Metode Rasionalisasi Penyebut vs Substitusi Weierstrass

Pada kesempatan kali ini yana akan mengerjakan soal \displaystyle \int \frac{dx}{1+\sin x} dengan metode rasionalisasi penyebut dan substitusi Weierstrass. Apakah kedua metode hasilnya sama? Jika berbeda, saya akan menurunkan hasil pengintegralan dari dua metode yang berbeda untuk menunjukkan bahwa kedua metode valid digunakan.

  • Metode Rasionalisasi Penyebut

Diajarkan di SMA dan penyelesaian soal ini melibatkan identitas trigonometri.

\displaystyle \int \frac{dx}{1+\sin x}\\ =\int \left ( \frac{1}{1+\sin x}\, \frac{1-\sin x}{1+\sin x} \right )dx\\ =\int \frac{1-\sin x}{1-\sin^2 x}\, dx\\ =\int \frac{1-\sin x}{\cos^2 x}\, dx\\ =\int \left ( \frac{1}{\cos^2 x}-\frac{\sin x}{\cos^2 x} \right )dx

Sampai sini kita selesaikan dulu \displaystyle \int \frac{\sin x}{\cos^2 x}\, dx dengan metode substitusi:

\displaystyle u=\cos x\\ \frac{du}{dx}=-\sin x\rightarrow dx=-\frac{du}{\sin x}\\ \int \frac{\sin x}{\cos^2 x}\, dx\\ =\int \frac{\sin x}{u^2}\, \frac{du}{-\sin x}\\ =-\frac{1}{u}\\ =-\frac{1}{\cos x}=-\sec x

Jadi:

\displaystyle \int \left ( \frac{1}{\cos^2 x}-\frac{\sin x}{\cos^2 x} \right )dx\\ =\tan x-\sec x+C

  • Metode Substitusi Weierstrass

Digunakan untuk menyelesaikan integral fungsi rasional trigonometri. Ada 5 substitusi yang digunakan dan ‘mereka’ adalah:

\displaystyle t=\tan \left ( \frac{x}{2} \right )\\ dx=\frac{2}{1+t^2}\, dt\\ \sin x=\frac{2t}{1+t^2}\\ \cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}\\ \tan x=\frac{2t}{1-t^2}

Lalu darimana ke 5 nya diperoleh? Perhatikan gambar dibawah ini:

Weierstrass Substitution

Sekarang kita kerjakan soal ini:

\displaystyle \int \frac{dx}{1+\sin x}\\ =\int \frac{\frac{2dt}{1+t^2}}{1+\frac{2t}{1+t^2}}\\ =\int \frac{2dt}{1+t^2}\, \frac{1+t^2}{1+t^2+2t}\\ =2\int \frac{dt}{(1+t)^2}\\ =-\frac{2}{1+t}+C\\ =-\frac{2}{\tan \left ( \frac{x}{2} \right )+1}+C

Ternyata kedua metode menghasilkan jawaban yang beda. Kita turunkan kedua hasil yang diperoleh apakah hasilnya akan \displaystyle \frac{1}{1+\sin x} ?

  • \displaystyle \frac{d}{dx}(\tan x-\sec x)

\displaystyle =\sec^2 x-\sec x\tan x\\ =\sec x (\sec x-\tan x)\\ =\frac{\frac{1}{\cos x}-\frac{\sin x}{\cos x}}{\cos x}\\ =\frac{1-\sin x}{\cos^2 x}\\ =\frac{1-\sin x}{1-\sin^2 x}\\ =\frac{1-\sin x}{(1-\sin x)(1+\sin x)}\\ =\frac{1}{1+\sin x}

Metode pertama valid digunakan. Bagaimana dengan metode kedua?

\displaystyle \frac{d}{dx}\left ( -\frac{2}{\tan\left ( \frac{x}{2} \right )+1} \right )\\ =\frac{0\left [ \tan\left ( \frac{x}{2} \right )+1 \right ]-(-2)\left [ \frac{1}{2}\sec^2 \left ( \frac{x}{2} \right )+0 \right ]}{\left ( \tan\left ( \frac{x}{2} \right )+1 \right )^2}\\ =\frac{\sec^2 \left ( \frac{x}{2} \right )}{\left ( \tan\left ( \frac{x}{2} \right )+1 \right )^2}\\ =\frac{1}{\left ( \sin\left ( \frac{x}{2} \right )+\cos\left ( \frac{x}{2} \right ) \right )^2}\\ =\frac{1}{\sin^2\left ( \frac{x}{2} \right )+2\sin\left ( \frac{x}{2} \right )\cos\left ( \frac{x}{2} \right )+\cos^2\left ( \frac{x}{2} \right )}\\ =\frac{1}{1+\sin x}

Ternyata juga sama. Berati kedua metode valid untuk digunakan menyelesaikan soal dengan bentuk ini.

Iklan

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout /  Ubah )

Foto Google

You are commenting using your Google account. Logout /  Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout /  Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout /  Ubah )

Connecting to %s

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.