Soal Integral Legendaris Akar Kuadrat tan x dx

Banyak yang sudah membahas soal ini di Youtube walaupun orang mancanegara. Integral ini tidak dapat diselesaikan menggunakan metode substitusi! Saya akan menyelesaikan dengan cara manipulasi dan tentunya melibatkan identitas trigonometri. Cara yang digunakan adalah mengubah √tan x menjadi 1/2 (√tan x + √cot x + √tan x – √cot x) dan dijadikan seperti berikut:

\displaystyle \int \sqrt{\tan x}\: dx\\ =\int \frac{\sqrt{\tan x}+\sqrt{\cot x}+\sqrt{\tan x}-\sqrt{\cot x}}{2}\: dx\\ =\int \left ( \frac{\sqrt{\tan x}+\sqrt{\cot x}}{2}+\frac{\sqrt{\tan x}-\sqrt{\cot x}}{2} \right )dx\\ =\frac{1}{2}\int \left ( \sqrt{\frac{\sin x}{\cos x}}+\sqrt{\frac{\cos x}{\sin x}} \right )dx+\frac{1}{2}\int \left ( \sqrt{\frac{\sin x}{\cos x}}-\sqrt{\frac{\cos x}{\sin x}} \right )dx

Kemudian kita gunakan manipulasi dengan cara mengkuadratkan \displaystyle \sqrt{\frac{\sin x}{\cos x}}+\sqrt{\frac{\cos x}{\sin x}} dan \displaystyle \sqrt{\frac{\sin x}{\cos x}}-\sqrt{\frac{\cos x}{\sin x}} lalu diakarkan kembali. Misal: \displaystyle a=\sqrt{\frac{\sin x}{\cos x}}+\sqrt{\frac{\cos x}{\sin x}}, maka:

\displaystyle a=\sqrt{\frac{\sin x}{\cos x}}+\sqrt{\frac{\cos x}{\sin x}}\\ a^2=\frac{\sin x}{\cos x}+2+\frac{\cos x}{\sin x}=\frac{\sin^2 x+2\sin x\cos x+\cos^2 x}{\sin x\cos x}=\frac{(\sin x+\cos x)^2}{\sin x\cos x}\\ a=\frac{\sin x+\cos x}{\sqrt{\sin x\cos x}}

Untuk \displaystyle \sqrt{\frac{\sin x}{\cos x}}-\sqrt{\frac{\cos x}{\sin x}}\\ caranya sama. Jadi:

\displaystyle =\frac{1}{2}\int \left ( \sqrt{\frac{\sin x}{\cos x}}+\sqrt{\frac{\cos x}{\sin x}} \right )dx+\frac{1}{2}\int \left ( \sqrt{\frac{\sin x}{\cos x}}-\sqrt{\frac{\cos x}{\sin x}} \right )dx\\ =\frac{1}{2}\int \frac{\sin x+\cos x}{\sqrt{\sin x\cos x}}\: dx+\frac{1}{2}\int \frac{\sin x-\cos x}{\sqrt{\sin x\cos x}}\: dx\\ =\frac{1}{2}\int \frac{\sin x+\cos x}{\sqrt{\frac{\sin 2x}{2}}}\: dx+\frac{1}{2}\int \frac{\sin x-\cos x}{\sqrt{\frac{\sin 2x}{2}}}\: dx\\ =\frac{\sqrt{2}}{2}\int \frac{\sin x+\cos x}{\sqrt{\sin 2x}}\: dx+\frac{\sqrt{2}}{2}\int \frac{\sin x-\cos x}{\sqrt{\sin 2x}}\: dx\\ =\frac{1}{\sqrt{2}}\int \frac{\sin x+\cos x}{\sqrt{\sin 2x}}\: dx+\frac{1}{\sqrt{2}}\int \frac{\sin x-\cos x}{\sqrt{\sin 2x}}\: dx\\ =\frac{1}{\sqrt{2}}\int \frac{\sin x+\cos x}{\sqrt{1-(1-\sin 2x)}}\: dx+\frac{1}{\sqrt{2}}\int \frac{\sin x-\cos x}{\sqrt{(1+\sin 2x)-1}}\: dx\\ =\frac{1}{\sqrt{2}}\int \frac{\sin x+\cos x}{\sqrt{1-(\sin^2 x+\cos^2 x-2\sin x\cos x)}}\: dx+\frac{1}{\sqrt{2}}\int \frac{\sin x-\cos x}{\sqrt{(\sin^2 x+\cos^2 x+2\sin x\cos x)-1}}\: dx\\ =\frac{1}{\sqrt{2}}\int \frac{\sin x+\cos x}{\sqrt{1-(\sin x-\cos x)^2}}\: dx+\frac{1}{\sqrt{2}}\int \frac{\sin x-\cos x}{\sqrt{(\sin x+\cos x)^2-1}}\: dx

