Soal Integral Fungsi Rasional yang ‘Tak Biasa’

Mengapa tak biasa? Karena soal mengenai integral ini yang diberikan di mata kuliah kalkulus biasanya penyebut sudah menunjukkan bentuk faktor linear tak berulang, faktor linear berulang, faktor kuadrat tak berulang dan faktor kuadrat berulang dengan D < 0 (definit) untuk faktor kuadratnya. Sebenarnya soal ini dari https://brainly.co.id/tugas/11455236 tetapi hanya menyuruh menjadikan ke pecahan parsial saja. Jawaban yang diberikan bebar tetapi kurang lengkap penyelesaiannya. Maka dari itu saya perjelas dalam postingan ini.

\displaystyle \int \frac{7x^4-11x^3+3x^2+7x-2}{x^5-x^4-2x^3+2x^2+x-1}\: dx

Faktorkan penyebut terlebih dahulu dengan bagan Horner:

Bagan Horner
Memfaktorkan polinomial berderajat 5 dengan bagan Horner.

Berdasarkan uraian di atas maka \displaystyle x^5-x^4-2x^3+2x^2+x-1=(x+1)^2(x-1)^3. Bentuk faktor yang diperoleh merupakan faktor linear berulang, sehingga:

\displaystyle \frac{7x^4-11x^3+3x^2+7x-2}{x^5-x^4-2x^3+2x^2+x-1}= \frac{A}{x-1}+\frac{B}{(x+1)^2}+\frac{C}{x-1}+\frac{D}{(x-1)^2}+\frac{E}{(x-1)^3}\\ \frac{7x^4-11x^3+3x^2+7x-2}{(x+1)^2(x-1)^3}= \frac{A(x+1)(x-1)^3+B(x-1)^3+C(x+1)^2(x-1)^2+D(x+1)^2(x-1)+E(x+1)^2}{(x+1)^2(x-1)^3}

Sampai sini kita cari nilai dari dua dari lima variabel (A, B, C, D & E) dengan mensubstitusi akar-akar real dari penyebut ke:

\displaystyle 7x^4-11x^3+3x^2+7x-2=A(x+1)(x-1)^3+B(x-1)^3+C(x+1)^2(x-1)^2+D(x+1)^2(x-1)+E(x+1)^2 ... (*)

agar mempermudah perhitungan yang mana akar-akar real nya -1 dan 1.

Substitusi -1 ke  (*) menghasilkan:

\displaystyle 7(-1)^4-11(-1)^3+3(-1)^2+7(-1)-2=A(-1+1)(-1-1)^3+B(-1-1)^3+C(-1+1)^2(-1-1)^2+D(-1+1)^2(-1-1)+E(-1+1)^2\\ 12=-8B\rightarrow B=-\frac{3}{2}

Substitusi 1 ke  (*) menghasilkan:

\displaystyle 7(1)^4-11(1)^3+3(1)^2+7(1)-2=A(1+1)(1-1)^3+B(1-1)^3+C(1+1)^2(1-1)^2+D(1+1)^2(1-1)+E(1+1)^2\\ 4=4E\rightarrow E=1

lalu substitusi B dan E ke (*), jabarkan dan kelompokkan seperti berikut:

\displaystyle 7x^4-11x^3+3x^2+7x-2=A(x+1)(x-1)^3-\frac{3}{2}(x-1)^3+C(x+1)^2(x-1)^2+D(x+1)^2(x-1)+(x+1)^2\\ 7x^4-11x^3+3x^2+7x-2=(A+C)x^4+\left ( D-2A-\frac{3}{2} \right )x^3+\left ( D-2C+\frac{11}{2} \right )x^2+\left ( 2A-D-\frac{5}{2} \right )x+\left ( C-A-D+1+\frac{3}{2} \right )

Akhirnya terbentuk 5 persamaan yang diperoleh dari pengelompokann tadi dengan menyamakan konstanta pada ruas kiri:

\displaystyle A+C=7\\ D-2A-\frac{3}{2}=-11\\ D-2C+\frac{11}{2}=3\\ 2A-D-\frac{5}{2}=7\\ C-A-D+1+\frac{3}{2}=-2

Kita cari nilai dari A, C & E:

\displaystyle D-2A=-\frac{19}{2}\\ D-2(7-C)=-\frac{19}{2}\\ D+2C=\frac{9}{2}\\ D+2C=\frac{9}{2}\\ D-2C=-\frac{5}{2}\\ 4C=7\rightarrow C=\frac{7}{4}\\ D-2\left ( \frac{7}{4} \right )=-\frac{5}{2}\rightarrow D=1\\ 2A-1=\frac{19}{2}\rightarrow A=\frac{21}{4}

Jadi:

\displaystyle \int \frac{7x^4-11x^3+3x^2+7x-2}{x^5-x^4-2x^3+2x^2+x-1}\: dx\\ =\int \left ( \frac{21}{4(x-1)}-\frac{3}{2(x-1)^2}+\frac{7}{4(x-1)}+\frac{1}{(x-1)^2}+\frac{1}{(x-1)^3} \right )dx\\ =\frac{21\ln |x-1|}{4}+\frac{3}{2(x-1)}+\frac{7\ln |x-1|}{4}-\frac{1}{x-1}-\frac{1}{2(x-1)^2}+C\\ =\frac{21\ln |x-1|+7\ln |x-1|}{4}+\frac{3(x-1)-2(x-1)-1}{2(x-1)^2}+C\\ =\frac{21\ln |x-1|+7\ln |x-1|}{4}+\frac{(x-1)(3-2)-1}{2(x-1)^2}+C\\ =\frac{21\ln |x-1|+7\ln |x-1|}{4}+\frac{x-2}{2(x-1)^2}+C

 

Iklan

Integral Parsial vs Integral Substitusi

Apa yang ada di benah anda jika melihat soal ∫ 2x(x – 6)^4 dx ? Anda pasti mengerjakannya menggunakan metode  parsial (integration by parts method) karena 2x(x – 6)^4 merupakan bentuk perkalian. Akan tetapi integral yang melibatkan bentuk itu tidak semua harus dikerjakan dengan metode parsial. Sekarang saja selesaikan dengan metode parsial kemudian dengan metode substitusi.

