Pembuktian Teorema Ptolemy via Trigonometri

Bunyi teorema ini adalah: Hasil kali panjang dua diagonal segiempat tali busur sama dengan jumlah dari hasil kali panjang sisi segiempat tali busur yang saling berhadapan. Saya akan membuktikan teorema ini menggunakan aturan cosinus. Sebelumnya ingat kembali bahwa jumlah sudut segiempat tali busur yang saling berhadapan sama dengan 180°. Perhatikan gambar di bawah ini:

bunderan

Tinjau diagonal p! Berdasarkan aturan cosinus:

\displaystyle p^2=a^2+d^2-2ad\cos \angle DCB~...(i)

 

\displaystyle p^2=b^a+c^2-2bc\cos \angle DAB\\ p^2=b^2+c^2-2bc\cos (180^{\circ}-\angle DCB)\\ p^2=b^2+c^2+2bc \cos \angle DCB~...(ii)

Kalikan persamaan (i) dengan bc dan persamaan (ii) dengan ad kemudian jumlahkan kedua persamaan sehingga diperoleh rumus panjang diagonal p.

\displaystyle bcp^2=bca^2+bcd^2-2abcd \cos \angle DCB\\ adp^2=adb^2+adc^2+2abcd \cos \angle DCB\\ (bc+ad)p^2=bca^2+adb^2+bcd^2+adc^2\\ (bc+ad)p^2=ab(ac+bd)+cd(bd+ac)\\ p=\sqrt{\frac{(ab+cd)(ac+bd)}{ad+bc}}

 

Tinjau diagonal q! Dengan cara yang sama:

\displaystyle q^2=c^2+d^2-2cd \cos \angle ABC~...(iii)

 

\displaystyle q^2=a^2+b^2-2ab \cos \angle ADC\\ q^2=a^2+b^2-2ab \cos (180^{\circ}-\angle ABC)\\ q^2=a^2+b^2+2ab \cos \angle ABC~...(iv)

Kalikan persamaan (iii) dengan ab dan persamaan (iv) dengan cd kemudian jumlahkan kedua persamaan sehingga diperoleh rumus panjang diagonal q.

\displaystyle abq^2=abc^2+abd^2-2abcd \cos \angle ABC\\ cdq^2=cda^2+cdb^2+2abcd \cos \angle ABC\\ (ab+cd)q^2=abc^2+cda^2+abd^2+cdb^2\\ (ab+cd)q^2=ac(ad+bc)+bd(ad+bc)\\ q=\sqrt{\frac{(ac+bd)(ad+bc)}{ab+cd}}

 

Kalikan p dengan q sehingga:

\displaystyle pq=\sqrt{\frac{(ab+cd)(ac+bd)}{ad+bc}\frac{(ac+bd)(ad+bc)}{ab+cd}}\\ \boxed{pq=ac+bd}

Terbukti.

 

Iklan

Pembuktian Sifat-Sifat Logaritma

Logaritma adalah invers dari eksponen. Dalam bahasa matematika dirumuskan \displaystyle ^a\log b=c\leftrightarrow a^c=b. a adalah basis, b adalah numerus dan c adalah eksponen dengan a, b > 0, a ≠ 1.
Ada 8 sifat yang sangat berguna untuk menyelesaikan soal-soal logaritma. Berikut pembuktiannya:

  • Bukti \displaystyle ^a\log a=1

Kita sudah tahu bahwa berapapun bilangan jika dipangkatkan dengan satu sama dengan bilangan itu sendiri. Berdasarkan definisi logaritma dapat dibuktikan:

\displaystyle a^1=a\leftrightarrow ^a\log a=1

Terbukti.

  • Bukti \displaystyle ^a\log 1=0

Pada postingan sebelumnya telah dibuktikan berapapun bilangan dipangkatkan dengan nol hasilnya sama dengan satu. Sama seperti sebelumnya dapat dibuktikan:

\displaystyle a^0=1\leftrightarrow ^a\log 1=0

Terbukti.