Akhirnya bentuk yang diperoleh bisa diselesaikan dengan integral substiusi. Untuk \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}\int \frac{\sin x+\cos x}{\sqrt{1-(\sin x-\cos x)^2}}\: dx

\displaystyle u=\sin x-\cos x\rightarrow \frac{du}{dx}=\cos x+\sin x\\ =\frac{1}{\sqrt{2}}\int \frac{\sin x+\cos x}{\sqrt{1-u^2}}\: \frac{du}{\cos x+\sin x}\\ =\frac{1}{\sqrt{2}}\arcsin (u)=\frac{\sin^{-1}(\sin x-\cos x)}{\sqrt{2}}

dan untuk \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}\int \frac{\sin x-\cos x}{\sqrt{(\sin x+\cos x)^2-1}}\: dx

\displaystyle v=\sin x+\cos x\rightarrow \frac{dv}{dx}=\cos x-\sin x\\ =\frac{1}{\sqrt{2}}\int \frac{\sin x-\cos x}{\sqrt{v^2-1}}\frac{dv}{\cos x-\sin x}\\ =-\frac{1}{\sqrt{2}}\int \frac{\cos x-\sin x}{\sqrt{v^2-1}}\frac{dv}{\cos x-\sin x}\\ =-\frac{1}{\sqrt{2}}\: \mathrm{arcosh}(v)=-\frac{\cosh^{-1}(\sin x+\cos x)}{\sqrt{2}}

Hasil dari pengintegralan ∫ √tan x dx adalah:

\displaystyle \int \sqrt{\tan x}\: dx\\ =\frac{1}{\sqrt{2}}\int \frac{\sin x+\cos x}{\sqrt{1-(\sin x-\cos x)^2}}\: dx+\frac{1}{\sqrt{2}}\int \frac{\sin x+\cos x}{\sqrt{(\sin x+\cos x)^2-1}}\: dx\\ =\frac{\sin^{-1}(\sin x-\cos x)}{\sqrt{2}}+\left [ -\frac{\cosh^{-1}(\sin x+\cos x)}{\sqrt{2}} \right ]+C\\ =\frac{\sin^{-1}(\sin x-\cos x)-\cosh^{-1}(\sin x+\cos x)}{\sqrt{2}}+C

Iklan

How to integrate ∫ x √(x² + 2x + 2) dx ?

Langkah pertama kita manipulasi menjadi seperti berikut:

\displaystyle \int x\sqrt{x^2+2x+2}\: dx\\ =\int [(x+1)-1]\sqrt{x^2+2x+2}\: dx\\\\ =\int \left [ (x+1)\sqrt{x^2+2x+2}-\sqrt{x^2+2x+2} \right ]dx\\ =\int (x+1)\sqrt{x^2+2x+2}\: dx-\int \sqrt{x^2+2x+2}\: dx

Kita integralkan satu persatu agar penyelesaian lebih mudah:

