x-2=A(x+1)(x-1)^3-\frac{3}{2}(x-1)^3+C(x+1)^2(x-1)^2+D(x+1)^2(x-1)+(x+1)^2\\ 7x^4-11x^3+3x^2+7x-2=(A+C)x^4+\left ( D-2A-\frac{3}{2} \right )x^3+\left ( D-2C+\frac{11}{2} \right )x^2+\left ( 2A-D-\frac{5}{2} \right )x+\left ( C-A-D+1+\frac{3}{2} \right )

Akhirnya terbentuk 5 persamaan yang diperoleh dari pengelompokann tadi dengan menyamakan konstanta pada ruas kiri:

\displaystyle A+C=7\\ D-2A-\frac{3}{2}=-11\\ D-2C+\frac{11}{2}=3\\ 2A-D-\frac{5}{2}=7\\ C-A-D+1+\frac{3}{2}=-2

Kita cari nilai dari A, C & E:

\displaystyle D-2A=-\frac{19}{2}\\ D-2(7-C)=-\frac{19}{2}\\ D+2C=\frac{9}{2}\\ D+2C=\frac{9}{2}\\ D-2C=-\frac{5}{2}\\ 4C=7\rightarrow C=\frac{7}{4}\\ D-2\left ( \frac{7}{4} \right )=-\frac{5}{2}\rightarrow D=1\\ 2A-1=\frac{19}{2}\rightarrow A=\frac{21}{4}

Jadi:

\displaystyle \int \frac{7x^4-11x^3+3x^2+7x-2}{x^5-x^4-2x^3+2x^2+x-1}\: dx\\ =\int \left ( \frac{21}{4(x-1)}-\frac{3}{2(x-1)^2}+\frac{7}{4(x-1)}+\frac{1}{(x-1)^2}+\frac{1}{(x-1)^3} \right )dx\\ =\frac{21\ln |x-1|}{4}+\frac{3}{2(x-1)}+\frac{7\ln |x-1|}{4}-\frac{1}{x-1}-\frac{1}{2(x-1)^2}+C\\ =\frac{21\ln |x-1|+7\ln |x-1|}{4}+\frac{3(x-1)-2(x-1)-1}{2(x-1)^2}+C\\ =\frac{21\ln |x-1|+7\ln |x-1|}{4}+\frac{(x-1)(3-2)-1}{2(x-1)^2}+C\\ =\frac{21\ln |x-1|+7\ln |x-1|}{4}+\frac{x-2}{2(x-1)^2}+C

 

Iklan

Pemfaktoran Trinomial

Kali ini saya akan membahas bagaimana memfaktorkan bentuk ax² + bx + c dengan a = 1 dan a ≠ 1. Sebenarnya ini sudah diajarkan di SMP kelas VIII, tetapi saya akan menurunkan asal usulnya mengapa kalau a = 1 atau a ≠ 1 harus begitu cara memfaktorkannya.

  • Memfaktorkan aljabar bentuk ax² + bx + c dengan a = 1

Karena a = 1 ini berati menjadi x² + bx + c. Kita ubah menjadi:

\displaystyle x^2+bx+c\\ =(x+p)(x+q)\\ =x^2+px+qx+pq\\ =x^2+(p+q)x+pq

Berdasarkan kesamaan ruas kiri dengan ruas kanan dapat disimpulkan:\displaystyle p+q=b\, \textrm{dan}\, pq=c

Contoh soal: Faktorkan x² + 7x + 12!

\displaystyle x^2+7x+12=x^2+(p+q)x+pq\\ \left.\begin{matrix} p+q=7\\ pq=12 \end{matrix}\right\} p=3\, \textrm{dan}\, q=4\, \textrm{atau sebaliknya}\\ x^2+7x+12=(x+p)(x+q)\\ =(x+3)(x+4)

 

  • Memfaktorkan aljabar bentuk ax² + bx + c dengan a ≠ 1

Kita ubah ax² + bx + c menjadi:

\displaystyle ax^2+bx+c\\ =a\left ( x+\frac{p}{a} \right )\left ( x+\frac{q}{a} \right )\\ =\left ( ax+p \right )\left ( x+\frac{q}{a} \right )\\ =ax^2+px+qx+\frac{pq}{a}\\ =ax^2+(p+q)x+\frac{pq}{a}

Berdasarkan kesamaan ruas kiri dengan ruas kanan dapat disimpulkan:\displaystyle p+q=b\, \textrm{dan}\, pq=ac

Contoh soal: Faktorkan 2x² + 3x – 14!

\displaystyle 2x^2+3x-14=2x^2+(p+q)x+\frac{pq}{a}\\ \left.\begin{matrix} p+q=3\\ pq=-28 \end{matrix}\right\} p=-4\, \textrm{dan}\, q=7\, \textrm{atau sebaliknya}\\ 2x^2+3x-14=2\left ( x+\frac{p}{a} \right )\left ( x+\frac{q}{a} \right )\\=2\left ( x+\frac{-4}{2} \right )\left ( x+\frac{7}{2} \right )\\ =(2x+7)(x-2)

 

Menyelesaikan Soal Bentuk Pangkat Level Olimpiade SMP

  • \displaystyle \frac{8^{802}-8^{800}+126}{8^{800}+2}

Soal ini saya temui di salah satu buku simulasi UNBK SMP 2017. Jangan panik melihat pangkat yang sangat besar. Jika kita tahu konsep bentuk pangkat pasti bisa menyelesaikannya. Untuk soal ini kita menggunakan bentuk pangkat \displaystyle a^{m+n}=a^m~a^n dan sifat distributif.

\displaystyle \frac{8^{802}-8^{800}+126}{8^{800}+2}\\ =\frac{8^2~8^{800}-8^{800}+126}{8^{800}+2}\\ =\frac{8^{800}(8^2-1)+126}{8^{800}+2}\\=\frac{63(8^{800}+2)}{8^{800}+2}\\ =63

 

  • \displaystyle \frac{2015^2(2014^2-2013)}{(2014^2-1)(2014^3+1)}\, \frac{2013^2(2014^2+2015)}{2014^3-1}

Soal ini boleh saya bilang termasuk HOTS. Agar memudahkan perhitungan kita bawa ke bentuk aljabar. Misal x = 2014 maka 2013 = x – 1 dan 2015 = x + 1.

\displaystyle \frac{2015^2(2014^2-2013)}{(2014^2-1)(2014^3+1)}\, \frac{2013^2(2014^2+2015)}{2014^3-1}\\ =\frac{(x+1)^2[x^2-(x-1)]}{(x^2-1)(x^3+1)}\, \frac{(x-1)^2[x^2+(x+1)]}{x^3-1}\\ =\frac{(x+1)^2(x^2-x+1)(x-1)^2(x^2+x+1)}{(x^2-1)(x^3+1)(x^3-1)}\\=\frac{(x+1)(x+1)(x^2-x+1)(x-1)(x-1)(x^2+x+1)}{(x-1)(x+1)(x^6-1)}\\ =\frac{(x+1)(x-1)(x^2-x+1)(x^2+x+1)}{(x+1)(x-1)(x^2-x+1)(x^2+x+1)}\\ =1