  • Bukti \displaystyle ^a\log b+^a\log c=^a\log bc
\displaystyle \textrm{Misal}~^a\log b=m\leftrightarrow a^m=b\: \textrm{dan}~^a\log c=n\leftrightarrow a^n=c\\ bc=a^m~a^n\\ bc=a^{m+n}\leftrightarrow ^a\log bc=m+n\\ ^a\log bc=^a\log b+^a\log c

Terbukti.

  • Bukti \displaystyle ^a\log b-^a\log c=^a\log \left ( \frac{b}{c} \right )=-^a\log \left ( \frac{c}{b} \right )
\displaystyle \textrm{Misal}~^a\log b=m\leftrightarrow a^m=b\: \textrm{dan}~^a\log c=n\leftrightarrow a^n=c\\ \frac{b}{c}=\frac{a^m}{a^n}\\ \frac{b}{c}=a^{m-n}\leftrightarrow ^a\log \left ( \frac{b}{c} \right )=m-n\\ ^a\log \left ( \frac{b}{c} \right )=^a\log b-^a\log c

Bentuk diatas dapat kita ubah menjadi:

\displaystyle ^a\log b-^a\log c=-\left ( ^a\log c-^a\log b \right )=-^a\log \left ( \frac{c}{b} \right )

Terbukti.

  • Bukti \displaystyle ^{a^m}\log b^n=\frac{n}{m}~^a\log b
\displaystyle \textrm{Misal}~^{a^m}\log b^n=c\leftrightarrow \left ( a^m \right )^c=b^n\\ a^{mc}=b^n\\ b=\sqrt[n]{a^{mc}}\\ b=a^{\frac{mc}{n}}\leftrightarrow ^a\log b=\frac{mc}{n}\\ \frac{n}{m}~^a\log b=^{a^m}\log b^n

Terbukti.

Jika m = 1, maka \displaystyle ^a\log b^n=n~^a\log b

Untuk sifat \displaystyle ^a\log b^n=n~^a\log b bisa dibuktikan dengan cara berikut:

\displaystyle ^a\log b^n\\=^a\log (b~b~b~...)\\=^a\log b+^a\log b+^a\log b+...\\ =n~^a\log b
  • Bukti \displaystyle ^a\log b=\frac{^c\log b}{^c\log a}=\frac{1}{^b\log a}
\displaystyle \textrm{Misal}~^a\log b=m\leftrightarrow a^m=b\\ \textrm{Kita 'log' kan kedua ruas pada}~a^m=b ~\textrm{dengan basis c}\\ ^c\log a^m=^c\log b\\ m~^c\log a=^c\log b\\ ^a\log b=\frac{^c\log b}{^c\log a}

Apabila c = b, maka:

\displaystyle ^a\log b=\frac{^b\log b}{^b\log a}=\frac{1}{^b\log a}

Terbukti.

  • Bukti \displaystyle ^a\log b~~^b\log c=^a\log c

Kita gunakan sifat \displaystyle ^a\log b=\frac{^c\log b}{^c\log a}

\displaystyle ^a\log b~^b\log c=\frac{\log b}{\log a}\, \frac{\log c}{\log b}=\frac{\log c}{\log a}=^a\log c

Terbukti.

  • Bukti \displaystyle a^{~{^a}\log b}=b
\displaystyle \textrm{Misal}~^a\log b=c\leftrightarrow a^c=b\\ a^{~{^a}\log b}=b

Terbukti.

 

Kedepannya akan dibuktikan 4 sifat logaritma di bawah ini pada postingan selanjutnya:

  1. \displaystyle \frac{^b\log c}{^a\log c}=\frac{\log a}{\log b}
  2. \displaystyle a^{~{^b}\log c}=c^{~{^b}\log a}
  3. \displaystyle ^{ab}\log x=\frac{^a\log x~^b\log x}{^a\log x+^b\log x}
  4. \displaystyle \frac{^a\log n}{^{ab}\log n}=1+^a\log b

Soal nomor 3 dan 4 saya ambil dari buku Matematika Wajib Kelas X Kurikulum 2013, Sukino.