\displaystyle \int (x+1)\sqrt{x^2+2x+2}\: dx\\ u=x^2+2x+2\rightarrow \frac{du}{dx}=2x+2\\ =\int (x+1)\sqrt{u}\: \frac{du}{2x+2}\\ =\frac{1}{2}\int \sqrt{u}\: du\\ =\frac{1}{2}\left ( \frac{2}{3}u^{\frac{3}{2}} \right )\\ =\frac{1}{3}\left ( x^2+2x+2 \right )^{\frac{3}{2}}

Sampai langkah ini pemberian konstanta (C) belum diberikan karena ini bukan hasil akhir (jawaban) dari soal. Selanjutnya masih menggunakan manipulasi aljabar untuk mengintegralkan ∫ √(x² + 2x + 2) dx:

\displaystyle \int \sqrt{x^2+2x+2}\: dx\\ =\int \sqrt{x^2+2x+1+1}\: dx\\ =\int \sqrt{(x+1)^2+1}\: dx\\ v=x+1\rightarrow \frac{dv}{dx}=1\\ =\int \sqrt{v^2+1}\: dv

Bentuk integral ini diselesaikan dengan substitusi trigonometri atau dengan substitusi fungsi hiperbolik. Kita gunakan kedua metode untuk menunjukkan kebenarannya. Perhatikan gambar berikut:

Substitusi Trigonometri dann Hiperbolik

\displaystyle \int \sqrt{v^2+1}\: dv\\ =\int \sqrt{\tan^2 \theta+1}\: \sec^2\theta\: d\theta\\ =\int \sec^3\theta\: d\theta\\ =\frac{\ln |\tan\theta +\sec\theta |+\tan\theta \sec\theta }{2}\\ =\frac{\ln |v +\sqrt{v^2+1} |+v \sqrt{v^2+1} }{2}\\ =\frac{\sinh^{-1}(v)+v \sqrt{v^2+1} }{2}\\ =\frac{\sinh^{-1}(x+1)+x+1 \sqrt{(x+1)^2+1} }{2}

Belum merupakan hasil akhir, pemberian C belum diberikan. Sekarang dicoba dengan substitusi hiperbolik:

\displaystyle \int \sqrt{v^2+1}\: dv\\ v=\sinh u\rightarrow \frac{dv}{du}=\cosh u\\ =\int \sqrt{\sinh^2 u+1}\: \cosh u\: du\\ =\int \cosh^2 u\: du\\ =\frac{1}{2}\int (1+\cosh 2u)du\\ =\frac{1}{2}\left ( u+\frac{1}{2}\sinh 2u \right )\\ =\frac{u+\sinh u\cosh u}{2}\\ =\frac{u+\sinh u\sqrt{1+\sinh^2 u}}{2}\\ =\frac{\sinh^{-1}(v)+v\sqrt{1+v^2}}{2}\\ =\frac{\sinh^{-1}(x+1)+x+1\sqrt{(x+1)^2+1}}{2}

Jadi:

\displaystyle \int x\sqrt{x^2+2x+2}\: dx\\ =\frac{\left ( x^2+2x+2 \right )^{\frac{3}{2}}}{3}-\frac{\sinh^{-1}(x+1)+x+1\sqrt{(x+1)^2+1}}{2}+C\\ =\frac{2(x^2+2x+2)\sqrt{x^2+2x+2}-3\sinh^{-1}(x+1)-(3x+3)\sqrt{x^2+2x+2}}{6}+C\\ =\frac{\sqrt{x^2+2x+2}\: [(2x^2+4x+4)-(3x+3)]-3\sinh^{-1}(x+1)}{6}+C\\ =\frac{(2x^2+x+1)\sqrt{x^2+2x+2}-3\sinh^{-1}(x+1)}{6}+C

Metode Rasionalisasi Penyebut vs Substitusi Weierstrass

Pada kesempatan kali ini yana akan mengerjakan soal \displaystyle \int \frac{dx}{1+\sin x} dengan metode rasionalisasi penyebut dan substitusi Weierstrass. Apakah kedua metode hasilnya sama? Jika berbeda, saya akan menurunkan hasil pengintegralan dari dua metode yang berbeda untuk menunjukkan bahwa kedua metode valid digunakan.

