Menyelesaikan Soal Bentuk Akar Jumlah Akar Kubik

Soal semacam ini bisa kalian temui dalam ajang olimpiade tingkat SMP. Apa yang ada dalam benah kalian menyelesaikan soal semacam ini:

\displaystyle \sqrt[3]{20+14\sqrt{2}}+\sqrt[3]{20-14\sqrt{2}}=...

Mungkin kalian akan mengkubikkan (memangkat tiga kan) dan mengoperasikannya sampai diperoleh jawabannya. Tetapi cara itu terlalu panjang. Cara yang lebih mudah adalah dengan menggunakan rumus jumlah kubik dan memisalkannya seperti ini. Rumus selisih kubik yang digunakan adalah a³ + b³ = (a + b)³ – 3ab(a + b) bukan yang a³ + b³ = (a + b)(a² – ab + b²). Perhatikan penyelesaian soal tersebut dengan saksama! Catatan: Soal ini melibatkan pemfaktoran dengan cara Horner yang diajarkan di SMA / SMK / MA. Dalam pembinaan olimpiade mungkin guru mengajarkan ini.

\displaystyle \sqrt[3]{20+14\sqrt{2}}+\sqrt[3]{20-14\sqrt{2}}=... \displaystyle \textrm {Misal}~a=\sqrt[3]{20+14\sqrt{2}},~b=\sqrt[3]{20-14\sqrt{2}},\textrm {dan}~p=a+b\\ a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b)\\ \left ( \sqrt[3]{20+14\sqrt{2}} \right )^3+\left ( \sqrt[3]{20-14\sqrt{2}} \right )^3=p^3-3p\sqrt[3]{\left ( 20+14\sqrt{2} \right )\left ( 20-14\sqrt{2} \right )}\\ 20+14\sqrt{2}+20-14\sqrt{2}=p^3-3p\sqrt[3]{20^2-\left ( 14\sqrt{2} \right )^2}\\ p^3-6p-40=0\\

Perhatikan gambar! Dengan cara Horner kita faktorkan persamaan kubik p³ – 6p – 40 = 0 sehingga diperoleh (p – 4)(p² + 4p + 10) = 0.

Horner

(p – 4)(p² + 4p + 10) = 0

Karena p² + 4p + 10 = 0 merupakan definit positif, maka nilai p yang memenuhi adalah 4 sehingga:

\displaystyle \sqrt[3]{20+14\sqrt{2}}+\sqrt[3]{20-14\sqrt{2}}=4

 

 

Kita coba dengan cara mengkubikkan soal tersebut. Kita misalkan a = 20 + 14√2 dan b = 20 – 14√2. Mengingat rumus binomial (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³, maka:

\displaystyle x=\sqrt[3]{20+14\sqrt{2}}+\sqrt[3]{20-14\sqrt{2}}\\ x^3=\left ( 20+14\sqrt{2} \right )+3\sqrt[3]{\left ( 20+14\sqrt{2} \right )^2\left ( 20-14\sqrt{2} \right )}+3\sqrt[3]{\left ( 20+14\sqrt{2} \right )\left ( 20-14\sqrt{2} \right )^2}+\left ( 20-14\sqrt{2} \right )\\ x^3=40+3\left [ \sqrt[3]{\left ( 20+14\sqrt{2} \right )\left ( 20+14\sqrt{2} \right )\left ( 20-14\sqrt{2} \right )}+\sqrt[3]{\left ( 20+14\sqrt{2} \right )\left ( 20-14\sqrt{2} \right )\left ( 20-14\sqrt{2} \right )} \right ]\\ x^3=40+3\left [ \sqrt[3]{\left ( 20+14\sqrt{2} \right )(400-392)} +\sqrt[3]{\left ( 20-14\sqrt{2} \right )(400-392)}\right ]\\ x^3=40+3\left [ 2\left ( \sqrt[3]{20+14\sqrt{2}}+\sqrt[3]{20-14\sqrt{2}} \right ) \right ]\\ x^3=40+3(2x)\\ x^3-6x-40=0\\ (x-4)(x^2+4x+10)=0

Karena x² + 4x + 10 = 0 merupakan definit positif, maka nilai x yang memenuhi adalah 4 sehingga:

\displaystyle \sqrt[3]{20+14\sqrt{2}}+\sqrt[3]{20-14\sqrt{2}}=4
Iklan

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout /  Ubah )

Foto Google

You are commenting using your Google account. Logout /  Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout /  Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout /  Ubah )

Connecting to %s

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.