Evaluate csc² (π/7) + csc² (2π/7) + csc² (3π/7)

Bagi banyak orang soal ini dianggap terlalu rumit untuk dikerjakan. Sebenarnya tidak hanya penyelesaiannya panjang. Sebelumnya saya juga pernah kesulitan untuk menaklukkan soal ini. Saya cari di Google dan fb jawabannya 8. Penyelesaian yang diberikan melibatkan teorema Vieta seperti https://brainly.co.id/tugas/10633967. Di situ soal dijadikan suatu bentuk dan dimisalkan π/7, 2π/7 & 3π/7 menjadi akar-akar persamaan kubik dari penyelesaian soal yang mana persamaan nya adalah 64 (sin² x)³ – 112 (sin² x)² + 56 sin² x – 7 = 0. Sayangnya penyelesaian ini tidak sah! Mengapa? Coba anda masukkan akar-akarnya ke persamaan. Ternyata akar 2π/7 saat dimasukkan persamaanya tidak sama dengan 0. Yang saya heran kok bisa soal ini dibawa ke bentuk persamaan kubik dan hasil perhitungan benar? Maka dari itu setelah saya bisa menyelesaikan dengan jalan yang benar, saya publikasikan ini untuk semua!

Perhatikan pada https://brainly.co.id/tugas/10633967 foto kedua penyelesaian sebelum hasil akhir, ia menjadikan bentuk itu ke persamaan kubik. Justru itu adalah kesalahan yang cukup fatal karena menyebabkan penyelesaian tidak sah! Beginilah penyelesaian yang sah!

\displaystyle \csc^2 \frac{\pi}{7}+\csc^2 \frac{2\pi}{7}+\csc^2 \frac{3\pi}{7}\\ =\frac{1}{\sin^2 \frac{\pi}{7}}+\frac{1}{\sin^2 \frac{2\pi}{7}}+\frac{1}{\sin^2 \frac{3\pi}{7}}\\ =\frac{2}{1-\cos \frac{2\pi}{7}}+\frac{2}{1-\cos \frac{4\pi}{7}}+\frac{2}{1-\cos \frac{6\pi}{7}}\\=\frac{2}{1+\cos \frac{5\pi}{7}}+\frac{2}{1+\cos \frac{3\pi}{7}}+\frac{2}{1+\cos \frac{\pi}{7}}\\ =2\left [ \frac{\left ( 1+\cos \frac{3\pi}{7} \right )\left ( 1+\cos \frac{\pi}{7} \right )+\left ( 1+\cos \frac{5\pi}{7} \right )\left ( 1+\cos \frac{\pi}{7} \right )+\left ( 1+\cos \frac{5\pi}{7} \right )\left ( 1+\cos \frac{3\pi}{7} \right )}{\left ( 1+\cos \frac{5\pi}{7} \right )\left ( 1+\cos \frac{3\pi}{7} \right )\left ( 1+\cos \frac{\pi}{7} \right )} \right ]\\=2\left [ \frac{3+2\cos \frac{3\pi}{7}+2\cos \frac{\pi}{7}+2\cos \frac{5\pi}{7}+\cos \frac{\pi}{7}\cos \frac{3\pi}{7}+\cos \frac{3\pi}{7}\cos \frac{5\pi}{7}+\cos \frac{5\pi}{7}\cos \frac{\pi}{7}}{\left ( 1+\cos \frac{5\pi}{7} \right )\left ( 1+\cos \frac{3\pi}{7} \right )\left ( 1+\cos \frac{\pi}{7} \right )} \right ]\\ =2\left [ \frac{3+2\cos \frac{3\pi}{7}+2\cos \frac{\pi}{7}+2\cos \frac{5\pi}{7}+\frac{1}{2}\left ( -\cos \frac{3\pi}{7}-\cos \frac{5\pi}{7}-\cos \frac{\pi}{7}-\cos \frac{5\pi}{7}-\cos \frac{\pi}{7}-\cos \frac{3\pi}{7} \right )}{\left ( 1+\cos \frac{5\pi}{7} \right )\left ( 1+\cos \frac{3\pi}{7} \right )\left ( 1+\cos \frac{\pi}{7} \right )} \right ]\\=2\left ( \frac{3+\cos \frac{3\pi}{7}+\cos \frac{\pi}{7}+\cos \frac{5\pi}{7}}{1+\cos \frac{5\pi}{7}\cos \frac{3\pi}{7}\cos \frac{\pi}{7}} \right )\\ =2\left ( \frac{3+\frac{2\sin \frac{\pi}{7}\cos \frac{\pi}{7}+2\sin \frac{\pi}{7}\cos \frac{3\pi}{7}+2\sin \frac{\pi}{7}\cos \frac{5\pi}{7}}{2\sin \frac{\pi}{7}}}{1+\frac{2\sin \frac{\pi}{7}\cos \frac{\pi}{7}\cos \frac{2\pi}{7}\cos \frac{4\pi}{7}}{2\sin \frac{\pi}{7}}} \right )
Lanjutannya:

\displaystyle =2\left ( \frac{3+\frac{\sin \frac{\pi}{7}}{2\sin \frac{\pi}{7}}}{1+\frac{2\sin \frac{4\pi}{7}\cos \frac{4\pi}{7}}{8\sin \frac{\pi}{7}}} \right )\\=2\left [ \frac{3+\frac{1}{2}}{1+\frac{\sin \left ( \pi+\frac{\pi}{7} \right )}{8\sin \frac{\pi}{7}}} \right ]\\\\ =2\left ( \frac{\frac{7}{2}}{1-\frac{1}{8}} \right )\\=8

 

Bonus soal yang sebenarnya dapat dikatakan soal terstruktur:

\displaystyle \cot^2 \frac{\pi}{7}+\cot^2 \frac{2\pi}{7}+\cot^2 \frac{3\pi}{7}\\ =\csc^2 \frac{\pi}{7}-1+\csc^2 \frac{2\pi}{7}-1+\csc^2 \frac{3\pi}{7}-1\\ =8-3\\ =5

 

Silakhan anda buktikan 2 soal terstruktur ini:

\displaystyle \sec^2 \frac{\pi}{7}+\sec^2 \frac{2\pi}{7}+\sec^2 \frac{3\pi}{7}=24\\ \tan^2 \frac{\pi}{7}+\tan^2 \frac{2\pi}{7}+\tan^2 \frac{3\pi}{7}=21
Iklan