Soal Trigonometri yang Melibatkan Bentuk Akar

Sumber soal dari buku Matematika Kelas XII Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu Alam, Penulis Sukino, Kurikulum 2013, Penerbit Erlangga. Kalau punya bukunya lihat halaman 346 soal nomor 12 a-b!

  • Jawaban soal nomor 12 a
\displaystyle \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+2\cos 8\theta }}}\\ =\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2(1+\cos 8\theta) }}}\\ =\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2(2\cos^2 4\theta) }}}\\=\sqrt{2+\sqrt{2+2\cos 4\theta }}\\ =\sqrt{2+\sqrt{2(1+\cos 4\theta) }}\\ =\sqrt{2+\sqrt{2(2\cos^2 2\theta) }}\\ =\sqrt{2+2\cos 2\theta }\\ =\sqrt{2(1+\cos 2\theta) }\\ =\sqrt{2(2\cos^2\theta) }\\ =2\cos \theta
  • Jawaban soal nomor 12 b
\displaystyle \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+2\cos 8\theta }}}\\ =\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2(1+\cos 8\theta) }}}\\ =\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2(2\cos^2 4\theta) }}}\\=\sqrt{2-\sqrt{2+2\cos 4\theta }}\\ =\sqrt{2-\sqrt{2(1+\cos 4\theta) }}\\ =\sqrt{2-\sqrt{2(2\cos^2 2\theta) }}\\ =\sqrt{2-2\cos 2\theta }\\ =\sqrt{2(1-\cos 2\theta) }\\ =\sqrt{2(2\sin^2\theta) }\\ =2\sin \theta
Iklan

Analisis Grafik Fungsi Kuadrat

  • Pengaruh Nilai a

Kita lihat pengaruh nilai a apabila positif dan negatif pada fungsi y = ax² + bx + c dengan > 0! Perhatikan gambar-gambar dibawah ini:

Analisis a

Dari gambar di atas disimpulkan bahwa:

  1. Jika a positif kurva membuka ke atas.
  2. Jika a negatif kurva membuka ke bawah.
  • Kecekungan Parabola

Perhatikan gambar di bawah:

Makin Cekung

Jika nilai a, b, dan c semakin besar parabola semakin cekung (menguncup).

  • Pergeseran Parabola

Untuk menganalisis ini kita ubah ke bentuk y = a(x ± h)² ± k. Kita lihat pengaruh tanda positif dan negatif pada h dan k. Perhatikan gambar-gambar di bawah ini:

Tengen

Dapat disimpulkan bahwa h negatif menandakan pergeseran parabola ke kanan.

Ngiwa

Dapat disimpulkan bahwa h positif menandakan pergeseran parabola ke kiri.

Midun

Dapat disimpulkan bahwa k negatif menandakan pergeseran parabola ke bawah.

Munggah

Dapat disimpulkan bahwa k positif menandakan pergeseran parabola ke atas.

Agar anda paham saya beri satu contoh soal:

Parabola y = x² – 6x + 8 digeser ke kanan sejauh 2 satuan searah dengan sumbu X dan digeser kebawah sejauh 3 satuan. Jika parabola hasil pergeseran ini memotong sumbu X di x₁ dan x₂, nilai x₁ + x₂ = …

Ubah ke bentuk vertex terlebih dahulu:

y = x² – 6x + 8

y = x² – 6x + 9 – 1

y = (x – 3)² – 1 → h = 3 dan k = -1

Digeser ke kanan 2 satuan berati h dikurangi 2, digeser ke bawah 3 satuan berati dikurangi 3. maka:

h‘ = 3 – 2 = 5 dan k‘ = -1 – 3 = -4

Fungsi grafiknya menjadi y‘ = (x – 5)² – 4

Kita Jabarkan (ubah ke bentuk umum) maka y‘ = x² – 10x + 21 lalu  ubah ke bentuk y‘ = a(xx₁)(xx₂) sehingga fungsi menjadi y‘ = (x – 3)(x – 7). Maka nilai x₁ + x₂ = 3 + 7 = 10.

Pergeseran

Catatan: y aksen (y‘) di sini bukan turunan suatu fungsi!

Empat Soal yang Sering Digunakan untuk Menentukan Fungsi Kuadrat

  • Menentukan fungsi kuadrat jika diketahui 2 titik potongnya dengan sumbu X dan melalui suatu titik.

