Evaluate cos² (π/7) + cos² (3π/7) + cos² (5π/7) and sin² (π/7) + sin² (3π/7) + sin² (5π/7)

Saya sengaja buat 2 soal ini menjadi soal terstruktur. Soal ini sebenarnya mudah hanya membutuhkan manipulasi dan rumus-rumus trigonometri. Kita kerjakan cos² (π/7) + cos² (3π/7) + cos² (5π/7) terlebih dahulu.

\displaystyle \cos^2 \left ( \frac{\pi}{7} \right )+\cos^2 \left ( \frac{3\pi}{7} \right )+\cos^2 \left ( \frac{5\pi}{7} \right )\\ =\frac{1+\cos \left ( \frac{2\pi}{7} \right )}{2}+\frac{1+\cos \left ( \frac{6\pi}{7} \right )}{2}+\frac{1+\cos \left ( \frac{10\pi}{7} \right )}{2}\\ =\frac{3+\cos \left ( \frac{2\pi}{7} \right )+\cos \left ( \frac{6\pi}{7} \right )+\cos \left ( \frac{10\pi}{7} \right )}{2}\\=\frac{3+\frac{2\sin \left ( \frac{2\pi}{7} \right )}{2\sin \left ( \frac{2\pi}{7} \right )}\left [ \cos \left ( \frac{2\pi}{7} \right )+\cos \left ( \frac{6\pi}{7} \right )+\cos \left ( \frac{10\pi}{7} \right ) \right ]}{2}\\ =\frac{3+\frac{2\sin\left ( \frac{2\pi}{7} \right )\cos\left ( \frac{2\pi}{7} \right )+2\sin\left ( \frac{2\pi}{7} \right )\cos\left ( \frac{6\pi}{7} \right )+2\sin\left ( \frac{2\pi}{7} \right )\cos\left ( \frac{10\pi}{7} \right )}{2\sin\left ( \frac{2\pi}{7} \right )}}{2}\\=\frac{3+\frac{\sin \left ( \frac{4\pi}{7} \right )+\sin \left ( \frac{8\pi}{7} \right )-\sin \left ( \frac{4\pi}{7} \right )+\sin \left ( \frac{12\pi}{7} \right )-\sin \left ( \frac{8\pi}{7} \right )}{2\sin \left ( \frac{2\pi}{7} \right )}}{2}\\ =\frac{3+\frac{\sin \left ( 2\pi-\frac{12\pi}{7} \right )}{2\sin \left ( \frac{2\pi}{7} \right )}}{2}\\=\frac{3-\frac{\sin \left ( \frac{2\pi}{7} \right )}{2\sin \left ( \frac{2\pi}{7} \right )}}{2}\\ =\frac{5}{4}\\ =1,25

 

Sekarang kita kerjakan sin² (π/7) + sin² (3π/7) + sin² (5π/7).

\displaystyle \sin^2 \left ( \frac{\pi}{7} \right )+\sin^2 \left ( \frac{3\pi}{7} \right )+\sin^2 \left ( \frac{5\pi}{7} \right )\\ =\frac{1-\cos \left ( \frac{2\pi}{7} \right )}{2}+\frac{1-\cos \left ( \frac{6\pi}{7} \right )}{2}+\frac{1-\cos \left ( \frac{10\pi}{7} \right )}{2}\\ =\frac{3-\left [ \cos \left ( \frac{2\pi}{7} \right )+\cos \left ( \frac{6\pi}{7} \right )+\cos \left ( \frac{10\pi}{7} \right ) \right ]}{2}\\=\frac{3-\left ( -\frac{1}{2} \right )}{2}\\ =\frac{7}{4}\\ =1,75

 

Iklan

Evaluate cos (π/15) cos (2π/15) cos (3π/15) cos (4π/15) cos (5π/15) cos (6π/15) cos (7π/15)

Soal berbentuk radian di atas bisa kita ubah ke bentuk derajat, yaitu:

cos 12° cos 24° cos 36° cos 48° cos 60° cos 72° cos 84°

Dua rumus penting untuk menyelesaikan soal ini adalah rumus sudut ganda dan rasio trigonometri sudut berelasi. Kita manipulasi dengan mengalikan sin 12° / sin 12° ke soal lalu dioperasikan agar bisa menggunakan rumus sudut ganda 2 sin A cos A = sin 2A.

