Pemfaktoran Trinomial

Kali ini saya akan membahas bagaimana memfaktorkan bentuk ax² + bx + c dengan a = 1 dan a ≠ 1. Sebenarnya ini sudah diajarkan di SMP kelas VIII, tetapi saya akan menurunkan asal usulnya mengapa kalau a = 1 atau a ≠ 1 harus begitu cara memfaktorkannya.

  • Memfaktorkan aljabar bentuk ax² + bx + c dengan a = 1

Karena a = 1 ini berati menjadi x² + bx + c. Kita ubah menjadi:

\displaystyle x^2+bx+c\\ =(x+p)(x+q)\\ =x^2+px+qx+pq\\ =x^2+(p+q)x+pq

Berdasarkan kesamaan ruas kiri dengan ruas kanan dapat disimpulkan:\displaystyle p+q=b\, \textrm{dan}\, pq=c

Contoh soal: Faktorkan x² + 7x + 12!

\displaystyle x^2+7x+12=x^2+(p+q)x+pq\\ \left.\begin{matrix} p+q=7\\ pq=12 \end{matrix}\right\} p=3\, \textrm{dan}\, q=4\, \textrm{atau sebaliknya}\\ x^2+7x+12=(x+p)(x+q)\\ =(x+3)(x+4)

 

  • Memfaktorkan aljabar bentuk ax² + bx + c dengan a ≠ 1

Kita ubah ax² + bx + c menjadi:

\displaystyle ax^2+bx+c\\ =a\left ( x+\frac{p}{a} \right )\left ( x+\frac{q}{a} \right )\\ =\left ( ax+p \right )\left ( x+\frac{q}{a} \right )\\ =ax^2+px+qx+\frac{pq}{a}\\ =ax^2+(p+q)x+\frac{pq}{a}

Berdasarkan kesamaan ruas kiri dengan ruas kanan dapat disimpulkan:\displaystyle p+q=b\, \textrm{dan}\, pq=ac

Contoh soal: Faktorkan 2x² + 3x – 14!

\displaystyle 2x^2+3x-14=2x^2+(p+q)x+\frac{pq}{a}\\ \left.\begin{matrix} p+q=3\\ pq=-28 \end{matrix}\right\} p=-4\, \textrm{dan}\, q=7\, \textrm{atau sebaliknya}\\ 2x^2+3x-14=2\left ( x+\frac{p}{a} \right )\left ( x+\frac{q}{a} \right )\\=2\left ( x+\frac{-4}{2} \right )\left ( x+\frac{7}{2} \right )\\ =(2x+7)(x-2)

 

Iklan

Soal-Soal Aljabar Level Olimpiade SMP dan Penyelesainnya

Soal-soal ini sumbernya dari buku Pena Emas Olimpiade SMP penulis Sukino dan beberapa soal telah saya modifikasi bunyinya.

  • Buktikan bahwa \displaystyle \left (\frac{1}{b-c}+\frac{1}{c-a}+\frac{1}{a-b} \right )^2=\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{(c-a)^2}+\frac{1}{(a-b)^2}

Untuk menyelesaikannya gunakan rumus trinomial (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc!

\displaystyle \left (\frac{1}{b-c}+\frac{1}{c-a}+\frac{1}{a-b} \right )^2\\ =\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{(c-a)^2}+\frac{1}{(a-b)^2}+2~\frac{1}{b-c}~\frac{1}{c-a}+2~\frac{1}{b-c}~\frac{1}{a-b}+2~\frac{1}{c-a}~\frac{1}{a-b}\\ =\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{(c-a)^2}+\frac{1}{(a-b)^2}+2\left [ \frac{(a-b)+(c-a)+(b-c)}{(b-c)(c-a)(a-b)} \right ]\\=\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{(c-a)^2}+\frac{1}{(a-b)^2}
Terbukti.

