Dua Cara Membuktikan Rumus Heron

Rumus ini digunakan untuk mencari luas segitiga jika diketahui panjang ketiga sisinya. Cara pertama untuk membuktikannya menggunakan rumus Pythagoras dan cara medua menggunakan trigonometri. Materi ini sudah dipelajari sejak SMP. Bagi yang ingin tahu asal rumus itu diperoleh (yang masih SMP), pelajarilah cara pertama karena belum memelajari trigonometri yang diajarkan di kelas X SMA/SMK/MA.

 

  • Cara pertama

Perhatikan gambar segitiga dibawah ini:

Her 1

Tinggi segitiga dirumuskan t² = c² – d² … (*) atau t² = b² – (ad)² … (**). Dari kedua persamaan, kita operasikan untuk memperoleh d kemudian disubstitusi ke persaman (*).

\displaystyle c^2-d^2=b^2-(a-d)^2\\ c^2-d^2=b^2-a^2+2ad-d^2\\ d=\frac{c^2-b^2+a^2}{2a}~...(***)

Substitusi ke persamaan (*) sehingga:

\displaystyle t^2=c^2-\left ( \frac{c^2-b^2+a^2}{2a} \right )^2\\ t^2=\frac{(2a)^2c^2-(c^2-b^2+a^2)^2}{(2a)^2}\\ t^2=\frac{[2ac+(c^2-b^2+a^2)][2ac-(c^2-b^2+a^2)]}{(2a)^2}\\ t^2=\frac{(2ac+c^2-b^2+a^2)(2ac-c^2+b^2-a^2)}{(2a)^2}\\ t^2=\frac{[(a+c)^2-b^2][b^2-(a-c)^2]}{(2a)^2}\\ t^2=\frac{[(a+c)-b][(a+c)+b][b-(a-c)][b+(a-c)]}{(2a)^2}\\t^2=\frac{(a-b+c)(a+b+c)(-a+b+c)(a+b-c)}{(2a)^2}\\ t^2=\frac{(a+b+c)(a+b+c-2a)(a+b+c-2b)(a+b+c-2c)}{(2a)^2}\\ t^2=\frac{2s(2s-2a)(2s-2b)(2s-2c)}{(2a)^2}\\ t^2=\frac{2s~2(s-a)~2(s-b)~2(s-c)}{4a^2}\\ t=\frac{2\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}}{a}
Luas segitiga ABC adalah L ΔABC = 1/2 at. Substitusi t ke persamaan ini menghasilkan:

\displaystyle L~\Delta ABC=\frac{1}{2}a~\frac{2\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}}{a}\\ \boxed {L~\Delta ABC=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}~\textrm{dengan}~s=\frac{a+b+c}{2}}

 

  • Cara kedua

Perhatikan gambar segitiga dibawah ini:

Her 2

Cara ini melibatkan aturan cosinus. Luas segitiga ABC tersebut adalah = 1/2 bc sin A = 1/2 ac sin B = 1/2 ab sin C. Saya menggunakan rumus yang = 1/2 ab sin C. Kuadratkan rumus tersebut lalu operasikan sampai diperoleh:

\displaystyle L^2=\frac{1}{4}a^2b^2\sin^2 C\\ L^2=\frac{1}{4}a^2b^2(1-\cos^2 C)\\ L^2=\frac{1}{4}a^2b^2(1-\cos C)(1+\cos C)\\ L^2=\frac{1}{4}a^2b^2\left ( 1-\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} \right )\left ( 1+\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} \right )\\ L^2=\frac{1}{4}a^2b^2\left ( \frac{2ab+a^2+b^2-c^2}{2ab} \right )\left ( \frac{2ab-a^2-b^2+c^2}{2ab} \right )\\ L^2=\frac{1}{16}[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]\\L^2=\frac{1}{16}[(a+b)-c][(a+b)+c][c-(a-b)][c+(a-b)]\\ L^2=\left ( \frac{a+b-c}{2} \right )\left ( \frac{a+b+c}{2} \right )\left ( \frac{c-a+b}{2} \right )\left ( \frac{c+a-b}{2} \right )\\ L^2=\left ( \frac{a+b+c}{2} \right )\left ( \frac{a+b+c-2a}{2} \right )\left ( \frac{a+b+c-2b}{2} \right )\left ( \frac{a+b+c-2c}{2} \right )\\ L^2=s(s-a)(s-b)(s-c)\\ \boxed {L=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}~\textrm{dengan}~s=\frac{a+b+c}{2}}

 

Silahkan anda coba menggunakan rumus luas segitiga L = 1/2 bc sin A dan L = 1/2 ac sin B untuk membuktikan kebenaran aturan sinus dan cosinus!

Iklan

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout /  Ubah )

Foto Google

You are commenting using your Google account. Logout /  Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout /  Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout /  Ubah )

Connecting to %s

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.