Menurunkan Rumus Tinggi Pantulan ke-n pada Tumbukan Jatuh Bebas

Pada postingan sebelumnya (lihat https://blognyamazpandoe.wordpress.com/2018/09/21/menurunkan-rumus-cepat-kecepatan-kedua-benda-setelah-tumbukan-lenting-sempurna/)! pada persamaan (3) kita ubah menjadi:

\displaystyle v_2'+v_2=v_1+v_1'\\ v_2-v_1=v_1'-v_2'\\ v_2-v_1=-(v_2'-v_1')

Apabila ruas kanan dibagi dengan ruas kiri diperoleh definisi dari koefisien restitusi.

\displaystyle \boxed {e=-\frac{v_2'-v_1}{v_2-v_1}}

 

Mantul

Perhatikan gambar 1! Saat bola berada di dasar permukaan, kecepatan sesaatnya \displaystyle v_2=0 dan sebelum memantul \displaystyle v_2'=0. Tumbukan ini kita anggap jatuh bebas, maka:

\displaystyle e=-\frac{0-\sqrt{2gh_1}}{0-(-\sqrt{2gh_0})}\\ \boxed {e=\sqrt{\frac{h_1}{h_0}}}

Jika kita hihat pola tumbukan pada gambar 2 dan menganalogi gambar 1, dapat disimpulkan:

\displaystyle {e=\sqrt{\frac{h_1}{h_0}}}=\sqrt{\frac{h_2}{h_1}}=\sqrt{\frac{h_3}{h_2}}=...=\sqrt{\frac{h_n}{h_{n-1}}}~...(*)\\ e^2=\frac{h_n}{h_{n-1}}\\ \boxed {h_n=h_{n-1}~e^2}

Dari persamaan (*) kita kuadratkan masing-masing ruas lalu kita rumuskan tinggi pantulan ke 1, 2, 3.

\displaystyle e^2=\frac{h_1}{h_0}=\frac{h_2}{h_1}=\frac{h_3}{h_2}\\ h_1=h_0~e^2\\ h_2=\frac{h_1^2}{h_0}=\frac{h_0^2~e^4}{h_0}=h_0~e^4\\ h_3=\frac{h_2^2}{h_1}=\frac{h_0^2~e^8}{h_0~e^2}=h_0~e^6\\ .\\ .\\ .

Jika kita lihat dari perumusan ini, maka tinggi pantulan ke-n dapat juga ditulis:

\displaystyle \boxed {h_n=h_0~e^{2n}}
Iklan