Di postingan yang pernah saya buat sudah dijelaskan untuk menentukan persamaan kuadrat jika diketahui akar-akarnya mengunakan rumus y = a(xx₁)(xx₂). Lalu pada postingan sebelumnya mengenai kaitan diskriminan dengan fungsi kuadrat, maka untuk menyelesaikan ini rumus yang digunakan adalah:

\displaystyle \boxed {y=f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)}

Contoh soal:

Persamaan grafik fungsi kuadrat yang memotong sumbu X di titik (1, 0) dan (3, 0) serta melalui titik (-1, -16) adalah …

\displaystyle y=f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)\\ -1=a(-1-1)(-1-3)\\ a=-2\\ \\ y=-2(x-1)(x-3)\\ y=f(x)=-2x^2+8x-6

Fungsi Kuadrat 1

  • Menentukan fungsi kuadrat jika diketahui titik puncak/balik nya menyinggung sumbu X dan melalui suatu titik.

Berdasarkan tinjauan mengenai kaitan diskriminan dengan fungsi kuadrat, maka untuk menyelesaikan ini rumus yang digunakan adalah:

\displaystyle y=f(x)=a(x-x_1)(x-x_1)\\ y=f(x)=a(x-x_1)^2\\ \boxed {y=f(x)=a(x-h)^2}

dengan h merupakan absis titik puncak/balik parabola.

Contoh soal:

Persamaan fungsi kuadrat yang grafiknya menyinggung sumbu X di titik (2, 0) dan melalui titik (0, 4) adalah …

\displaystyle y=f(x)=a(x-h)^2\\ 4=a(0-2)^2\\ a=1\\ \\ y=(x-2)^2\\ y=f(x)=x^2-4x+4

Fungsi Kuadrat 2

  • Menentukan fungsi kuadrat jika diketahui titik puncak/balik nya dan melewati suatu titik.

Sebelumnya kita akan menurunkan rumus untuk menentukan koordinat titik puncak/balik dari parabola (fungsi kuadrat). Perhatikan kesimetrisan parabola ini:

Simetris

Dapat dilihat bahwa garis merah (sumbu simetri) dari parabola persamaan fungsinya x = 1. Sekarang kita coba menjumlahkan absis-absisnya yang saling berhadapan kemudian dibagi dua:

(0 + 2)/2 = 1, (-1 + 3)/2 = 1, (-2 + 4)/2 = 1

Ini menunjukkan sifat simetris dari parabola dan jika anda lihat absis titik puncak/baliknya sama dengan perhitungan di atas, kemudian lihat absis 2 titik potong dengan sumbu X. Maka absis dan ordinat dari titik puncak/balik parabola adalah:

\displaystyle x=\frac{x_1+x_2}{2}\\ x=\frac{-\frac{b}{a}}{2}\\ \boxed {x=-\frac{b}{2a}}\\ \\y=ax^2+bx+c\\ y=a\left (-\frac{b}{2a} \right )^2+b\left (-\frac{b}{2a} \right )+c\\ y=\frac{b^2-2b^2+4ac}{4a}\\ y=-\frac{b^2-4ac}{4a}\\ \boxed {y=-\frac{D}{4a}}
Sekarang kita turunkan rumus untuk menentukan parabola nya:

\displaystyle y=f(x)=ax^2+bx+c\\ \frac{y}{a}=x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}\\ \frac{y}{a}=x^2+\frac{b}{a}x+\left ( \frac{b}{2a} \right )^2-\left ( \frac{b}{2a} \right )^2+\frac{c}{a}\\ \frac{y}{a}=\left ( x+\frac{b}{2a} \right )^2-\left ( \frac{b}{2a} \right )^2+\frac{c}{a}\\ y=a\left ( x+\frac{b}{2a} \right )^2-\frac{b^2}{4a}+c\\ y=a\left [ x-\left ( -\frac{b}{2a} \right ) \right ]^2+\left ( -\frac{b^2-4ac}{4a} \right )\\ \boxed {y=f(x)=a(x-h)^2+k}
dengan h dan k absis dan ordinat titik puncak/balik parabola.

