Pembuktian Rumus panjang Jari-Jari Lingkaran Dalam dan Luar Segitiga

Perhatikan kedua gambar berikut:

Njobo Njero

 

Saya buktikan dulu rumus panjang jari-jari lingkaran dalam segitiga. Perhatikan gambar 1!

\displaystyle L\Delta ABC=L\Delta BOC+L\Delta AOB+L\Delta AOC\\ L\Delta ABC=\frac{1}{2}ar+\frac{1}{2}cr+\frac{1}{2}br\\ L\Delta ABC=\frac{1}{2}r(a+b+c)\\ L\Delta ABC=\frac{1}{2}r(2s)\\ r=\frac{\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}}{s}\\ \boxed {r=\sqrt{\frac{(s-a)(s-b)(s-c)}{s}}\, \textrm{dengan}\, s=\frac{a+b+c}{2}}

 

Selanjutnya kita buktikan rumus panjang jari-jari lingkaran luar segitiga. Saya menggunakan trigonometri karena penyelesaiannya lebih cepat daripada menggunakan kesebangunan.

\displaystyle \Delta AOD=\Delta COD\\ \sin \theta =\frac{\frac{b}{2}}{r}=\frac{b}{2r}\\ L\Delta ABC=\frac{1}{2}ac\sin \theta\\ L\Delta ABC=\frac{1}{2}ac\left ( \frac{b}{2r} \right )\\ L\Delta ABC=\frac{abc}{4r}\\ \boxed {r=\frac{abc}{4\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}}\, \textrm{dengan}\, s=\frac{a+b+c}{2}}
Iklan

Pembuktian Rumus Parameshvara

Rumus ini untuk menghitung panjang jari-jari lingkaran luar segiempat tali busur. Perhatikan gambar:

bunderan

Untuk membuktikan ini kita melibatkan lingkaran luar segitiga. Perhatikan baik-baik! Luas segiempat tali busur tersebut adalah L = L ΔBCD + L ΔABD atau L = L ΔABC + L ΔADC.  Kita buktikan rumusnya:

\displaystyle L=L\Delta ABC+L\Delta ADC\\ L=\frac{cdq}{4r}+\frac{abq}{4r}\\ L=\frac{q(ab+cd)}{4r}\leftrightarrow r=\frac{q(ab+cd)}{4L}~...(*)

 

\displaystyle L=L\Delta BCD+L\Delta BAD\\ L=\frac{adp}{4r}+\frac{bcp}{4r}\\ L=\frac{p(ad+bc)}{4r}\leftrightarrow r=\frac{p(ad+bc)}{4L}~...(**)

 

Masih belum terbukti. Dari kedua persamaan tersebut, kalikan keduanya kemudian akarkan sampai terbuktinya rumus itu:

\displaystyle r^2=\frac{p(ad+bc)}{4L}\, \frac{q(ab+cd)}{4L}\\ r^2=\frac{pq(ab+cd)(ad+bc)}{16L^2}\\ r^2=\frac{(ac+bd)(ab+cd)(ad+bc)}{16(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}\\ \boxed {r=\frac{1}{4}\sqrt{\frac{(ac+bd)(ab+cd)(ad+bc)}{16(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}\, \textrm{dengan}\, s=\frac{a+b+c+d}{2}}

Pembuktian Rumus Brahmagupta

Rumus ini digunakan untuk menghitung luas segiempat tali busur. Perhatikan gambar:

bunderan

Kita gunakan gabungan 2 luas segitiga dan melibatkan trigonometri. Luas segiempat tali busur ABCD adalah L = L ΔABC + L ΔADC atau L = L ΔBCD + L ΔBAD. Saya gunakan yang pertama.

\displaystyle L=L\Delta ADC+L\Delta ABC\\ L=\frac{1}{2}ab\sin D+\frac{1}{2}cd\sin B\\ L=\frac{1}{2}ab\sin D+\frac{1}{2}cd\sin \left ( 180^{\circ}-D \right )\\ L=\frac{1}{2}ab\sin D+\frac{1}{2}cd\sin D\\ L=\frac{1}{2}\sin D(ab+cd)\\ L^2=\frac{1}{4}(ab+cd)^2\sin^2 D\\ 4L^2=(ab+cd)^2(1-\cos^2 D)\\ 4L^2=(ab+cd)^2-(ab+cd)^2\cos^2 D~...(*)

Karena kita menggunakan rumus L = L ΔABC + L ΔADC, kita tinjau ∠D dan ∠B! Berdasarkan aturan cosinus:

\displaystyle q^2=a^2+b^2-2ab\cos D=c^2+d^2-2cd\cos B\\ a^2+b^2-2ab\cos D=c^2+d^2-2cd\cos \left ( 180^{\circ}-D \right )\\ c^2+d^2+2cd\cos D=a^2+b^2-2ab\cos D\\ 2(ab+cd)\cos D=a^2+b^2-c^2-d^2\\ (ab+cd)^2\cos^2 D=\frac{(a^2+b^2-c^2-d^2)^2}{4}~...(**)

Substitusi (**) ke (*) menghasilkan:

\displaystyle 4L^2=(ab+cd)^2-\frac{(a^2+b^2-c^2-d^2)^2}{4}\\ 16L^2=4(ab+cd)^2-(a^2+b^2-c^2-d^2)^2

Sampai disini gunakan rumus selisih kuadrat untuk menyelesaikannya sehingga:

\displaystyle 16L^2=[2(ab+cd)-(a^2+b^2-c^2-d^2)]~[2(ab+cd)+(a^2+b^2-c^2-d^2)]\\ 16L^2=(2ab+2cd-a^2-b^2+c^2+d^2)(2ab+2cd+a^2+b^2-c^2-d^2)\\ 16L^2=[(c^2+2cd+d^2)-(a^2-2ab+b^2)]~[(a^2+2ab+b^2)-(c^2-2cd+d^2)]\\ 16L^2=[(c+d)^2-(a-b)^2]~[(a+b)^2-(c-d)^2]

Kita gunakan rumus selisih kuadrat lagi sampai dibuktikannya rumus tersebut:

\displaystyle 16L^2=[(c+d)-(a-b)]~[(c+d)+(a-b)]~[(a+b)-(c-d)]~[(a+b)+(c-d)]\\ 16L^2=(c+d-a+b)(c+d+a-b)(a+b-c+d)(a+b+c-d)\\ 16L^2=(a+b+c+d-2a)(a+b+c+d-2b)(a+b+c+d-2c)(a+b+c+d-2d)\\ 16L^2=(2s-2a)(2s-2b)(2s-2c)(2s-2d)\\ 16L^2=2(s-a)~2(s-b)~2(s-c)~2(s-d)\\ \boxed {L=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}\, \textrm{dengan}\, s=\frac{a+b+c+d}{2}}