\displaystyle \cos 12^{\circ}\cos 24^{\circ}\cos 36^{\circ}\cos 48^{\circ}\cos 60^{\circ}\cos 72^{\circ}\cos 84^{\circ}\\ =\frac{\sin 12^{\circ}}{\sin 12^{\circ}}\cos 12^{\circ}\cos 24^{\circ}\cos 36^{\circ}\cos 48^{\circ}\cos 60^{\circ}\cos 72^{\circ}\cos 84^{\circ}\\\\ =\frac{\frac{1}{2}\sin 24^{\circ}\cos 24^{\circ}\cos 36^{\circ}\cos 48^{\circ}\cos 72^{\circ}\cos 84^{\circ}\left ( \frac{1}{2} \right )}{\sin 12^{\circ}}\\ =\frac{\frac{1}{4}\sin 48^{\circ}\cos 48^{\circ}\cos 36^{\circ}\cos 72^{\circ}\cos 84^{\circ}\left ( \frac{1}{2} \right )}{\sin 12^{\circ}}\\= \frac{\frac{1}{8}\sin 96^{\circ}\cos 36^{\circ}\cos 72^{\circ}\cos 84^{\circ}\left ( \frac{1}{2} \right )}{\sin 12^{\circ}}

Sampai sini kita gunakan rumus sin x = sin (180 – x) untuk sudut 96° dan masih melibatkan rumus 2 sin A cos A = sin 2A.

\displaystyle =\frac{\frac{1}{8}\sin 84^{\circ}\cos 84^{\circ}\cos 36^{\circ}\cos 72^{\circ}\left ( \frac{1}{2} \right )}{\sin 12^{\circ}}\\ =\frac{\frac{1}{16}\sin 168^{\circ}\cos 36^{\circ}\cos 72^{\circ}\left ( \frac{1}{2} \right )}{\sin 12^{\circ}}

Kembali menggunakan sin x = sin (180 – x) untuk sudut 168° sehingga:

\displaystyle =\frac{\frac{1}{32}\sin 12^{\circ}\cos 36^{\circ}\cos 72^{\circ}}{\sin 12^{\circ}}

kalikan dengan sin 36° / sin 36° dan operasikan diperoleh:

\displaystyle =\frac{\sin 36^{\circ}}{\sin 36^{\circ}}\frac{1}{32}\cos 36^{\circ}\cos 72^{\circ}\\ =\frac{\frac{1}{64}\sin 72^{\circ}\cos 72^{\circ}}{\sin 36^{\circ}}\\ =\frac{\frac{1}{128}\sin 144^{\circ}}{\sin 36^{\circ}}\\

Gunakan lagi rumus sin x = sin (180 – x) untuk sudut 144° diperoleh:

\displaystyle =\frac{1}{128}\frac{\sin 36^{\circ}}{\sin 36^{\circ}}\\ =2^{-7}

Jadi:

\displaystyle \cos 12^{\circ}\cos 24^{\circ}\cos 36^{\circ}\cos 48^{\circ}\cos 60^{\circ}\cos 72^{\circ}\cos 84^{\circ}=2^{-7}

 

Evaluate sin² 12° + sin² 21° + sin² 39° + sin² 48° – sin² 9° – sin² 18°

Pada kesempatan ini saya akan menyelesaiakan soal trigonometri analitik yang membuhkan HOTS (High Order Thinking Skill). Soal tersebut ialah:

sin² 12° + sin² 21° + sin² 39° + sin² 48° – sin² 9° – sin² 18° = …

Untuk menyelesaikan ini, 2 rumus penting yang digunakan adalah rumus jumlah dan selisih pada sinus dan cosinus dan rumus perkalian sinus dan cosinus. Kita harus melibatkan sudut-sudut istimewa dan sudut yang dapat dihitung dengan mudah. Kita kerjakan tiga langkah dan rumus terpenting yang digunakan pada soal ini adalah a² + b² = (a + b)² – 2ab.

