Menurunkan Rumus Rasio Trigonometri Sudut Berelasi

Sebelumnya saya turunkan terlebih dahulu rasio trigonometri untuk sudut istimewa yang mana besar sudut istimewa itu adalah 0°, 30°, 45°, 60°, dan 90°. Perhatikan gambar berikut:

perbandingan trig

Dari gambar di atas diperoleh rasio trigonometri sinus, cosinus, dan tangen untuk sudut 45°, 60° dan 30°:

Untuk sudut 45°:

\displaystyle \sin 45^{\circ}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{2}\\ \cos 45^{\circ}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{2}\\ \tan 45^{\circ}=\frac{1}{1}=1

Untuk sudut 60°:

\displaystyle \sin 60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{2}\sqrt{3}\\ \cos 60^{\circ}=\frac{1}{2}\\ \tan 60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{1}=1

Untuk sudut 30°:

\displaystyle \sin 30^{\circ}=\frac{1}{2}\\ \cos 30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{2}\sqrt{3}\\ \tan 30^{\circ}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{1}{3}\sqrt{3}

Untuk cosecan, secan, dan cotaget tidak perlu saya turunkan karena hanya kebalikan dari sinus, cosinus, dan tangen. Bagaimana dengan rasio trigonometri sudut 0° dan 90°? Perhatikan gambar berikut:

0 and 90 deg

Jika segitiga siku-siku pada gambar sebelumnya sudut lancip 45° kita ubah menjadi 0°, maka panjang sisi miring menjadi sama dengan sisi samping sudut 0°. Alhasil menjadi garis horizontal dan rasio trigonometrinya:

\displaystyle \sin 0^{\circ}=\frac{0}{1}=0\\ \cos 0^{\circ}=\frac{1}{1}=1\\ \tan 0^{\circ}=\frac{0}{1}=0

jika segitiga siku-siku pada gambar sebelumnya sudut lancip 45° kita ubah menjadi 90°, maka panjang sisi miring menjadi sama dengan sisi depan sudut 90°. Alhasil menjadi garis vertikal dan rasio trigonometrinya:

\displaystyle \sin 90^{\circ}=\frac{1}{1}=1\\ \cos 90^{\circ}=\frac{0}{1}=0\\ \tan 90^{\circ}=\frac{1}{0}=\textrm{tak terdefinisi}

Sekarang kita turunkan rumus rasio trigonometri sudut berelasi. Hal ini penting untuk mencari rasio trigonometri dengan sudut >90°.

  • Sudut (90° – θ)

Perhatikan hubungan rasio trigonometri sudut 60° dengan 30°! Kita lihat kesamaan nilainya:

\displaystyle \sin 60^{\circ}=\cos 30^{\circ}=\frac{1}{2}\sqrt{3}\\ \cos 60^{\circ}=\sin 30^{\circ}=\frac{1}{2}

Dari hubungan di atas kita buat seperti ini: sin (90° – 30°) = cos 30°, maka dapat disimpulkan:

\displaystyle \sin \left ( 90^{\circ}-\theta \right )=\cos \theta\\ \cos \left ( 90^{\circ}-\theta \right )=\sin \theta\\ \tan \left ( 90^{\circ}-\theta \right )=\cot \theta

  • Sudut (180° – θ)

Perhatikan gambar berikut:

hub 1

Lihat hubungan titik P dengan P‘! Rotasikan titik P sejauh θ berlawanan jarum jam kemudian cerminkan terhadap sumbu Y, maka terbentuk titik P‘. Andaikan θ = 60°, maka sin (180° – 60°) = sin 60°. Berdasarkan definisi rasio trigonometri dapat disimpulkan:

\displaystyle \sin \left ( 180^{\circ}-\theta \right )=\sin \theta\\ \cos \left ( 180^{\circ}-\theta \right )=-\cos \theta\\ \tan \left ( 180^{\circ}-\theta \right )=-\tan \theta

  • Sudut (90° + θ)

Lihat gambar sebelumnya! Rotasikan titik P‘ sejauh θ berlawanan jarum jam dari sudut 90° sehingga terletak di kuadran II! Tinjau hubungan titik P‘ dengan titik P pada kuadran I! Permisalan masih sama, andaikan θ = 60° maka sin (90° + 60°) = sin 30° = cos 60°. Dapat disimpulkan:

\displaystyle \sin \left ( 90^{\circ}+\theta \right )=\cos \theta\\ \cos \left ( 90^{\circ}+\theta \right )=-\sin \theta\\ \tan \left ( 90^{\circ}+\theta \right )=-\cot \theta

  • Sudut (180° + θ)

