Menentukan Nilai Eksak sin 18°

Sudut 18° terkadang digunakan untuk menentukan nilai perbandingan trigonometri dalam soal seleksi masuk perguruan tinggi. Misal dalam suatu soal diharuskan menghitung sin 18° terlebih dahulu agar bisa selesai soal tersebut. Ada 2 cara menentukannya, yaitu secara matematis dan geometri. Pertama saya akan membuktikannya secara geometri. Perhatikan gambar-gambar di bawah ini:

Kongruen

Untuk membuktikannya menggunakan konsep kekongruennan. Ingat kembali pelajaran kelas IX SMP ini dan saya anggap anda sekalian bisa mengerti gambar diatas dikarenakan sudah memelajarinya! Dari kedua gambar diatas, pandang ΔABC dan ΔACD! Karena ΔABC ≅ ΔADC, maka:

\displaystyle \frac{x}{1-x}=\frac{1}{x}\\ x^2=1-x\\ x^2+x-1=0\\ x_{1,2}=\frac{-1\pm \sqrt{1^2-4(1)(-1)}}{2(1)}\\ x_{1,2}=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}\\ x_1=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\, \vee\, x_2=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}\leftarrow \textrm{Tidak memenuhi}\\ \textrm{Jadi}\, x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}

Kita bagi sama rata ΔABC sehingga menjadi seperti pada gambar. 4:

Sin 18

Berdasarkan perbandingan trigonometri pada gambar. 4 dapat disimpulkan:

\displaystyle \sin 18^{\circ}=\frac{1}{4}\left ( \sqrt{5}-1 \right )

 

Sekarang saya buktikan secara matematis. Caranya sebagai berikut:

\displaystyle \textrm{Misal}\, \theta =18^{\circ}\rightarrow 5\theta =90^{\circ}\\ 2\theta+3\theta=90^{\circ}\\ 2\theta=90^{\circ}-3\theta\\ \sin 2\theta=\sin \left ( 90^{\circ}-3\theta \right )\leftarrow \textrm{kedua ruas diberi sin}\\ \sin 2\theta=\cos 3\theta\\ 2\sin \theta \cos \theta=4\cos^3\theta-3\cos\theta\\ 2\sin \theta \cos \theta-4\cos^3\theta+3\cos\theta=0\\ \cos \theta \left ( 2\sin \theta-4\cos^2\theta+3 \right )=0\\ 2\sin \theta-4\left ( 1-\sin^2 \theta \right )+3=0\leftarrow \textrm{kedua ruas dibagi dengan}\cos \theta\\ 4\sin^2 \theta+2\sin \theta-1=0\\ 4u^2+2u-1=0\\ u_{1,2}=\frac{-2\pm \sqrt{4-4(4)(-1)}}{2(4)} u_1=\frac{\sqrt{5}-1}{4}\, \vee\, u_2=-\frac{1+\sqrt{5}}{4}\leftarrow \textrm{tidak memenuhi karena bernilai negatif}\\ \textrm{Jadi:}\\ u=\sin \theta\\ =\sin 18^{\circ}=\frac{\sqrt{5}-1}{4}
Iklan

Penyelesaian Soal Mengenai Sifat-Sifat Logaritma

Ini merupakan kelanjutan dari postingan saya yang membuktikan sifat-sifat logaritma (lihat https://blognyamazpandoe.wordpress.com/2018/11/02/pembuktian-sifat-sifat-logaritma/). Di situ ada 4 soal yang akan saya jawab. Ini hanyalah soal evaluasi kemampuan analisis dan penggunaannya tidak terlalu penting. Berikut penyelesaiannya:

  • Bukti \displaystyle \frac{^a\log c}{^b\log c}=\frac{\log b}{\log a}
\displaystyle \textrm{Misal}~^a\log c=m\leftrightarrow a^m=c\: \textrm{dan}\: ^b\log c=n\leftrightarrow b^n=c\\ a^m=b^n\\ \log a^m=\log b^n\\ m~\log a=n~\log b\\ \frac{m}{n}=\frac{\log b}{\log a}\\ \frac{^b\log c}{^a\log c}=\frac{\log b}{\log a}

Terbukti.

  • Bukti \displaystyle a^{~^b\log c}=c^{~^b\log a}
\displaystyle \textrm{Misal}\, a^{~^b\log c}=y\\ \log a^{~^b\log c}=\log y\\ ^b\log c~\log a=\log y\\ \frac{\log c}{\log b}\log a=\log y\\ \frac{\log a}{\log b}\log c=\log y\\ ^b\log a~\log c=\log y\\ \log c^{~^b\log a}=\log y\\ c^{~^b\log a}=y

Dari kesamaan y, jelas bahwa sifat ini benar. Terbukti.

Soal ke 3 dan ke 4 adalah soal terstruktur.

  • Bukti \displaystyle ^{ab}\log x=\frac{^a\log x~^b\log x}{^a\log x+^b\log x}
\displaystyle ^{ab}\log x=\frac{1}{^x\log ab}\\ =\frac{1}{^x\log a+^x\log b}\\ =\frac{^a\log x~^b\log x}{(^x\log a+^x\log b)(^a\log x~^b\log x)}\\ =\frac{^a\log x~^b\log x}{^x\log a~^a\log x~^b\log x+^x\log b~^b\log x~^a\log x}\\ =\frac{^a\log x~^b\log x}{^x\log x(^b\log x+^a\log x)}\\ =\frac{^a\log x~^b\log x}{^a\log x+^b\log x}

Terbukti.

  • Bukti \displaystyle \frac{^a\log n}{^{ab}\log n}=1+^a\log b
\displaystyle \frac{^a\log n}{^{ab}\log n}=\frac{^a\log n}{\frac{^a\log n~^b\log n}{^a\log n+^b\log n}}\\ =\frac{^a\log n(^a\log n+^b\log n)}{^a\log n~^b\log n}\\ =1+\frac{^a\log n}{^b\log n}\\ =1+\frac{\log b}{\log a}\\ 1+^a\log b

Terbukti.