  • Metode Rasionalisasi Penyebut

Diajarkan di SMA dan penyelesaian soal ini melibatkan identitas trigonometri.

\displaystyle \int \frac{dx}{1+\sin x}\\ =\int \left ( \frac{1}{1+\sin x}\, \frac{1-\sin x}{1+\sin x} \right )dx\\ =\int \frac{1-\sin x}{1-\sin^2 x}\, dx\\ =\int \frac{1-\sin x}{\cos^2 x}\, dx\\ =\int \left ( \frac{1}{\cos^2 x}-\frac{\sin x}{\cos^2 x} \right )dx

Sampai sini kita selesaikan dulu \displaystyle \int \frac{\sin x}{\cos^2 x}\, dx dengan metode substitusi:

\displaystyle u=\cos x\\ \frac{du}{dx}=-\sin x\rightarrow dx=-\frac{du}{\sin x}\\ \int \frac{\sin x}{\cos^2 x}\, dx\\ =\int \frac{\sin x}{u^2}\, \frac{du}{-\sin x}\\ =-\frac{1}{u}\\ =-\frac{1}{\cos x}=-\sec x

Jadi:

\displaystyle \int \left ( \frac{1}{\cos^2 x}-\frac{\sin x}{\cos^2 x} \right )dx\\ =\tan x-\sec x+C

  • Metode Substitusi Weierstrass

Digunakan untuk menyelesaikan integral fungsi rasional trigonometri. Ada 5 substitusi yang digunakan dan ‘mereka’ adalah:

\displaystyle t=\tan \left ( \frac{x}{2} \right )\\ dx=\frac{2}{1+t^2}\, dt\\ \sin x=\frac{2t}{1+t^2}\\ \cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}\\ \tan x=\frac{2t}{1-t^2}

Lalu darimana ke 5 nya diperoleh? Perhatikan gambar dibawah ini:

Weierstrass Substitution

Sekarang kita kerjakan soal ini:

\displaystyle \int \frac{dx}{1+\sin x}\\ =\int \frac{\frac{2dt}{1+t^2}}{1+\frac{2t}{1+t^2}}\\ =\int \frac{2dt}{1+t^2}\, \frac{1+t^2}{1+t^2+2t}\\ =2\int \frac{dt}{(1+t)^2}\\ =-\frac{2}{1+t}+C\\ =-\frac{2}{\tan \left ( \frac{x}{2} \right )+1}+C

Ternyata kedua metode menghasilkan jawaban yang beda. Kita turunkan kedua hasil yang diperoleh apakah hasilnya akan \displaystyle \frac{1}{1+\sin x} ?

  • \displaystyle \frac{d}{dx}(\tan x-\sec x)

\displaystyle =\sec^2 x-\sec x\tan x\\ =\sec x (\sec x-\tan x)\\ =\frac{\frac{1}{\cos x}-\frac{\sin x}{\cos x}}{\cos x}\\ =\frac{1-\sin x}{\cos^2 x}\\ =\frac{1-\sin x}{1-\sin^2 x}\\ =\frac{1-\sin x}{(1-\sin x)(1+\sin x)}\\ =\frac{1}{1+\sin x}

Metode pertama valid digunakan. Bagaimana dengan metode kedua?

\displaystyle \frac{d}{dx}\left ( -\frac{2}{\tan\left ( \frac{x}{2} \right )+1} \right )\\ =\frac{0\left [ \tan\left ( \frac{x}{2} \right )+1 \right ]-(-2)\left [ \frac{1}{2}\sec^2 \left ( \frac{x}{2} \right )+0 \right ]}{\left ( \tan\left ( \frac{x}{2} \right )+1 \right )^2}\\ =\frac{\sec^2 \left ( \frac{x}{2} \right )}{\left ( \tan\left ( \frac{x}{2} \right )+1 \right )^2}\\ =\frac{1}{\left ( \sin\left ( \frac{x}{2} \right )+\cos\left ( \frac{x}{2} \right ) \right )^2}\\ =\frac{1}{\sin^2\left ( \frac{x}{2} \right )+2\sin\left ( \frac{x}{2} \right )\cos\left ( \frac{x}{2} \right )+\cos^2\left ( \frac{x}{2} \right )}\\ =\frac{1}{1+\sin x}

Ternyata juga sama. Berati kedua metode valid untuk digunakan menyelesaikan soal dengan bentuk ini.