\displaystyle \int 2x(x-6)^4dx\\ \\ \int u\, dv=uv-\int v\, du\\ u=2x\rightarrow dx=\frac{du}{2}\\ dv=(x-6)^4\rightarrow v=\frac{(x-6)^5}{5}\\ \int 2x(x-6)^4dx=(2x)\, \frac{(x-6)^5}{5}-\int \frac{(x-6)^5}{5}\, (2\, dx)\\ =\frac{2x(x-6)^5}{2}-\frac{2}{5}\, \frac{(x-6)^6}{6}+C\\ =\frac{2x(x-6)^5}{2}-\frac{(x-6)^6}{15}+C\\ = \frac{6x(x-6)^5-(x-6)^6}{15}+C\\ =\frac{(x-6)^5\, [6x-(x-6)]}{15}+C\\ =\frac{(x-6)^5\, (5x+6)}{15}+C

Bandingkan dengan menggunakan metode substitusi:

\displaystyle \int 2x(x-6)^4dx\\  u=x-6\rightarrow x=u-6\\ du=dx\\ 2\int (u+6)u^4du\\ =2\left ( \frac{u^6}{6}+\frac{6u^5}{5} \right )+C\\ =\frac{(x-6)^6}{3}+\frac{12(x-6)^5}{5}+C\\ =\frac{5(x-6)^6+36(x-6)^5}{15}+C\\ =\frac{(x-6)^5\, [5(x-6)+36]}{15}+C\\ =\frac{(x-6)^5\, (5x+6)}{15}+C

Sekarang kalau soalnya begini: ∫ 4x√(3x – 2) dx

Dengan metode substitusi:

\displaystyle \int 4x\sqrt{3x-2}\, dx\\ \displaystyle u=3x-2\rightarrow x=\frac{u+2}{3}\\ du=3\, dx\rightarrow dx=\frac{du}{3}\\  4\int \frac{u+2}{3}u^{\frac{1}{2}}\, \frac{du}{3}\\ =\frac{4}{9}\int \left ( u^{\frac{3}{2}}+2u^{\frac{1}{2}} \right )du\\ =\frac{4}{9}\left [ \frac{2(3x-2)^{\frac{5}{2}}}{5}+\frac{4(3x-2)^{\frac{3}{2}}}{3} \right ]+C\\ =\frac{8(3x-2)^{\frac{5}{2}}}{45}+\frac{16(3x-2)^{\frac{3}{2}}}{27}+C\\ =\frac{24(3x-2)^{\frac{5}{2}}+80(3x-2)^{\frac{3}{2}}}{135}+C\\ =\frac{(3x-2)^{\frac{3}{2}}[24(3x-2)+80(3x-2)^0]}{135}+C\\ =\frac{8(3x-2)^{\frac{3}{2}}(9x+4)}{135}+C

Dengan metode parsial:

\displaystyle \int 4x\sqrt{3x-2}dx\\  u=4x\rightarrow du=4\, dx\\ dv=(3x-2)^\frac{1}{2}\rightarrow v=\frac{2(3x-2)^{\frac{3}{2}}}{9}\\ \int 4x\sqrt{3x-2}\, dx=\frac{2(3x-2)^{\frac{3}{2}}}{9}(4x)-\int \frac{2(3x-2)^{\frac{3}{2}}}{9}(4\, dx)\\ =\frac{8(3x-2)^{\frac{3}{2}}}{9}-\frac{8}{9}\int (3x-2)^{\frac{3}{2}}\, dx\\ =\frac{8(3x-2)^{\frac{3}{2}}}{9}-\frac{8}{9}\: \frac{2(3x-2)^{\frac{5}{2}}}{15}+C\\ =\frac{8(3x-2)^{\frac{3}{2}}}{9}-\frac{16(3x-2)^{\frac{5}{2}}}{135}+C\\ =\frac{120x(3x-2)^{\frac{3}{2}}-16(3x-2)^{\frac{5}{2}}}{135}+C\\ =\frac{(3x-2)^{\frac{3}{2}}[120x-16(3x-2)]}{135}+C\\ =\frac{8(3x-2)^{\frac{3}{2}}(9x+4)}{135}+C

Ternyata pada soal kedua jika diselesaikan dengan metode  parsial lebih lama waktunya karena juga melibatkan integral substitusi. Jadi untuk menyelesaikan bentuk soal seperti soal kedua lebih efisien menggunakan integral substitusi.

Lalu metode parsial sebaiknya digunakan jika bentuk soal bagaimana? Digunakan apabila u dan dv merupakan fungsi yang berbeda jenisnya. Contoh soal yang harus menggunakan metode parsial:

  1. ∫ arcsin x dx
  2. x² ln x dx
  3. x² e^(2x) dx
  4. ∫ e^x sin x dx