  • sin² 12° + sin² 48° = …
\displaystyle \sin^2 12^{\circ}+\sin^2 48^{\circ}=\left (\sin 12^{\circ}+\sin 48^{\circ} \right )^2-2\sin 12^{\circ}\sin 48^{\circ}\\ =\left ( 2\sin 30^{\circ}\cos 18^{\circ} \right )-\left ( \cos 36^{\circ}-\cos 60^{\circ} \right )

Ternyata ada sudut tidak istimewa. Kita sudah tahu bahwa sin 18° = 1/4 (√5 – 1). Kita hitung nilai eksak cos 18° dengan rumus cos A = ±√(1 – sin² A).

\displaystyle \cos 18^{\circ}=\sqrt{1-\sin^2 18^{\circ}}\\ =\sqrt{1-\left ( \frac{\sqrt{5}-1}{4} \right )^2}\\ =\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}

Lalu kita hitung cos 36° dengan rumus cos 2A = 1 – 2 sin² A.

\displaystyle \cos 36^{\circ}=1-2\sin^2 18^{\circ}\\ =1-2\left ( \frac{\sqrt{5}-1}{4} \right )^2\\ =\frac{1+\sqrt{5}}{4} \displaystyle \sin^2 12^{\circ}+\sin^2 48^{\circ}=\left ( \sin^2 12^{\circ}+\sin^2 48^{\circ} \right )-2\sin^2 12^{\circ}\sin^2 48^{\circ}\\ =\left ( 2\sin 30^{\circ}\cos 18^{\circ} \right )-\left ( \cos 36^{\circ}-\cos 60^{\circ} \right )\\ =\left [ 2\left ( \frac{1}{2} \right )\left ( \frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4} \right ) \right ]^2-\left ( \frac{1+\sqrt{5}}{4}-\frac{1}{2} \right )\\ =\frac{7-\sqrt{5}}{8}
  • sin² 21° + sin² 39° = …
\displaystyle \sin^2 21^{\circ}+\sin^2 39^{\circ}=\left ( \sin 21^{\circ}+\sin 39^{\circ} \right )^2-2\sin 21^{\circ}\sin 39^{\circ}\\ =\left ( 2\sin 30^{\circ}\cos 9^{\circ} \right )^2-\left ( \cos 18^{\circ}-\cos 60^{\circ} \right )\\ =\cos^2 9^{\circ}-\left ( \frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}-\frac{1}{2} \right )\\ =\frac{1+\cos 18^{\circ}}{2}-\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}-2}{4}\\=\frac{1+\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}}{2}-\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}-2}{4}\\ =1-\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{8}

Agar mempermudah perhitungan, kita ubah sin² 12° + sin² 21° + sin² 39° + sin² 48° – sin² 9° – sin² 18° menjadi sin² 12° + sin² 21° + sin² 39° + sin² 48° – (sin² 9° + sin² 18°)

  • sin² 9° + sin² 18° = …
\displaystyle \sin^2 9^{\circ}+\sin^2 18^{\circ}\\ =\frac{1-\cos 18^{\circ}}{2}+\frac{1-\cos 36^{\circ}}{2}\\ =\frac{\frac{8}{4}-\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}-\frac{1+\sqrt{5}}{4}}{2}\\ =\frac{7-\sqrt{5}-\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{8}

Jadi:

\displaystyle \sin^2 12^{\circ}+\sin^2 21^{\circ}+\sin^2 39^{\circ}+\sin^2 48^{\circ}-\left ( \sin^2 9^{\circ}+\sin^2 18^{\circ} \right )\\ =\frac{7-\sqrt{5}}{8}+\frac{8-\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{8}-\frac{7-\sqrt{5}-\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{8}\\ =\frac{8}{8}\\ =1

 

Silahkan anda cek dengan menggunakan kalkulator saintifik seperti Casio fx-991 ID PLUS atau wolframalpha!