Contoh soal:

Grafik fungsi kuadrat yang mempunyai titik puncak (1, -4) dan melalui titik (2, -3) persamaannya adalah …

\displaystyle y=f(x)=a(x-h)^2+k\\ -3=a(2-1)^2-4\\ a=1\\ \\ y=(x-1)^2-4\\ y=f(x)=x^2-2x-3

Fungsi Kuadrat 3

 

  • Menentukan fungsi kuadrat jika diketahui melalui tiga titik.

Penyelesaiannya menggunakan persamaan linear tiga variabel. Contoh soal:

Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya melalui titik (1, 2), (2, 4), dan (3, 8)!

\displaystyle y=ax^2+bx+c\\ 2=a(1)^2+b(1)+c\\ a+b+c=2~...(*)\\ \\y=ax^2+bx+c\\ 4=a(2)^2+b(2)+c\\ 4a+2b+c=4~...(**)\\ \\y=ax^2+bx+c\\ 8=a(3)^2+b(3)+c\\ 9a+3b+c=8~...(***)
Setelah dioperasikan diperoleh a = 1, b = -1, dan c = 2. Persamaan fungsinya:

\displaystyle y=ax^2+bx+c\\ y=f(x)=x^2-x+2

 

fungsi kuadrat 4

Diskriminan Persamaan Kuadrat dan Kaitannya dengan Fungsi Kuadrat

Kita sudah tahu bahwa diskriminan dari persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0 adalah D = b² – 4ac. Kali ini kita selidiki bagaimana akar-akar persamaan kuadrat jika D > 0, D = 0 dan D < 0 dengan beberapa contoh soal.

  • Apabila D > 0

\displaystyle x^2-6x+8=0\\ x_1=2 \vee x_2=4\rightarrow x_1\neq x_2\\ D=b^2-4ac\\ =(-6)^2-4(1)(8)\\ =4\rightarrow D>0\\ \\ x^2-5x+6=0\\ x_1=3 \vee x_2=2\rightarrow x_1\neq x_2\\ D=b^2-4ac\\ =(-5)^2-4(1)(6)\\ =1\rightarrow D>0\\ \\3x^2-5x-2=0\\ x_1=2 \vee x_2=-\frac{1}{3}\rightarrow x_1\neq x_2\\ D=(-5)^2-4(3)(-2)\\ =49\rightarrow D>0

Sekarang kita misalkan ketiga persamaan diatas menjadi fungsi kuadrat dan gambar grafiknya:

Real Berlainan 1Real Berlainan 2Real Berlainan 3

Kesimpulan dari uraian diatas:

  1. Jika D > 0 maka akar-akarnya real berlainan.
  2. Andai ini fungsi kuadrat, ternyata akar-akarnya merupakan absis dari 2 titik potong dengan sumbu X.
  • Apabila D = 0
\displaystyle x^2-6x+9=0\\ x_1=2 \vee x_2=2\rightarrow x_1=x_2\\ D=(-6)^2-4(1)(9)\\ =0\\ \\x^2-2x+1=0\\ x_1=1 \vee x_2=1\rightarrow x_1=x_2\\ D=(-2)^2-4(1)(1)\\ =0

Kita misalkan lagi semua persamaan diatas menjadi fungsi kuadrat dan gambar grafiknya:

Real Sama 1Real Sama 2

Kesimpulan dari uraian diatas:

  1. Jika D = 0 maka akar-akarnya real sama/kembar (hanya mempunyai 1 akar).
  2. Andai ini fungsi kuadrat, ternyata akarnya merupakan absis dari titik puncak/balik yang menyinggung sumbu X.

 

  • Apabila D < 0
\displaystyle 3x^2-2x+4=0\\ x_{1,2}=\frac{1\pm i\sqrt{13}}{3}\\ D=(-2)^2-4(3)(4)\\ =-44\rightarrow D<0\\ \\x^2-2x+3=0\\ x_{1,2}=1 \pm i\sqrt{2}\\ D=(-2)^2-4(1)(3)\\ =-8\rightarrow D<0

Kita misalkan lagi semua persamaan diatas menjadi fungsi kuadrat dan gambar grafiknya:

Imajiner 1Imajiner 2

Kesimpulan dari uraian diatas:

  1. Jika D < 0 maka akar-akarnya imajiner (jika dalam bilangan real dinyatakan tidak memiliki penyelesaian).
  2. Andaikan ini fungsi kuadrat, grafik tidak pernah menyinggung sumbu X.