Bukti Aturan Cosinus (Lengkap)

Lanjutan dari postingan sebeliumnya mengenai aturan sinus, saya akan membuktikan aturan cosinus lengkap dengan ke-3 rumusnya. Perhatikan ketiga gambar berikut:

Aturan Cosinus

Ketiga gambar tersebut sebenarnya adalah gambar satu segitiga yang sama tetapi berbeda gambarnya. Pada gambar. 1 kita tinjau ΔBCD. Berdasarkan rumus Pythagoras dan dari keterangan yang ada diperoleh:

\displaystyle a^2=d^2+(c-x)^2\\ a^2=d^2+c^2-2cx+x^2\\ a^2=b^2+c^2-2bc\cos A

Pada gambar. 2 kita tinjau ΔABE. Dengan cara yang sama diperoleh:

\displaystyle c^2=e^2+(a-x)^2\\ c^2=e^2+a^2-2ax+x^2\\ c^2=a^2+b^2-2ab\cos C

Pada gambar. 3 kita tinjau ΔACD. Dengan cara yang sama pula diperoleh:

\displaystyle b^2=f^2+(c-x)^2\\ b^2=f^2+c^2-2cx+x^2\\ b^2=a^2+c^2-2ac\cos B

Akhirnya kita peroleh lengkap ketiga rumus aturan Cosinus, yaitu:

\displaystyle \boxed {a^2=b^2+c^2-2bc\cos A}\\ \boxed {b^2=a^2+c^2-2ac\cos B}\\ \boxed {c^2=a^2+b^2-2ab\cos C}
Iklan

Bukti Aturan Sinus Melalui Luas Segitiga

Kali ini saya akan membuktikan aturan sinus dari luas segitiga yang mana segitiga itu merupakan gabungan kedua segitiga. Perhatikan gambar berikut:

Aturan Sinus

Berdasarkan gambar, luas segitiga ABC diperoleh dari jumlah luas segitiga ADC dan BDC. Luas segitiga ABC juga dapat diperoleh dari jumlah luas segitiga CFB dan FAB. Secara matematis dituliskan:

L ΔABC = L ΔADC + L ΔBDC = L ΔCFB + L ΔFAB

Berdasarkan keterangan pada gambar diperoleh:

\displaystyle L~\Delta ABC=L~\Delta ADC+L~\Delta BDC=L~\Delta CFB+L~\Delta FAB\\ L~\Delta ABC=\frac{1}{2}AD~DC+\frac{1}{2}~DB~DC=\frac{1}{2}CF~FB+\frac{1}{2}AF~FB\\ L~\Delta ABC=\frac{1}{2}DC(AD+DB)=\frac{1}{2}FB(CF+AF)\\ L~\Delta ABC=\frac{1}{2}dc=\frac{1}{2}fb\\ \boxed {L~\Delta ABC=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{1}{2}ac\sin B=\frac{1}{2}ab\sin C}

Apabila ketiga ruas dibagi dengan abc diperolehlah aturan sinus.

\displaystyle \frac{\frac{1}{2}bc\sin A}{abc}=\frac{\frac{1}{2}ac\sin B}{abc}=\frac{\frac{1}{2}ab\sin C}{abc}\\ \boxed {\frac{\sin A}{a}=\frac{\sin B}{b}=\frac{\sin C}{c}}\\ \mathrm{atau~dapat~ditulis}\\ \boxed {\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}}