 

Menurunkan Rumus Garis Bagi Antara Dua Garis Lurus

Perhatikan gambar di bawah ini:

Garis Bagi

Garis ungu membagi sama rata garis biru dan merah. Ini berati jarak antara kedua garis merah dan hijau sama. Berdasarkan gambar secara matematis dituliskan:

\displaystyle d_1=d_2\\ \begin{vmatrix} \frac{a_1x+b_1y+c_1}{\sqrt{a_1^2+b_1^2}} \end{vmatrix} =\begin{vmatrix} \frac{a_2x+b_2y+c_2}{\sqrt{a_2^2+b_2^2}} \end{vmatrix}

Jika kita hilangkan tanda mutlaknya, persamaan menjadi:

\displaystyle \boxed {\frac{a_1x+b_1y+c_1}{\sqrt{a_1^2+b_1^2}}=\pm \frac{a_2x+b_2y+c_2}{\sqrt{a_2^2+b_2^2}}}

Tanda ± menunjukkan ada 2 garis yang dapat dibentuk dan jarak antar garis bagi sama. Pada gambar garis bagi tersebut yang ungu dan hijau.

Menurunkan Rumus Sudut Apit Dua Garis Lurus

Perhatikan gambar berikut:

Sudut Berpotongan

Kita akan menurunkan rumus untuk mencari besar sudut θ. Perhatikan bahwa sudut β merupakan penjumlahan dari sudut α dan θ. Ini berati θ = βα. Beri kedua ruas dengan tan sehingga:

\displaystyle \beta =\alpha +\theta \\ \theta =\beta -\alpha \\ \tan \theta =\tan (\beta -\alpha )\\ \tan \theta =\frac{\tan \beta -\tan \alpha }{1+\tan \beta \tan \alpha }\\ \boxed {\theta =\tan^{-1} \begin{vmatrix} \frac{m_1-m_2}{1+m_1m_2} \end{vmatrix}}

Kita lihat hubungan sudut θ dengan γ. Sudut γ dijumlahkan dengan sudut θ sama dengan 180°. Ini berati θ = 180° – γ. Beri kedua ruas dengan tan sehingga:

tan θ = tan (180° – γ)

tan θ = -tan γ … (*)

Jika kita analisis, berdasarkan gambar sudut γ tidak mungkin >180°. Berdasarkan persamaan (*) dan gambar. 1 tan bernilai negatif jika berada di kuadran II dan IV dan sudut γ besarnya 90° < γ < 180°. Agar anda sekalian paham coba pahami soal berikut:

  1. Carilah sudut apit yang dibentuk oleh garis 2x + y – 12 = 0 dan 3xy – 2 = 0!

Sekarang coba kita jawab tanpa nilai mutlak. Jika kita memisalkannya seperti ini:

2x + y – 12 = 0 → m = -2

3xy – 2 = 0 → m = 3

\displaystyle \theta =\tan^{-1} \left ( \frac{m_1-m_2}{1+m_1m_2} \right )\\ \theta =\tan^{-1} \left ( \frac{-2-3}{1+(-2)(3)} \right )\\ \theta =\tan^{-1}(1)\\ \theta=45^{\circ}

Jika kita memisalkannya seperti ini:

3xy – 2 = 0 → m = 3

2x + y – 12 = 0 → m= -2

\displaystyle \theta =\tan^{-1} \left ( \frac{m_1-m_2}{1+m_1m_2} \right )\\ \theta =\tan^{-1} \left ( \frac{3-(-2)}{1+3(-2)} \right )\\ \theta =\tan^{-1}(-1)\\ \theta=135^{\circ}

Terdapat dua kemungkinan jawaban. Soal tersirat karena sudut apit yang dicari apakah sudut yang lancip atau tumpul. Berdasarkan definisi nilai mutlak:

\displaystyle |x|=\left\{\begin{matrix} x\, \textrm{jika}\, x\geq 0\\ -x\, \textrm{jika}\, x< 0 \end{matrix}\right.

maka rumus yang digunakan harus diberi nilai mutlak agar tidak menimbulkan kerancuan. Kita kerjakan ulang:

Jika kita menggunakan permisalan pertama atau kedua hasilnya akan sama yaitu θ = 45° atau θ = 135° (menggunakan nilai mutlak).

Jelas

Andai soal meminta mencari yang sudut lancip atau tumpul, ambil yang memenuhi dari dua jawaban.