Integral Parsial vs Integral Substitusi

Apa yang ada di benah anda jika melihat soal ∫ 2x(x – 6)^4 dx ? Anda pasti mengerjakannya menggunakan metode  parsial (integration by parts method) karena 2x(x – 6)^4 merupakan bentuk perkalian. Akan tetapi integral yang melibatkan bentuk itu tidak semua harus dikerjakan dengan metode parsial. Sekarang saja selesaikan dengan metode parsial kemudian dengan metode substitusi.

\displaystyle \int 2x(x-6)^4dx\\ \\ \int u\, dv=uv-\int v\, du\\ u=2x\rightarrow dx=\frac{du}{2}\\ dv=(x-6)^4\rightarrow v=\frac{(x-6)^5}{5}\\ \int 2x(x-6)^4dx=(2x)\, \frac{(x-6)^5}{5}-\int \frac{(x-6)^5}{5}\, (2\, dx)\\ =\frac{2x(x-6)^5}{2}-\frac{2}{5}\, \frac{(x-6)^6}{6}+C\\ =\frac{2x(x-6)^5}{2}-\frac{(x-6)^6}{15}+C\\ = \frac{6x(x-6)^5-(x-6)^6}{15}+C\\ =\frac{(x-6)^5\, [6x-(x-6)]}{15}+C\\ =\frac{(x-6)^5\, (5x+6)}{15}+C

Bandingkan dengan menggunakan metode substitusi:

\displaystyle \int 2x(x-6)^4dx\\  u=x-6\rightarrow x=u-6\\ du=dx\\ 2\int (u+6)u^4du\\ =2\left ( \frac{u^6}{6}+\frac{6u^5}{5} \right )+C\\ =\frac{(x-6)^6}{3}+\frac{12(x-6)^5}{5}+C\\ =\frac{5(x-6)^6+36(x-6)^5}{15}+C\\ =\frac{(x-6)^5\, [5(x-6)+36]}{15}+C\\ =\frac{(x-6)^5\, (5x+6)}{15}+C

Sekarang kalau soalnya begini: ∫ 4x√(3x – 2) dx

Dengan metode substitusi:

\displaystyle \int 4x\sqrt{3x-2}\, dx\\ \displaystyle u=3x-2\rightarrow x=\frac{u+2}{3}\\ du=3\, dx\rightarrow dx=\frac{du}{3}\\  4\int \frac{u+2}{3}u^{\frac{1}{2}}\, \frac{du}{3}\\ =\frac{4}{9}\int \left ( u^{\frac{3}{2}}+2u^{\frac{1}{2}} \right )du\\ =\frac{4}{9}\left [ \frac{2(3x-2)^{\frac{5}{2}}}{5}+\frac{4(3x-2)^{\frac{3}{2}}}{3} \right ]+C\\ =\frac{8(3x-2)^{\frac{5}{2}}}{45}+\frac{16(3x-2)^{\frac{3}{2}}}{27}+C\\ =\frac{24(3x-2)^{\frac{5}{2}}+80(3x-2)^{\frac{3}{2}}}{135}+C\\ =\frac{(3x-2)^{\frac{3}{2}}[24(3x-2)+80(3x-2)^0]}{135}+C\\ =\frac{8(3x-2)^{\frac{3}{2}}(9x+4)}{135}+C

Dengan metode parsial:

\displaystyle \int 4x\sqrt{3x-2}dx\\  u=4x\rightarrow du=4\, dx\\ dv=(3x-2)^\frac{1}{2}\rightarrow v=\frac{2(3x-2)^{\frac{3}{2}}}{9}\\ \int 4x\sqrt{3x-2}\, dx=\frac{2(3x-2)^{\frac{3}{2}}}{9}(4x)-\int \frac{2(3x-2)^{\frac{3}{2}}}{9}(4\, dx)\\ =\frac{8(3x-2)^{\frac{3}{2}}}{9}-\frac{8}{9}\int (3x-2)^{\frac{3}{2}}\, dx\\ =\frac{8(3x-2)^{\frac{3}{2}}}{9}-\frac{8}{9}\: \frac{2(3x-2)^{\frac{5}{2}}}{15}+C\\ =\frac{8(3x-2)^{\frac{3}{2}}}{9}-\frac{16(3x-2)^{\frac{5}{2}}}{135}+C\\ =\frac{120x(3x-2)^{\frac{3}{2}}-16(3x-2)^{\frac{5}{2}}}{135}+C\\ =\frac{(3x-2)^{\frac{3}{2}}[120x-16(3x-2)]}{135}+C\\ =\frac{8(3x-2)^{\frac{3}{2}}(9x+4)}{135}+C

Ternyata pada soal kedua jika diselesaikan dengan metode  parsial lebih lama waktunya karena juga melibatkan integral substitusi. Jadi untuk menyelesaikan bentuk soal seperti soal kedua lebih efisien menggunakan integral substitusi.

Lalu metode parsial sebaiknya digunakan jika bentuk soal bagaimana? Digunakan apabila u dan dv merupakan fungsi yang berbeda jenisnya. Contoh soal yang harus menggunakan metode parsial:

  1. ∫ arcsin x dx
  2. x² ln x dx
  3. x² e^(2x) dx
  4. ∫ e^x sin x dx
Iklan

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout /  Ubah )

Foto Google

You are commenting using your Google account. Logout /  Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout /  Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout /  Ubah )

Connecting to %s

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.