Dua Soal Identitas Trigonometri dari Sukino Beserta Penyelesaiannya

  • Soal pertama dari nomor 8 halaman 352 Matematika Kelas XII Sukino Kelompok Peminatan MIPA Kurikulum 2013 yang mana bunyi soalnya, Tunjukkan bahwa:

\displaystyle \frac{1+\sin \theta }{1+\cos \theta }=\frac{1}{2}\left [ \tan \left ( \frac{\theta}{2}\right)+1 \right ]^2

Soal ini mudah hanya agar bisa diselesaikan harus menggunakan identitas trigonometri yang tepat!

\displaystyle \frac{1}{2}\left [ \tan \left ( \frac{\theta}{2}\right)+1 \right ]^2\\ =\frac{1}{2}\left [ \tan^2 \left ( \frac{\theta}{2} \right )+2\tan \left ( \frac{\theta}{2} \right )+1 \right ]\\ =\frac{1}{2}\left ( \frac{1-\cos \theta }{1+\cos \theta}+2\frac{\sin \theta}{1+\cos \theta}+1 \right )\\=\frac{1}{2}\: \frac{1-\cos \theta +2\sin \theta +1+\cos \theta }{1+\cos \theta }\\ =\frac{1}{2}\: \frac{2(1+\sin \theta ) }{1+\cos \theta }\\ =\frac{1+\sin \theta}{1+\cos \theta}
TERBUKTI.

  • Soal kedua dari nomor 10f halaman 346 Matematika Kelas XII Sukino Kelompok Peminatan MIPA Kurikulum 2013 yang mana bunyi soalnya, Buktikanlah kebenaran setiap identitas berikut:

\displaystyle \frac{1+\sin \theta +\cos \theta }{1+\sin \theta -\cos \theta}=\cot \left ( \frac{\theta}{2} \right )

Di buku soal no 10 ada 10 sub soal (10a – 10j) tetapi hanya satu yang saya kerjakan. Teknik untuk mengerjakan soal ini merasionalkan penyebut pada pecahan.

\displaystyle \frac{1+\sin \theta +\cos \theta }{1+\sin \theta -\cos \theta}\\ =\frac{1+\sin \theta +\cos \theta }{1+(\sin \theta -\cos \theta)}\: \frac{1-(\sin \theta +\cos \theta) }{1-(\sin \theta -\cos \theta)}\\ =\frac{(1+\sin \theta +\cos \theta)(1-\sin \theta +\cos \theta)}{1-(\sin \theta -\cos \theta )^2}\\=\frac{1-\sin \theta +\cos \theta +\sin \theta -\sin^2 \theta +\sin \theta \cos \theta +\cos \theta -\cos\theta \sin \theta +\cos^2 \theta }{1-(\sin^2 \theta-2\sin \theta \cos \theta +\cos^2 \theta )}\\ =\frac{1+2\cos \theta +\cos 2\theta }{1-(1-2\sin \theta \cos \theta )}\\ =\frac{1+2\cos \theta +2\cos^2 \theta -1}{2\sin \theta \cos \theta }\\=\frac{1+2\cos \theta +2\cos^2 \theta -1}{2\sin \theta \cos \theta }\\ =\frac{\cos \theta (1+\cos \theta )}{\sin \theta \cos \theta}\\ =\cot \left ( \frac{\theta}{2} \right )

TERBUKTI.

Iklan

Jawaban Soal Nomor 4 Halaman 347 Matematika Kelas XII Sukino Kelompok Peminatan MIPA Kurikulum 2013

Buktikan bahwa: sin 3θ sin³ θ + cos 3θ cos³ θ = cos³ 2θ

Soal ini termasuk rumit. Kunci utama menyelesaikannya adalah tentukan terlebih daluhu sin 3θ dan cos 3θ dari rumus rasio trigonnometri untuk jumlah dan selisih dua sudut. Kemudian melibatkan aljabar, rumus sudut ganda dan tentunya pemahaman matematika untuk menyelesaikannya!

