Rumus Jumlah dan Selisih pada Sinus dan Cosinus

Ada 4 rumus fundamental pada materi ini. Semua rumus ini diturunkan dengan mensubstitusi permisalan ke rumus perkalian sinus dan cosinus. Keempat rumus itu adalah:

\displaystyle \sin A+\sin B=2\sin \left ( \frac{A+B}{2} \right )\cos \left ( \frac{A-B}{2} \right )\\ \sin A-\sin B=2\cos \left ( \frac{A+B}{2} \right )\sin \left ( \frac{A-B}{2} \right )\\ \cos A+\cos B=2\cos \left ( \frac{A+B}{2} \right )\cos \left ( \frac{A-B}{2} \right )\\ \cos A-\cos B=-2\sin \left ( \frac{A+B}{2} \right )\sin \left ( \frac{A-B}{2} \right )\\

Misal:

Aαβ dan Bα – β

A + B = 2α → α = (A + B )/ 2

AB = 2β → β = (AB) / 2

  • Bukti \displaystyle \sin A+\sin B=2\sin \left ( \frac{A+B}{2} \right )\cos \left ( \frac{A-B}{2} \right )\\
\displaystyle \sin (\alpha +\beta )+\sin (\alpha -\beta )=2\sin \alpha \cos \beta \\ \sin A+\sin B=2\sin \left ( \frac{A+B}{2} \right )\cos \left ( \frac{A-B}{2} \right )\\

Terbukti.

  • Bukti \displaystyle \sin A-\sin B=2\cos \left ( \frac{A+B}{2} \right )\sin \left ( \frac{A-B}{2} \right )\\
\displaystyle \sin (\alpha +\beta )-\sin (\alpha -\beta )=2\cos \alpha \sin \beta \\ \sin A-\sin B=2\cos \left ( \frac{A+B}{2} \right )\sin \left ( \frac{A-B}{2} \right )\\

Terbukti.

  • Bukti \displaystyle \cos A+\cos B=2\cos \left ( \frac{A+B}{2} \right )\cos \left ( \frac{A-B}{2} \right )\\
\displaystyle \cos (\alpha +\beta )+\cos (\alpha -\beta )=2\cos \alpha \cos \beta \\ \cos A+\cos B=2\cos \left ( \frac{A+B}{2} \right )\cos \left ( \frac{A-B}{2} \right )\\

Terbukti.

  • Bukti \displaystyle \cos A-\cos B=-2\sin \left ( \frac{A+B}{2} \right )\sin \left ( \frac{A-B}{2} \right )\\
\displaystyle \cos (\alpha +\beta )-\cos (\alpha -\beta )=-2\sin \alpha \sin \beta \\ \cos A-\cos B=-2\sin \left ( \frac{A+B}{2} \right )\sin \left ( \frac{A-B}{2} \right )\\

Terbukti.

Iklan

Rumus Perkalian Sinus dan Cosinus

Empat rumus pokok pada materi ini adalah:

\displaystyle \sin \alpha \cos \beta =\frac{\sin (\alpha +\beta )+\sin (\alpha -\beta )}{2}\\ \cos \alpha \sin \beta =\frac{\sin (\alpha +\beta )-\sin (\alpha -\beta )}{2}\\ \cos \alpha \cos \beta =\frac{\cos (\alpha +\beta )+\cos (\alpha -\beta )}{2}\\ \sin \alpha \sin \beta =\frac{\cos (\alpha -\beta )-\cos (\alpha +\beta )}{2}

Semua rumus ini diturunkan dari penjumlahan atau pengurangan dua rumus rasio trigonometri untuk jumlah dan selisih dua sudut. Berikut pembuktiannya:

  • Bukti \displaystyle \sin \alpha \cos \beta =\frac{\sin (\alpha +\beta )+\sin (\alpha -\beta )}{2}
\displaystyle \sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta \\ \sin (\alpha -\beta )=\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta

Kita jumlahkan sehingga diperoleh:

\displaystyle \sin (\alpha +\beta )+\sin (\alpha -\beta )=2\sin \alpha \cos \beta\\ \sin \alpha \cos \beta =\frac{\sin (\alpha +\beta )+\sin (\alpha -\beta )}{2}

Terbukti.

  • Bukti \displaystyle \cos \alpha \sin \beta =\frac{\sin (\alpha +\beta )-\sin (\alpha -\beta )}{2}
\displaystyle \sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta \\ \sin (\alpha -\beta )=\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta

Kita kurangkan sehingga diperoleh:

\displaystyle \sin (\alpha +\beta )-\sin (\alpha -\beta )=2\cos \alpha \sin \beta\\ \cos \alpha \sin \beta =\frac{\sin (\alpha +\beta )-\sin (\alpha -\beta )}{2}

Terbukti.

  • Bukti \displaystyle \cos \alpha \cos \beta =\frac{\cos (\alpha +\beta )+\cos (\alpha -\beta )}{2}
\displaystyle \cos (\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta \\ \cos (\alpha -\beta )=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta

Kita jumlahkan sehinga diperoleh:

\displaystyle \cos (\alpha +\beta )+\cos (\alpha -\beta )=2\cos \alpha \cos \beta\\ \cos \alpha \cos \beta =\frac{\cos (\alpha +\beta )+\cos (\alpha -\beta )}{2}

Terbukti.

