Evaluate sin² 12° + sin² 21° + sin² 39° + sin² 48° – sin² 9° – sin² 18°

Pada kesempatan ini saya akan menyelesaiakan soal trigonometri analitik yang membuhkan HOTS (High Order Thinking Skill). Soal tersebut ialah:

sin² 12° + sin² 21° + sin² 39° + sin² 48° – sin² 9° – sin² 18° = …

Untuk menyelesaikan ini, 2 rumus penting yang digunakan adalah rumus jumlah dan selisih pada sinus dan cosinus dan rumus perkalian sinus dan cosinus. Kita harus melibatkan sudut-sudut istimewa dan sudut yang dapat dihitung dengan mudah. Kita kerjakan tiga langkah dan rumus terpenting yang digunakan pada soal ini adalah a² + b² = (a + b)² – 2ab.

  • sin² 12° + sin² 48° = …
\displaystyle \sin^2 12^{\circ}+\sin^2 48^{\circ}=\left (\sin 12^{\circ}+\sin 48^{\circ} \right )^2-2\sin 12^{\circ}\sin 48^{\circ}\\ =\left ( 2\sin 30^{\circ}\cos 18^{\circ} \right )-\left ( \cos 36^{\circ}-\cos 60^{\circ} \right )

Ternyata ada sudut tidak istimewa. Kita sudah tahu bahwa sin 18° = 1/4 (√5 – 1). Kita hitung nilai eksak cos 18° dengan rumus cos A = ±√(1 – sin² A).

\displaystyle \cos 18^{\circ}=\sqrt{1-\sin^2 18^{\circ}}\\ =\sqrt{1-\left ( \frac{\sqrt{5}-1}{4} \right )^2}\\ =\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}

Lalu kita hitung cos 36° dengan rumus cos 2A = 1 – 2 sin² A.

\displaystyle \cos 36^{\circ}=1-2\sin^2 18^{\circ}\\ =1-2\left ( \frac{\sqrt{5}-1}{4} \right )^2\\ =\frac{1+\sqrt{5}}{4} \displaystyle \sin^2 12^{\circ}+\sin^2 48^{\circ}=\left ( \sin^2 12^{\circ}+\sin^2 48^{\circ} \right )-2\sin^2 12^{\circ}\sin^2 48^{\circ}\\ =\left ( 2\sin 30^{\circ}\cos 18^{\circ} \right )-\left ( \cos 36^{\circ}-\cos 60^{\circ} \right )\\ =\left [ 2\left ( \frac{1}{2} \right )\left ( \frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4} \right ) \right ]^2-\left ( \frac{1+\sqrt{5}}{4}-\frac{1}{2} \right )\\ =\frac{7-\sqrt{5}}{8}
  • sin² 21° + sin² 39° = …
\displaystyle \sin^2 21^{\circ}+\sin^2 39^{\circ}=\left ( \sin 21^{\circ}+\sin 39^{\circ} \right )^2-2\sin 21^{\circ}\sin 39^{\circ}\\ =\left ( 2\sin 30^{\circ}\cos 9^{\circ} \right )^2-\left ( \cos 18^{\circ}-\cos 60^{\circ} \right )\\ =\cos^2 9^{\circ}-\left ( \frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}-\frac{1}{2} \right )\\ =\frac{1+\cos 18^{\circ}}{2}-\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}-2}{4}\\=\frac{1+\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}}{2}-\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}-2}{4}\\ =1-\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{8}

Agar mempermudah perhitungan, kita ubah sin² 12° + sin² 21° + sin² 39° + sin² 48° – sin² 9° – sin² 18° menjadi sin² 12° + sin² 21° + sin² 39° + sin² 48° – (sin² 9° + sin² 18°)

  • sin² 9° + sin² 18° = …
\displaystyle \sin^2 9^{\circ}+\sin^2 18^{\circ}\\ =\frac{1-\cos 18^{\circ}}{2}+\frac{1-\cos 36^{\circ}}{2}\\ =\frac{\frac{8}{4}-\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}-\frac{1+\sqrt{5}}{4}}{2}\\ =\frac{7-\sqrt{5}-\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{8}

Jadi:

\displaystyle \sin^2 12^{\circ}+\sin^2 21^{\circ}+\sin^2 39^{\circ}+\sin^2 48^{\circ}-\left ( \sin^2 9^{\circ}+\sin^2 18^{\circ} \right )\\ =\frac{7-\sqrt{5}}{8}+\frac{8-\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{8}-\frac{7-\sqrt{5}-\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{8}\\ =\frac{8}{8}\\ =1

 

Silahkan anda cek dengan menggunakan kalkulator saintifik seperti Casio fx-991 ID PLUS atau wolframalpha!

 

Iklan

Menurunkan Rumus Garis Bagi Antara Dua Garis Lurus

Perhatikan gambar di bawah ini:

Garis Bagi

Garis ungu membagi sama rata garis biru dan merah. Ini berati jarak antara kedua garis merah dan hijau sama. Berdasarkan gambar secara matematis dituliskan:

\displaystyle d_1=d_2\\ \begin{vmatrix} \frac{a_1x+b_1y+c_1}{\sqrt{a_1^2+b_1^2}} \end{vmatrix} =\begin{vmatrix} \frac{a_2x+b_2y+c_2}{\sqrt{a_2^2+b_2^2}} \end{vmatrix}

Jika kita hilangkan tanda mutlaknya, persamaan menjadi:

\displaystyle \boxed {\frac{a_1x+b_1y+c_1}{\sqrt{a_1^2+b_1^2}}=\pm \frac{a_2x+b_2y+c_2}{\sqrt{a_2^2+b_2^2}}}

Tanda ± menunjukkan ada 2 garis yang dapat dibentuk dan jarak antar garis bagi sama. Pada gambar garis bagi tersebut yang ungu dan hijau.