Pembuktian Rumus Jarak Suatu Titik yang Ditarik Tegak Lurus ke Garis ax + by + c = 0

Bagi yang sudah SMA kelas XI (kelompok peminatan ilmu-ilmu alam) pasti sudah tahu rumus d = |ax₁ + by₁ + c| / √(a² + b²) pada bab Lingkaran, dan bagi yang sudah kuliah pasti sering menggunakan rumus itu pada materi geometri tentang garis lurus. Saya akan membuktikan rumus tersebut dengan cara yang nantinya tidak melibatkan perhitungan aljabar yang membingungkan. Perhatikan gambar di bawah:

46482809_570440103378568_7153564109353517056_n

Kita akan menbuktikan rumus jarak titik (x₁, y₁) ke garis 1 (garis ax + by + c = 0). Langkah pertama buat garis yang sejajar dengan garis 1 dan melewati titik (x₁, y₁), kemudian tentukan persamaan garisnya dan diberi nama garis 2. Kita ubah persamaan ax + by + c = 0 menjadi y = -a/b x – c/b. Gradien garis 1 adalah m₁ = -a/b. Karena garis 2 sejajar dengan garis 1, maka gradien garis 2 sama. Persamaan garis 2 adalah:

\displaystyle y-y_1=m_2(x-x_1)\\ y-y_1=-\frac{a}{b}(x-x_1)\\ by-by_1=-ax+ax_1\\ y=\frac{ax_1+by_1-ax}{b}~...(i)

 

Langkah kedua buat garis yang tegak lurus dengan garis 1 dan 2 sekaligus melewati titik pangkal (0, 0). Garis 3 memotong titik S dan R. Tentukan persamaan garis itu dan beri nama garis 3!. Gradien garis 3 adalah b/a. Persamaan garisnya:

\displaystyle y-0=\frac{b}{a}(x-x_1)\\ y=\frac{b}{a}x~...(ii)

Karena garis 2 dan 3 melalui titik yang sama (titik R) maka:

\displaystyle \frac{ax_1+by_1-ax}{b}=\frac{b}{a}x\\ b^2x=a^2x_1+aby_1-a^2x\\ \left ( b^2+a^2 \right )x=a(ax_1+by_1)\\ x=\frac{a(ax_1+by_1)}{a^2+b^2}~...(iii)

Substitusi (iii) ke (ii) menghasilkan:

\displaystyle y=\frac{b}{a}\frac{a(ax_1+by_1)}{a^2+b^2}\\ y=\frac{b(ax_1+by_1)}{a^2+b^2}

Kita peroleh koordinat titik R adalah: \displaystyle R\left ( \frac{a(ax_1+by_1)}{a^2+b^2},\frac{b(ax_1+by_1)}{a^2+b^2} \right )

Garis 3 melalui titik S. Hal ini menyebabkan \displaystyle -\frac{a}{b}x-\frac{c}{b}=\frac{b}{a}x. Kita operasikan untuk memperoleh x:

\displaystyle -\frac{a}{b}x-\frac{c}{b}=\frac{b}{a}x\\ ax+c=-\frac{b^2}{a}x\\ x\left ( a+ \frac{b^2}{a}\right )=-c\\ x=-\frac{ac}{a^2+b^2}~...(iv)

Substitusi (iv) ke (ii) menghasilhan:

\displaystyle y=\frac{b}{a}\left ( -\frac{ac}{a^2+b^2} \right )\\ y=-\frac{bc}{a^2+b^2}

Akhirnya diperoleh koordinat titik S yaitu: \displaystyle S\left ( -\frac{ac}{a^2+b^2},-\frac{bc}{a^2+b^2} \right )

 

Karena d sama dengan jarak titik R ke S, maka:

\displaystyle d=\overline{RS}\\ d=\sqrt{\left [-\frac{ac}{a^2+b^2}-\frac{a(ax_1+by_1)}{a^2+b^2} \right ]^2+\left [ -\frac{bc}{a^2+b^2}-\frac{b(ax_1+by_1)}{a^2+b^2} \right ]^2}\\ d=\sqrt{\left [-\frac{a(ax_1+by_1+c)}{a^2+b^2} \right ]^2+\left [ -\frac{b(ax_1+by_1+c)}{a^2+b^2} \right ]^2}\\ d=\sqrt{\frac{a^2(ax_1+by_1+c)^2+b^2(ax_1+by_1+c)^2}{\left ( a^2+b^2 \right )^2}}\\ d=\sqrt{\frac{\left ( a^2+b^2 \right )(ax_1+by_1+c)^2}{\left ( a^2+b^2 \right )^2}}\\\boxed {d=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}}
Iklan