  • Bukti \displaystyle \sin \alpha \sin \beta =\frac{\cos (\alpha -\beta )-\cos (\alpha +\beta )}{2}
\displaystyle \cos (\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta \\ \cos (\alpha -\beta )=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta

Kita kurangkan sehingga diperoleh:

\displaystyle \cos (\alpha +\beta )-\cos (\alpha -\beta )=-2\sin \alpha \sin \beta\\ \sin \alpha \sin \beta =-\frac{\cos (\alpha +\beta )-\cos (\alpha -\beta )}{2}\\ \sin \alpha \sin \beta =\frac{\cos (\alpha -\beta )-\cos (\alpha +\beta )}{2}

Terbukti.

Rumus Sinus, Cosinus dan Tangen untuk Sudut Paruh

Ada 5 rumus fundamental pada materi ini. Rumus-rumus itu ialah:

\displaystyle \sin \left ( \frac{A}{2} \right )=\pm \sqrt{\frac{1-\cos A}{2}}\\ \cos \left ( \frac{A}{2} \right )=\pm \sqrt{\frac{1+\cos A}{2}}\\ \tan \left ( \frac{A}{2} \right )=\left\{\begin{matrix} \pm \sqrt{\frac{1-\cos A}{1+\cos A}}\\ \frac{1-\cos A}{\sin A}\\ \frac{\sin A}{1+\cos A} \end{matrix}\right.

Untuk membuktikan rumus pertama dan kedua kita turunkan dari rumus sudut ganda cos.

  • Bukti \displaystyle \sin \left ( \frac{A}{2} \right )=\pm \sqrt{\frac{1-\cos A}{2}}\\
\displaystyle \cos \left ( 2~\frac{A}{2} \right )=1-2\sin^2 \left ( \frac{A}{2} \right )\\ 2\sin^2 \left ( \frac{A}{2} \right )=1-\cos A\\ \sin \left ( \frac{A}{2} \right )=\pm \sqrt{\frac{1-\cos A}{2}}\\

Tanda ± menunjukkan posisi kuadran. Jika sin (A/2) bernilai + berati berada di kuadran I dan II, bernilai – di kuadran III dan IV.

Terbukti.

  • Bukti \displaystyle \cos \left ( \frac{A}{2} \right )=\pm \sqrt{\frac{1+\cos A}{2}}\\
\displaystyle \cos \left ( 2~\frac{A}{2} \right )=2\cos^2 \left ( \frac{A}{2} \right )-1\\ 2\cos^2 \left ( \frac{A}{2} \right )=1+\cos A\\ \cos \left ( \frac{A}{2} \right )=\pm \sqrt{\frac{1+\cos A}{2}}\\

Jika cos (A/2) bernilai + berati berada di kuadran I dan IV, bernilai – di kuadran II dan III.

Terbukti.

  • Bukti \displaystyle \tan \left ( \frac{A}{2} \right )=\left\{\begin{matrix} \pm \sqrt{\frac{1-\cos A}{1+\cos A}}\\ \frac{1-\cos A}{\sin A}\\ \frac{\sin A}{1+\cos A} \end{matrix}\right.
\displaystyle \tan \left ( \frac{A}{2} \right )=\frac{\sin \left ( \frac{A}{2} \right )}{\cos \left ( \frac{A}{2} \right )}\\ =\pm \sqrt{\frac{1-\cos A}{1+\cos A}}

Jika tan (A/2) bernilai + berati berada di kuadran I dan III, bernilai – di kuadran II dan IV.

\displaystyle \textrm{Apabila}\, \sqrt{\frac{1-\cos A}{1+\cos A}}\, \textrm{dikali dengan}\, \sqrt{\frac{1-\cos A}{1-\cos A}}\, \textrm{diperoleh}:

\displaystyle \tan \left ( \frac{A}{2} \right )=\pm \sqrt{\frac{1-\cos A}{1+\cos A}\frac{1-\cos A}{1-\cos A}}\\ =\pm \sqrt{\frac{(1-\cos A)^2}{1-\cos^2 A}}\\ =\pm \sqrt{\frac{1-\cos^2 A}{\sin^2 A}}\\ =\frac{1-\cos A}{\sin A}

\displaystyle \textrm{Apabila}\, \sqrt{\frac{1-\cos A}{1+\cos A}}\, \textrm{dikali dengan}\, \sqrt{\frac{1+\cos A}{1+\cos A}}\, \textrm{diperoleh}:

\displaystyle \tan \left ( \frac{A}{2} \right )=\pm \sqrt{\frac{1-\cos A}{1+\cos A}\frac{1+\cos A}{1+\cos A}}\\ =\pm \sqrt{\frac{1-\cos^2 A}{(1+\cos A)^2}}\\ =\pm \sqrt{\frac{\sin^2 A}{(1+\cos A)^2}}\\ =\frac{\sin A}{1+\cos A}

Biasanya untuk menghitung tan (A/2) lebih sering menggunakan kesamaan (1 – cos A) /  sin A atau sin A / (1 + cos A) karena cenderung memudahkan perhitungan. Misal kita ingin menghitung tan 22,5°.

Ketiga rumus terbukti.