How to Integrate ∫ sin 4x e^(tan² x) dx ?

Soal ini pada awal penyelesaian tidak langsung menggunakan metode parsial karena akan sangat sulit diselesaikan. Untuk menyelesaikannya kita menggunakan beberapa identitas trigonometri dan trik berupa rumus cepat (dibuktikan pada postingan ini). Penggunaan rumus sudut ganda disini tidak menggunakan rumus yang sudah dipelajari saat SMA. Kita menggunakan \displaystyle \sin 2x=\frac{2\tan x}{1+\tan^2 x}\: \textrm{dan}\: \cos 2x=\frac{1-\tan^2 x}{1+\tan^2 x}.

Mengapa saya memosting soal ini? Karena ternyata wolframalpha.com yang mungkin didewa-dewakan untuk menyelesaikan soal rumit saja tidak dapat menunjukkan cara penyelesaiannya (hanya hasilnya) untuk soal ini!

Integral Istimewa

 

\displaystyle \int \sin 4x\, e^{\tan^2 x}\: dx\\ =\int 2\sin 2x \cos 2x\, e^{\tan^2 x}\: dx\\ =2\int \frac{2\tan x}{1+\tan^2 x}\: \frac{1-\tan^2 x}{1+\tan^2 x}\, e^{\tan^2 x}\: dx\\\\ =4\int \frac{\tan x(1-\tan^2 x)}{(\sec^2 x)^2}\, e^{\tan^2 x}\: dx\\ u=\tan^2 x\\ du=2\tan x\sec^2 x\, dx\\ =4\int \frac{\tan x(1-u)e^u}{(\sec^2 x)^2}\: \frac{du}{2\sec^2 x\tan x}\\ =2\int \frac{1-u}{(\sec^2 x)^3}\, e^u\, du\\ =2\int \frac{1-u}{(1+\tan^2 x)^3}\, e^u\, du\\ =2\int \frac{1-u}{(1+u)^3}\, e^u\, du\\ =2\int \frac{1+1-1-u}{(1+u)^3}\, e^u\, du\\ =2\int \frac{2-(1+u)}{(1+u)^3}\, e^u\, du\\ =2\int e^u\left [ \frac{2}{(1+u)^3}-\frac{1+u}{(1+u)^3} \right ]du\\ =2\int e^u\left [\frac{2}{(1+u)^3}-\frac{1}{(1+u)^2} \right ]du\\ =2\int e^u\left [-\frac{1}{(1+u)^2}+\frac{2}{(1+u)^3} \right ]du

Permasalahan di atas merupakan bentuk ∫ e^u [f(u) + f‘(u)] du yang memberikan solusi e^u f(u) + C. Kita buktikan rumus ini dengan metode parsial:
\displaystyle \int e^u[f(u)+f'(u)]\, du\\ \int e^u[f(u)+f'(u)]\, du=\int e^uf(u)\, du+\int e^uf'(u)\, du\\ \int e^u[f(u)+f'(u)]\, du=\int e^uf(u)\, du+e^uf(u)-\int e^uf(u)\, du\\ \boxed {\int e^u[f(u)+f'(u)]\, du=e^uf(u)+C}

Jadi:

\displaystyle =-2e^u\frac{1}{(1+u)^2}+C\\ =-\frac{2e^{\tan^2 x}}{(1+\tan^2 x)^2}+C\\ =-\frac{2e^{\tan^2 x}}{\sec^4 x}+C\\ =-2\cos^4 x\, e^{\tan^2 x}+C

