Penyelesaian Soal Mengenai Sifat-Sifat Logaritma

Ini merupakan kelanjutan dari postingan saya yang membuktikan sifat-sifat logaritma (lihat https://blognyamazpandoe.wordpress.com/2018/11/02/pembuktian-sifat-sifat-logaritma/). Di situ ada 4 soal yang akan saya jawab. Ini hanyalah soal evaluasi kemampuan analisis dan penggunaannya tidak terlalu penting. Berikut penyelesaiannya:

  • Bukti \displaystyle \frac{^a\log c}{^b\log c}=\frac{\log b}{\log a}
\displaystyle \textrm{Misal}~^a\log c=m\leftrightarrow a^m=c\: \textrm{dan}\: ^b\log c=n\leftrightarrow b^n=c\\ a^m=b^n\\ \log a^m=\log b^n\\ m~\log a=n~\log b\\ \frac{m}{n}=\frac{\log b}{\log a}\\ \frac{^b\log c}{^a\log c}=\frac{\log b}{\log a}

Terbukti.

  • Bukti \displaystyle a^{~^b\log c}=c^{~^b\log a}
\displaystyle \textrm{Misal}\, a^{~^b\log c}=y\\ \log a^{~^b\log c}=\log y\\ ^b\log c~\log a=\log y\\ \frac{\log c}{\log b}\log a=\log y\\ \frac{\log a}{\log b}\log c=\log y\\ ^b\log a~\log c=\log y\\ \log c^{~^b\log a}=\log y\\ c^{~^b\log a}=y

Dari kesamaan y, jelas bahwa sifat ini benar. Terbukti.

Soal ke 3 dan ke 4 adalah soal terstruktur.

  • Bukti \displaystyle ^{ab}\log x=\frac{^a\log x~^b\log x}{^a\log x+^b\log x}
\displaystyle ^{ab}\log x=\frac{1}{^x\log ab}\\ =\frac{1}{^x\log a+^x\log b}\\ =\frac{^a\log x~^b\log x}{(^x\log a+^x\log b)(^a\log x~^b\log x)}\\ =\frac{^a\log x~^b\log x}{^x\log a~^a\log x~^b\log x+^x\log b~^b\log x~^a\log x}\\ =\frac{^a\log x~^b\log x}{^x\log x(^b\log x+^a\log x)}\\ =\frac{^a\log x~^b\log x}{^a\log x+^b\log x}

Terbukti.

  • Bukti \displaystyle \frac{^a\log n}{^{ab}\log n}=1+^a\log b
\displaystyle \frac{^a\log n}{^{ab}\log n}=\frac{^a\log n}{\frac{^a\log n~^b\log n}{^a\log n+^b\log n}}\\ =\frac{^a\log n(^a\log n+^b\log n)}{^a\log n~^b\log n}\\ =1+\frac{^a\log n}{^b\log n}\\ =1+\frac{\log b}{\log a}\\ 1+^a\log b

Terbukti.

Iklan

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout /  Ubah )

Foto Google

You are commenting using your Google account. Logout /  Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout /  Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout /  Ubah )

Connecting to %s

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.