 

  • Sederhanakan \displaystyle \frac{x^2-6y^2+xy+x+8y-2}{x^2+2y^2-3xy+5x-8y+6}\\ !
\displaystyle \frac{x^2-6y^2+xy+x+8y-2}{x^2+2y^2-3xy+5x-8y+6}\\ =\frac{x^2+x(y+1)-2(3y^2-4y+1)}{x^2-x(3y-5)+2(y^2-4y+3)}\\ =\frac{x^2+x(y+1)-2(3y^2-3y-y+1)}{x^2-x(3y-5)+2(y^2-3y-y+3)}\\=\frac{x^2+x(y+1)-2[3y(y-1)-(y-1)]}{x^2-x(3y-5)+2[y(y-3)-(y-3)]}\\ =\frac{x^2+x(y+1)-2[(3y-1)(y-1)]}{x^2-x(3y-5)+2[(y-1)(y-3)]}\\ =\frac{x^2+x(y+1)-(3y-1)(2y-2)}{x^2-x(3y-5)+(y-3)(2y-2)}\\=\frac{[x+(3y-1)]~[x-(2y-2)]}{[x-(y-3)]~[x-(2y-2)]}\\ =\frac{x+3y-1}{x-y+3}

 

  • Sederhanakan \displaystyle \left ( x-\frac{x+y+z}{3} \right )^2+\left ( y-\frac{x+y+z}{3} \right )^2+\left ( z-\frac{x+y+z}{3} \right )^2+3\left ( \frac{x+y+z}{3} \right )^2 !
\displaystyle \left ( x-\frac{x+y+z}{3} \right )^2+\left ( y-\frac{x+y+z}{3} \right )^2+\left ( z-\frac{x+y+z}{3} \right )^2+3\left ( \frac{x+y+z}{3} \right )^2\\=x^2-\frac{2x(x+y+z)}{3}+\left (\frac{x+y+z}{3} \right )^2+y^2-\frac{2y(x+y+z)}{3}+\left (\frac{x+y+z}{3} \right )^2+z^2-\frac{2z(x+y+z)}{3}+\left (\frac{x+y+z}{3} \right )^2+3\left ( \frac{x+y+z}{3} \right )^2\\=x^2+y^2+z^2-\frac{2x(x+y+z)+2y(x+y+z)+2z(x+y+z)}{3}+6\left ( \frac{x+y+z}{3} \right )^2\\ =x^2+y^2+z^2-\frac{2(x^2+xy+xz+xy+y^2+yz+xz+yz+z^2)}{3}+6\left ( \frac{x+y+z}{3} \right )^2\\=x^2+y^2+z^2-\frac{2(x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz)}{3}+6\left ( \frac{x+y+z}{3} \right )^2\\ =x^2+y^2+z^2-\frac{2(x+y+z)^2}{3}+\frac{2(x+y+z)^2}{3}\\ =x^2+y^2+z^2

Menyelesaikan Soal Bentuk Pangkat Level Olimpiade SMP

  • \displaystyle \frac{8^{802}-8^{800}+126}{8^{800}+2}

Soal ini saya temui di salah satu buku simulasi UNBK SMP 2017. Jangan panik melihat pangkat yang sangat besar. Jika kita tahu konsep bentuk pangkat pasti bisa menyelesaikannya. Untuk soal ini kita menggunakan bentuk pangkat \displaystyle a^{m+n}=a^m~a^n dan sifat distributif.

\displaystyle \frac{8^{802}-8^{800}+126}{8^{800}+2}\\ =\frac{8^2~8^{800}-8^{800}+126}{8^{800}+2}\\ =\frac{8^{800}(8^2-1)+126}{8^{800}+2}\\=\frac{63(8^{800}+2)}{8^{800}+2}\\ =63

 

  • \displaystyle \frac{2015^2(2014^2-2013)}{(2014^2-1)(2014^3+1)}\, \frac{2013^2(2014^2+2015)}{2014^3-1}

Soal ini boleh saya bilang termasuk HOTS. Agar memudahkan perhitungan kita bawa ke bentuk aljabar. Misal x = 2014 maka 2013 = x – 1 dan 2015 = x + 1.

\displaystyle \frac{2015^2(2014^2-2013)}{(2014^2-1)(2014^3+1)}\, \frac{2013^2(2014^2+2015)}{2014^3-1}\\ =\frac{(x+1)^2[x^2-(x-1)]}{(x^2-1)(x^3+1)}\, \frac{(x-1)^2[x^2+(x+1)]}{x^3-1}\\ =\frac{(x+1)^2(x^2-x+1)(x-1)^2(x^2+x+1)}{(x^2-1)(x^3+1)(x^3-1)}\\=\frac{(x+1)(x+1)(x^2-x+1)(x-1)(x-1)(x^2+x+1)}{(x-1)(x+1)(x^6-1)}\\ =\frac{(x+1)(x-1)(x^2-x+1)(x^2+x+1)}{(x+1)(x-1)(x^2-x+1)(x^2+x+1)}\\ =1