\displaystyle \sin 3\theta \sin^3 \theta +\cos 3\theta \cos^3 \theta \\ =\sin^3 \theta(3\sin \theta -4\sin^3 \theta)+\cos^3 \theta(4\cos^3 \theta -3\cos \theta)\\ =3\sin^4 \theta -4\sin^6 \theta+4\cos^6 \theta -3\cos^4 \theta\\ =3\sin^4 \theta-3\cos^4 \theta-(4\sin^6 \theta-4\cos^6 \theta)\\ =3(\sin^4 \theta-\cos^4 \theta)-4(\sin^6 \theta-\cos^6 \theta)\\=3(\sin^2 \theta+\cos^2 \theta)(\sin \theta-\cos \theta)(\sin \theta+\cos \theta)-4(\sin \theta-\cos \theta)(\sin \theta+\cos \theta)(\sin^2 \theta -\sin \theta \cos \theta +\cos^2 \theta )(\sin^2 \theta +\sin \theta \cos \theta +\cos^2 \theta )\\ =3(1)(\sin^2 \theta -\cos^2 \theta )-4(\sin^2 \theta -\cos^2 \theta )(1-\sin \theta \cos \theta )(1+\sin \theta \cos \theta )\\ =-3(\cos^2 \theta -\sin^2 \theta )-[-4(\cos^2 \theta -\sin^2 \theta )(1-\sin^2 \theta \cos^2 \theta )]\\ =-3\cos 2\theta +4\cos 2\theta \left ( 1-\frac{1-\cos 2\theta }{2}\, \frac{1+\cos 2\theta }{2} \right )\\ =-3\cos 2\theta +4\cos 2\theta \left ( 1-\frac{1-\cos 2\theta }{2}\, \frac{1+\cos 2\theta }{2} \right )\\ =-3\cos 2\theta +4\cos 2\theta \left ( 1-\frac{1-\cos^2 2\theta }{4}\right )\\ =-3\cos 2\theta +4\cos 2\theta\: \frac{4-1+\cos^2 2\theta }{4}\\ =-3\cos 2\theta +\cos 2\theta(3+\cos^2 2\theta)\\ =-3\cos 2\theta+3\cos 2\theta+\cos^3 2\theta\\ =\cos^3 2\theta

TERBUKTI.

Jawaban Soal Nomor 8b Halaman 367 Matematika Kelas XII Sukino Kelompok Peminatan MIPA Kurikulum 2013

Bunyi Soalnya sebagai berikut, tetapi sudah saya perbaiki penulisan yang di buku sesuai standar internasional:

Buktikan bahwa: \displaystyle \frac{1+\sin \theta -\cos \theta }{1+\sin \theta +\cos \theta}+\frac{1+\sin \theta +\cos \theta}{1+\sin \theta -\cos \theta}=2\csc \theta

Jawab:

Sebenarnya ini mudah seperti menyelesaikan soal pecahan tetapi panjang penyelesaiannya. Sebelum menyamakan penyebut, buat soal menyadi seperti ini: \displaystyle \frac{1+\sin \theta -\cos \theta }{(1+\sin \theta) +\cos \theta}+\frac{1+\sin \theta +\cos \theta}{(1+\sin \theta) -\cos \theta}. Dengan menggunakan rumus selisih kuadrat a² – b² = (a + b)(ab) dan dari soal a = 1 + sin θ dan b = cos θ, maka:

\displaystyle \frac{1+\sin \theta -\cos \theta }{(1+\sin \theta) +\cos \theta}+\frac{1+\sin \theta +\cos \theta}{(1+\sin \theta) -\cos \theta}\\ =\frac{(1+\sin \theta -\cos \theta)^2+(1+\sin \theta +\cos \theta)^2}{(1+\sin \theta )^2-\cos^2 \theta }\\ =\frac{\sin^2 \theta +\cos^2 \theta +2\sin \theta -2\cos \theta -2\sin \theta \cos \theta +1+\sin^2 \theta +\cos^2 \theta +2\sin \theta +2\cos \theta +2\sin \theta \cos \theta +1}{1+2\sin \theta +\sin^2 \theta -(1-\sin^2 \theta )}\\=\frac{4+4\sin \theta }{2\sin \theta +2\sin^2 \theta }\\ =\frac{4(1+\sin \theta )}{2\sin \theta (1+\sin \theta )}\\ =2\csc \theta

TERBUKTI.