Menurunkan Rumus Sudut Apit Dua Garis Lurus

Perhatikan gambar berikut:

Sudut Berpotongan

Kita akan menurunkan rumus untuk mencari besar sudut θ. Perhatikan bahwa sudut β merupakan penjumlahan dari sudut α dan θ. Ini berati θ = βα. Beri kedua ruas dengan tan sehingga:

\displaystyle \beta =\alpha +\theta \\ \theta =\beta -\alpha \\ \tan \theta =\tan (\beta -\alpha )\\ \tan \theta =\frac{\tan \beta -\tan \alpha }{1+\tan \beta \tan \alpha }\\ \boxed {\theta =\tan^{-1} \begin{vmatrix} \frac{m_1-m_2}{1+m_1m_2} \end{vmatrix}}

Kita lihat hubungan sudut θ dengan γ. Sudut γ dijumlahkan dengan sudut θ sama dengan 180°. Ini berati θ = 180° – γ. Beri kedua ruas dengan tan sehingga:

tan θ = tan (180° – γ)

tan θ = -tan γ … (*)

Jika kita analisis, berdasarkan gambar sudut γ tidak mungkin >180°. Berdasarkan persamaan (*) dan gambar. 1 tan bernilai negatif jika berada di kuadran II dan IV dan sudut γ besarnya 90° < γ < 180°. Agar anda sekalian paham coba pahami soal berikut:

  1. Carilah sudut apit yang dibentuk oleh garis 2x + y – 12 = 0 dan 3xy – 2 = 0!

Sekarang coba kita jawab tanpa nilai mutlak. Jika kita memisalkannya seperti ini:

2x + y – 12 = 0 → m = -2

3xy – 2 = 0 → m = 3

\displaystyle \theta =\tan^{-1} \left ( \frac{m_1-m_2}{1+m_1m_2} \right )\\ \theta =\tan^{-1} \left ( \frac{-2-3}{1+(-2)(3)} \right )\\ \theta =\tan^{-1}(1)\\ \theta=45^{\circ}

Jika kita memisalkannya seperti ini:

3xy – 2 = 0 → m = 3

2x + y – 12 = 0 → m= -2

\displaystyle \theta =\tan^{-1} \left ( \frac{m_1-m_2}{1+m_1m_2} \right )\\ \theta =\tan^{-1} \left ( \frac{3-(-2)}{1+3(-2)} \right )\\ \theta =\tan^{-1}(-1)\\ \theta=135^{\circ}

Terdapat dua kemungkinan jawaban. Soal tersirat karena sudut apit yang dicari apakah sudut yang lancip atau tumpul. Berdasarkan definisi nilai mutlak:

\displaystyle |x|=\left\{\begin{matrix} x\, \textrm{jika}\, x\geq 0\\ -x\, \textrm{jika}\, x< 0 \end{matrix}\right.

maka rumus yang digunakan harus diberi nilai mutlak agar tidak menimbulkan kerancuan. Kita kerjakan ulang:

Jika kita menggunakan permisalan pertama atau kedua hasilnya akan sama yaitu θ = 45° atau θ = 135° (menggunakan nilai mutlak).

Jelas

Andai soal meminta mencari yang sudut lancip atau tumpul, ambil yang memenuhi dari dua jawaban.

Iklan