Menentukan Nilai Eksak sin 18°

Sudut 18° terkadang digunakan untuk menentukan nilai perbandingan trigonometri dalam soal seleksi masuk perguruan tinggi. Misal dalam suatu soal diharuskan menghitung sin 18° terlebih dahulu agar bisa selesai soal tersebut. Ada 2 cara menentukannya, yaitu secara matematis dan geometri. Pertama saya akan membuktikannya secara geometri. Perhatikan gambar-gambar di bawah ini:

Kongruen

Untuk membuktikannya menggunakan konsep kekongruennan. Ingat kembali pelajaran kelas IX SMP ini dan saya anggap anda sekalian bisa mengerti gambar diatas dikarenakan sudah memelajarinya! Dari kedua gambar diatas, pandang ΔABC dan ΔACD! Karena ΔABC ≅ ΔADC, maka:

\displaystyle \frac{x}{1-x}=\frac{1}{x}\\ x^2=1-x\\ x^2+x-1=0\\ x_{1,2}=\frac{-1\pm \sqrt{1^2-4(1)(-1)}}{2(1)}\\ x_{1,2}=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}\\ x_1=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\, \vee\, x_2=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}\leftarrow \textrm{Tidak memenuhi}\\ \textrm{Jadi}\, x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}

Kita bagi sama rata ΔABC sehingga menjadi seperti pada gambar. 4:

Sin 18

Berdasarkan perbandingan trigonometri pada gambar. 4 dapat disimpulkan:

\displaystyle \sin 18^{\circ}=\frac{1}{4}\left ( \sqrt{5}-1 \right )

 

Sekarang saya buktikan secara matematis. Caranya sebagai berikut:

\displaystyle \textrm{Misal}\, \theta =18^{\circ}\rightarrow 5\theta =90^{\circ}\\ 2\theta+3\theta=90^{\circ}\\ 2\theta=90^{\circ}-3\theta\\ \sin 2\theta=\sin \left ( 90^{\circ}-3\theta \right )\leftarrow \textrm{kedua ruas diberi sin}\\ \sin 2\theta=\cos 3\theta\\ 2\sin \theta \cos \theta=4\cos^3\theta-3\cos\theta\\ 2\sin \theta \cos \theta-4\cos^3\theta+3\cos\theta=0\\ \cos \theta \left ( 2\sin \theta-4\cos^2\theta+3 \right )=0\\ 2\sin \theta-4\left ( 1-\sin^2 \theta \right )+3=0\leftarrow \textrm{kedua ruas dibagi dengan}\cos \theta\\ 4\sin^2 \theta+2\sin \theta-1=0\\ 4u^2+2u-1=0\\ u_{1,2}=\frac{-2\pm \sqrt{4-4(4)(-1)}}{2(4)} u_1=\frac{\sqrt{5}-1}{4}\, \vee\, u_2=-\frac{1+\sqrt{5}}{4}\leftarrow \textrm{tidak memenuhi karena bernilai negatif}\\ \textrm{Jadi:}\\ u=\sin \theta\\ =\sin 18^{\circ}=\frac{\sqrt{5}-1}{4}
Iklan

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout /  Ubah )

Foto Google

You are commenting using your Google account. Logout /  Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout /  Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout /  Ubah )

Connecting to %s

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.