How to integrate ∫ x √(x² + 2x + 2) dx ?

Langkah pertama kita manipulasi menjadi seperti berikut:

\displaystyle \int x\sqrt{x^2+2x+2}\: dx\\ =\int [(x+1)-1]\sqrt{x^2+2x+2}\: dx\\\\ =\int \left [ (x+1)\sqrt{x^2+2x+2}-\sqrt{x^2+2x+2} \right ]dx\\ =\int (x+1)\sqrt{x^2+2x+2}\: dx-\int \sqrt{x^2+2x+2}\: dx

Kita integralkan satu persatu agar penyelesaian lebih mudah:

\displaystyle \int (x+1)\sqrt{x^2+2x+2}\: dx\\ u=x^2+2x+2\rightarrow \frac{du}{dx}=2x+2\\ =\int (x+1)\sqrt{u}\: \frac{du}{2x+2}\\ =\frac{1}{2}\int \sqrt{u}\: du\\ =\frac{1}{2}\left ( \frac{2}{3}u^{\frac{3}{2}} \right )\\ =\frac{1}{3}\left ( x^2+2x+2 \right )^{\frac{3}{2}}

Sampai langkah ini pemberian konstanta (C) belum diberikan karena ini bukan hasil akhir (jawaban) dari soal. Selanjutnya masih menggunakan manipulasi aljabar untuk mengintegralkan ∫ √(x² + 2x + 2) dx:

\displaystyle \int \sqrt{x^2+2x+2}\: dx\\ =\int \sqrt{x^2+2x+1+1}\: dx\\ =\int \sqrt{(x+1)^2+1}\: dx\\ v=x+1\rightarrow \frac{dv}{dx}=1\\ =\int \sqrt{v^2+1}\: dv

Bentuk integral ini diselesaikan dengan substitusi trigonometri atau dengan substitusi fungsi hiperbolik. Kita gunakan kedua metode untuk menunjukkan kebenarannya. Perhatikan gambar berikut:

Substitusi Trigonometri dann Hiperbolik

\displaystyle \int \sqrt{v^2+1}\: dv\\ =\int \sqrt{\tan^2 \theta+1}\: \sec^2\theta\: d\theta\\ =\int \sec^3\theta\: d\theta\\ =\frac{\ln |\tan\theta +\sec\theta |+\tan\theta \sec\theta }{2}\\ =\frac{\ln |v +\sqrt{v^2+1} |+v \sqrt{v^2+1} }{2}\\ =\frac{\sinh^{-1}(v)+v \sqrt{v^2+1} }{2}\\ =\frac{\sinh^{-1}(x+1)+x+1 \sqrt{(x+1)^2+1} }{2}

Belum merupakan hasil akhir, pemberian C belum diberikan. Sekarang dicoba dengan substitusi hiperbolik:

\displaystyle \int \sqrt{v^2+1}\: dv\\ v=\sinh u\rightarrow \frac{dv}{du}=\cosh u\\ =\int \sqrt{\sinh^2 u+1}\: \cosh u\: du\\ =\int \cosh^2 u\: du\\ =\frac{1}{2}\int (1+\cosh 2u)du\\ =\frac{1}{2}\left ( u+\frac{1}{2}\sinh 2u \right )\\ =\frac{u+\sinh u\cosh u}{2}\\ =\frac{u+\sinh u\sqrt{1+\sinh^2 u}}{2}\\ =\frac{\sinh^{-1}(v)+v\sqrt{1+v^2}}{2}\\ =\frac{\sinh^{-1}(x+1)+x+1\sqrt{(x+1)^2+1}}{2}

Jadi:

\displaystyle \int x\sqrt{x^2+2x+2}\: dx\\ =\frac{\left ( x^2+2x+2 \right )^{\frac{3}{2}}}{3}-\frac{\sinh^{-1}(x+1)+x+1\sqrt{(x+1)^2+1}}{2}+C\\ =\frac{2(x^2+2x+2)\sqrt{x^2+2x+2}-3\sinh^{-1}(x+1)-(3x+3)\sqrt{x^2+2x+2}}{6}+C\\ =\frac{\sqrt{x^2+2x+2}\: [(2x^2+4x+4)-(3x+3)]-3\sinh^{-1}(x+1)}{6}+C\\ =\frac{(2x^2+x+1)\sqrt{x^2+2x+2}-3\sinh^{-1}(x+1)}{6}+C

Iklan

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout /  Ubah )

Foto Google

You are commenting using your Google account. Logout /  Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout /  Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout /  Ubah )

Connecting to %s

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.