Lihat gambar sebelumnya! Cerminkan titik P terhadap titik pusat O(0, 0) sehingga terbentuk titik P‘ dan terletak di kuadran III! Andaikan θ = 60°, maka sin (180° + 60°) = -sin 60°. Dengan peninjauan yang sama dan berdasarkan definisi rasio trigonometri dapat disimpulkan:

\displaystyle \sin \left ( 180^{\circ}+\theta \right )=-\sin \theta\\ \cos \left ( 180^{\circ}+\theta \right )=-\cos \theta\\ \tan \left ( 180^{\circ}+\theta \right )=\tan \theta

  • Sudut (270° – θ)

Lihat gambar sebelumnya! Rotasikan titik P‘ sejauh θ berlawanan jarum jam dari sudut 270° sehingga terletak di kuadran III! Tinjau hubungan titik P‘ dengan titik P pada kuadran I! Permisalan masih sama, andaikan θ = 60° maka sin (270° – 60°) = -sin 30° = -cos 60°. Dapat disimpulkan:

\displaystyle \sin \left ( 270^{\circ}-\theta \right )=-\cos \theta\\ \cos \left ( 270^{\circ}-\theta \right )=-\sin \theta\\ \tan \left ( 270^{\circ}-\theta \right )=\cot \theta

  • Sudut (270° + θ)

Lihat gambar sebelumnya! Rotasikan titik P‘ sejauh θ searah jarum jam dari sudut 270° sehingga terletak di kuadran IV! Tinjau hubungan titik P‘ dengan titik P pada kuadran I! Permisalan masih sama, andaikan θ = 60° maka sin (270° + 60°) = -sin 30° = -cos 60°. Dapat disimpulkan:

\displaystyle \sin \left ( 270^{\circ}+\theta \right )=-\cos \theta\\ \cos \left ( 270^{\circ}+\theta \right )=\sin \theta\\ \tan \left ( 270^{\circ}+\theta \right )=-\cot \theta

  • Sudut (360° – θ)

Lihat gambar sebelumnya! Cerminkan titik P terhadap sumbu X sehingga terbentuk titik P‘ dan terletak di kuadran IV! Andaikan θ = 60°, maka sin (360° – 60°) = -sin 60°. Dengan peninjauan yang sama dan berdasarkan definisi rasio trigonometri dapat disimpulkan:

\displaystyle \sin \left ( 360^{\circ}-\theta \right )=-\sin \theta\\ \cos \left ( 360^{\circ}-\theta \right )=\cos \theta\\ \tan \left ( 360^{\circ}-\theta \right )=-\tan \theta

  • Sudut negatif (θ)

Cara penurunan sama seperti sudut (360° – θ) dan diperoleh:

\displaystyle \sin \left ( -\theta \right )=-\sin \theta\\ \cos \left ( -\theta \right )=\cos \theta\\ \tan \left ( -\theta \right )=-\tan \theta

  • Sudut >360°

Berlaku keperiodikan. Misal kita ingin mencari nilai dari cos 945°. Jika dalam 1 putaran/periode menempuh 360°, maka 945° masih menempuh 2 periode. Rumus untuk relasi sudut ini adalah:

\displaystyle \sin \left ( \theta+k\cdot 360^{\circ} \right )=\sin \theta\\ \cos \left ( \theta+k\cdot 360^{\circ} \right )=\cos \theta\\ \tan \left ( \theta+k\cdot 360^{\circ} \right )=\tan \theta

dengan k merupakan periode dan dalam bilangan asli.

Sekarang kita coba mencari nilai dari cos 945°. Kita tentukan periodenya. k = 945°/360° = 2,625 ≈ 2, maka:

\displaystyle \cos \left ( \theta+k\cdot 360^{\circ} \right )=\cos \theta\\ \cos 945^{\circ}=\cos \left ( 225^{\circ}+2\cdot 360^{\circ} \right )\\ =\cos 225^{\circ}\\ =\cos \left ( 180^{\circ}+45^{\circ} \right )\\ =-\cos 45^{\circ} \\=-\frac{1}{2}\sqrt{2}

atau

\displaystyle \cos \left ( \theta+k\cdot 360^{\circ} \right )=\cos \theta\\ \cos 945^{\circ}=\cos \left ( 225^{\circ}+2\cdot 360^{\circ} \right )\\ =\cos 225^{\circ}\\ =\cos \left ( 270^{\circ}-45^{\circ} \right )\\ =-\sin 45^{\circ} \\=-\frac{1}{2}\sqrt{2}

Iklan

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout /  Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout /  Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout /  Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout /  Ubah )

Connecting to %s