Rumus Sinus, Cosinus, dan Tangen untuk Sudut Ganda

Untuk membuktikan ini kita gunakan rumus rasio trigonometri untuk jumlah dan selisih dua sudut. Ada 5 rumus fundamental pada materi ini:

\displaystyle \sin 2A=2\sin A\cos A\\ \cos 2A=\left\{\begin{matrix} \cos^2 A-\sin^2 A\\ 1-2\sin^2 A\\ 2\cos^2 A-1 \end{matrix}\right.\\ \tan 2A=\frac{2\tan A}{1-\tan^2 A}

Mari kita buktikan:

 

  • Bukti \displaystyle \sin 2A=2\sin A\cos A\\
\displaystyle \sin 2A=\sin (A+A)\\ =\sin A\cos A+\cos A\sin A\\ =2\sin A\cos A

Terbukti.

  • Bukti \displaystyle \cos 2A=\left\{\begin{matrix} \cos^2 A-\sin^2 A\\ 1-2\sin^2 A\\ 2\cos^2 A-1 \end{matrix}\right.
\displaystyle \cos 2A=\cos (A+A)\\ \cos A \cos A-\sin A\sin A\\ =\cos^2 A-\sin^2 A

karena cos² A = 1 – sin² A, maka:

\displaystyle \cos 2A=\left ( 1-\sin^2 A \right )-\sin^2 A\\ =1-2\sin^2 A

karena sin² A = 1 – cos² A, maka

\displaystyle \cos 2A=\cos^2 A-\left ( 1-\cos^2 A \right )\\ =2\cos^2 A-1

Ketiga rumus terbukti.

  • Bukti \displaystyle \tan 2A=\frac{2\tan A}{1-\tan^2 A}
\displaystyle \tan 2A=\tan (A+A)\\ =\frac{\tan A+\tan A}{1-\tan A \tan A}\\ =\frac{2\tan A}{1-\tan^2 A}

Terbukti.

Iklan

Rumus Rasio Trigonometri untuk Jumlah dan Selisih Dua Sudut

Ada 6 rumus fundamental yang digunakan untuk menyelesaikan soal-soal yang melibatkan ini. Misal kita ingin menghitung nilai eksak dari tan 75° atau cos 15°. Rumus-rumus itu adalah:

\displaystyle \sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta \\ \sin (\alpha -\beta )=\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta \\ \cos (\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta \\ \cos (\alpha -\beta )=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta \\ \tan (\alpha +\beta )=\frac{\tan \alpha +\tan \beta }{1-\tan \alpha \tan \beta }\\ \tan (\alpha -\beta )=\frac{\tan \alpha -\tan \beta }{1+\tan \alpha \tan \beta }

Mari kita buktikan keenam rumus ini:

 

  • Bukti \displaystyle \sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta ~\textrm{dan}~ \sin (\alpha -\beta )=\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta

Perhatikan gambar di bawah ini:

Segitiga

\displaystyle L\Delta ABC=L\Delta AOC+L\Delta BOC\\ \frac{1}{2}ab\sin (\alpha +\beta )=\frac{1}{2}tp+\frac{1}{2}tq\\ ab\sin (\alpha +\beta )=(a\cos \beta )(b\sin \alpha )+(b\cos \alpha )(a\sin \beta )\\ \sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta

Bagaimana dengan \displaystyle \sin (\alpha -\beta ) ? Kita hanya mengubah sudut β menjadi –β sehingga:

\displaystyle \sin (\alpha +(-\beta) )=\sin \alpha \cos (-\beta) +\cos \alpha \sin (-\beta)\\ \sin (\alpha -\beta )=\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta

Kedua rumus terbukti.

 

  • Bukti \displaystyle \cos (\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta ~\textrm{dan}~ \cos (\alpha -\beta )=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta

Kita gunakan rumus sudut relasi cos θ = sin (90° – θ), maka:

\displaystyle \cos (\alpha +\beta )=\sin \left [ 90^{\circ}-(\alpha +\beta ) \right ]\\ \cos (\alpha +\beta )=\sin \left [ (90^{\circ}-\alpha )-\beta \right ]\\ \cos (\alpha +\beta )=\sin (90^{\circ}-\alpha )\cos \beta -\cos (90^{\circ}-\alpha )\sin \beta \\ \cos (\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta

Dengan cara yang sama, untuk \displaystyle \cos (\alpha -\beta ):

\displaystyle \cos (\alpha +(-\beta) )=\cos \alpha \cos (-\beta) -\sin \alpha \sin (-\beta) \\ \cos (\alpha -\beta )=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta

Kedua rumus terbukti.

 

  • Bukti \displaystyle \tan (\alpha +\beta )=\frac{\tan \alpha +\tan \beta }{1-\tan \alpha \tan \beta }~\textrm{dan}~\tan (\alpha -\beta )=\frac{\tan \alpha -\tan \beta }{1+\tan \alpha \tan \beta }
\displaystyle \tan (\alpha +\beta )=\frac{\sin (\alpha +\beta )}{\cos (\alpha +\beta )}\\ =\frac{\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta }{\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta }\\ =\frac{\frac{\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta }}{\frac{\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta}}\\ =\frac{\tan \alpha +\tan \beta }{1-\tan \alpha \tan \beta }

Dengan cara yang sama pula untuk \displaystyle \tan (\alpha -\beta ):

\displaystyle \tan (\alpha +(-\beta ))=\frac{\tan \alpha +\tan (-\beta) }{1-\tan \alpha (-\tan \beta) }\\ \tan (\alpha -\beta )=\frac{\tan \alpha -\tan \beta }{1+\tan \alpha \tan \beta }

Kedua rumus terbukti.