Evaluate cos (π/15) cos (2π/15) cos (3π/15) cos (4π/15) cos (5π/15) cos (6π/15) cos (7π/15)

Soal berbentuk radian di atas bisa kita ubah ke bentuk derajat, yaitu:

cos 12° cos 24° cos 36° cos 48° cos 60° cos 72° cos 84°

Dua rumus penting untuk menyelesaikan soal ini adalah rumus sudut ganda dan rasio trigonometri sudut berelasi. Kita manipulasi dengan mengalikan sin 12° / sin 12° ke soal lalu dioperasikan agar bisa menggunakan rumus sudut ganda 2 sin A cos A = sin 2A.

\displaystyle \cos 12^{\circ}\cos 24^{\circ}\cos 36^{\circ}\cos 48^{\circ}\cos 60^{\circ}\cos 72^{\circ}\cos 84^{\circ}\\ =\frac{\sin 12^{\circ}}{\sin 12^{\circ}}\cos 12^{\circ}\cos 24^{\circ}\cos 36^{\circ}\cos 48^{\circ}\cos 60^{\circ}\cos 72^{\circ}\cos 84^{\circ}\\\\ =\frac{\frac{1}{2}\sin 24^{\circ}\cos 24^{\circ}\cos 36^{\circ}\cos 48^{\circ}\cos 72^{\circ}\cos 84^{\circ}\left ( \frac{1}{2} \right )}{\sin 12^{\circ}}\\ =\frac{\frac{1}{4}\sin 48^{\circ}\cos 48^{\circ}\cos 36^{\circ}\cos 72^{\circ}\cos 84^{\circ}\left ( \frac{1}{2} \right )}{\sin 12^{\circ}}\\= \frac{\frac{1}{8}\sin 96^{\circ}\cos 36^{\circ}\cos 72^{\circ}\cos 84^{\circ}\left ( \frac{1}{2} \right )}{\sin 12^{\circ}}

Sampai sini kita gunakan rumus sin x = sin (180 – x) untuk sudut 96° dan masih melibatkan rumus 2 sin A cos A = sin 2A.

\displaystyle =\frac{\frac{1}{8}\sin 84^{\circ}\cos 84^{\circ}\cos 36^{\circ}\cos 72^{\circ}\left ( \frac{1}{2} \right )}{\sin 12^{\circ}}\\ =\frac{\frac{1}{16}\sin 168^{\circ}\cos 36^{\circ}\cos 72^{\circ}\left ( \frac{1}{2} \right )}{\sin 12^{\circ}}

Kembali menggunakan sin x = sin (180 – x) untuk sudut 168° sehingga:

\displaystyle =\frac{\frac{1}{32}\sin 12^{\circ}\cos 36^{\circ}\cos 72^{\circ}}{\sin 12^{\circ}}

kalikan dengan sin 36° / sin 36° dan operasikan diperoleh:

\displaystyle =\frac{\sin 36^{\circ}}{\sin 36^{\circ}}\frac{1}{32}\cos 36^{\circ}\cos 72^{\circ}\\ =\frac{\frac{1}{64}\sin 72^{\circ}\cos 72^{\circ}}{\sin 36^{\circ}}\\ =\frac{\frac{1}{128}\sin 144^{\circ}}{\sin 36^{\circ}}\\

Gunakan lagi rumus sin x = sin (180 – x) untuk sudut 144° diperoleh:

\displaystyle =\frac{1}{128}\frac{\sin 36^{\circ}}{\sin 36^{\circ}}\\ =2^{-7}

Jadi:

\displaystyle \cos 12^{\circ}\cos 24^{\circ}\cos 36^{\circ}\cos 48^{\circ}\cos 60^{\circ}\cos 72^{\circ}\cos 84^{\circ}=2^{-7}

 

Iklan

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout /  Ubah )

Foto Google

You are commenting using your Google account. Logout /  Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout /  Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout /  Ubah )

Connecting to %s

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.