Menyelesaikan Integral Bentuk ∫ dx / (ax² + b)^n

Untuk integral seperti ini tidak dapat diselesaikan dengan pecahan parsial seperti \displaystyle \frac{1}{(x^2+1)^2}=\frac{Ax+B}{x^2+1}+\frac{Cx+D}{(x^2+1)^2} karena variabel A, B, C & D pada ruas kanan setelah dicari nilainya akan kembali lagi menjadi ruas kiri. Untuk menyelesaikan ini menggunakan metode parsial, tetapi saya akan menurunkan rumus reduksi untuk menyelesaikannya agar cepat diselesaikan yang mana rumusnya:

\displaystyle \boxed {\int \frac{dx}{(ax^2+b)^n}=\frac{2n-3}{2b(n-1)}\int \frac{dx}{(ax^2+b)^{n-1}}+\frac{x}{2b(n-1)(ax^2+b)^{n-1}}+C}

Bukti rumus di atas:

\displaystyle \int u\, dv=uv-\int v\, du\\ u=\frac{1}{(ax^2+b)^n}\rightarrow du=-\frac{-2anx}{(ax^2+b)^{n+1}}\: dx\\ dv=1\rightarrow v=x\\ \int \frac{dx}{(ax^2+b)^n}=\frac{x}{(ax^2+b)^n}+2n\int \frac{ax^2}{(ax^2+b)^{n+1}}\: dx+C\\ \int \frac{dx}{(ax^2+b)^n}=\frac{x}{(ax^2+b)^n}+2n\int \frac{ax^2+b-b}{(ax^2+b)^{n+1}}\: dx+C\\ \int \frac{dx}{(ax^2+b)^n}=\frac{x}{(ax^2+b)^n}+2n\int \left ( \frac{1}{(ax^2+b)^n}-\frac{b}{(ax^2+b)^{n+1}} \right )\: dx+C\\ \int \frac{dx}{(ax^2+b)^n}=\frac{x}{(ax^2+b)^n}+2n\int \frac{dx}{(ax^2+b)^n}-2nb\int \frac{dx}{(ax^2+b)^{n+1}}+C\\ 2nb\int \frac{dx}{(ax^2+b)^{n+1}}=2n\int \frac{dx}{(ax^2+b)^n}-\int \frac{dx}{(ax^2+b)^n}+\frac{x}{(ax^2+b)^n}+C\\ 2nb\int \frac{dx}{(ax^2+b)^{n+1}}=(2n-1)\int \frac{dx}{(ax^2+b)^n}+\frac{x}{(ax^2+b)^n}+C\\

Sampai sini, ubah n menjadi n – 1 dan bagi kedua ruas dengan 2(n – 1)b menghasilkan:

\displaystyle 2(n-1)b\int \frac{dx}{(ax^2+b)^n}=(2n-3)\int \frac{dx}{(ax^2+b)^{n-1}}+\frac{x}{(ax^2+b)^{n-1}}+C\\ \int \frac{dx}{(ax^2+b)^n}=\frac{2n-3}{2b(n-1)}\int \frac{dx}{(ax^2+b)^{n-1}}+\frac{x}{2b(n-1)(ax^2+b)^{n-1}}+C

Rumus sudah terbukti. Sekarang saya beri satu contoh soal yang diselesaikan dengan rumus reduksi tersebut:

\displaystyle \int \frac{dx}{(ax^2+b)^n}=\frac{2(2)-3}{2(1)(2-1)}\int \frac{dx}{(x^2+1)^{2-1}}+\frac{x}{2(1)(2-1)(x^2+1)^{2-1}}+C\\ =\frac{x}{2(x^2+1)}+\frac{1}{2}\int \frac{dx}{x^2+1}+C\\ =\frac{x}{2(x^2+1)}+\frac{1}{2}\arctan (x)+C\\ =\frac{\tan^{-1}(x)}{2}+\frac{x}{2(x^2+1)}+C