Pangkat Pecahan dan Bentuk Akar

Akan dibuktikan pangkat pecahan mempunyai hubungan dengan bentuk akar. Hubungan berikut ialah:

\displaystyle a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}=\left ( \sqrt[n]{a} \right )^m

Berdasarkan definisi \displaystyle \sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}:

\displaystyle a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}\\ a^{\frac{m}{n}}=\left ( a^{\frac{1}{n}} \right )^m=\left ( \sqrt[n]{a} \right )^m

Terbukti.

Berdasarkan definisi dapat dibuktikan bahwa \displaystyle \sqrt[n]{a^n}=a

Akan dibuktikan rumus-rumus lain yang 2 rumusnya mirip dengan bentuk pangkat.

  • Bukti \displaystyle \sqrt[n]{a}\, \sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}\: \textrm{dengan}~a,b\geq 0
\displaystyle \sqrt[n]{a}\, \sqrt[n]{b}= a^{\frac{1}{n}}\, b^{\frac{1}{n}} =\left ( ab \right )^{\frac{1}{n}} =\sqrt[n]{ab}\: \textrm{dengan}~a,b\geq 0

Terbukti.

  • Bukti \displaystyle \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[mn]{a}\, \textrm{dengan}~a\geq 0
\displaystyle \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} =\left ( a^{\frac{1}{n}} \right )^{\frac{1}{m}} =a^{\frac{1}{mn}} =\sqrt[mn]{a}\, \textrm{dengan}~a\geq 0

Terbukti.

  • Bukti \displaystyle \sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}\, \textrm{dengan}~b\geq 0
\displaystyle \sqrt[n]{\frac{a}{b}}= \left ( \frac{a}{b} \right )^\frac{1}{n} =\frac{a^\frac{1}{n}}{b^\frac{1}{n}} =\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}\, \textrm{dengan}~b\geq 0

Terbukti.

Iklan

Bukti Rumus-Rumus Bentuk Pangkat, Pangkat Negatif dan Pangkat Nol

  • Bukti \displaystyle a^m~a^n=a^{m+n}

a^m a^n = (a a a … a) (a a a … a)

= a a a … a sebanyak m + n kali

= a^(m + n)

Terbukti.

Keterangan: warna merah menunjukkan a faktor sebanyak m kali dan warna biru menunjukkan a faktor sebanyak n kali.

  • Bukti \displaystyle \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\: \textrm{dengan}~a\neq 0
\displaystyle \frac{a^m}{a^n}=\frac{a~a~a~...~a\rightarrow \textrm{sebanyak~m~kali}}{a~a~a~...~a\rightarrow \textrm{sebanyak~n~kali}}\\ =a~a~a~...~a\rightarrow \textrm{sebanyak~m-n~kali}\\ =a^{m-n}

Terbukti.

  • Bukti \displaystyle \left ( a^m \right )^n=a^{mn}
\displaystyle \left ( a^m \right )^n=a^m~a^m~a^m~...~a^m\rightarrow \textrm{sebanyak~n~kali}\\ =a^{m+m+m+...+m}\rightarrow \textrm{sebanyak~n~kali}\\ =a^{mn}

Terbukti.

  • Bukti \displaystyle a^m~b^m=\left ( ab \right )^m

a^m b^m = (a a a … a) (b b b … b)

= ab ab ab … ab → sebanyak m kali

= (ab)^m

Terbukti.

Keterangan: warna ungu menunjukkan a faktor dan b faktor sebanyak m kali.

  • Bukti \displaystyle \frac{a^m}{b^m}=\left ( \frac{a}{b} \right )^m\; \textrm{dengan}~b\neq 0
\displaystyle \frac{a^m}{b^m}=\frac{a~a~a~...~a\rightarrow \textrm{sebanyak}~m~\textrm{kali}}{b~b~a~...~b\rightarrow \textrm{sebanyak}~m~\textrm{kali}}\\ =\frac{a}{b}\, \frac{a}{b}\, \frac{a}{b}\, ...\, \frac{a}{b}\rightarrow \textrm{sebanyak}~m~\textrm{kali}\\ =\left ( \frac{a}{b} \right )^m

Terbukti.

  • Bukti pangkat nol sama dengan satu

Untuk membuktikan ini kita gunakan rumus  \displaystyle \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\: \textrm{dengan}~a\neq 0. Kita buat a^0 = a^(m – m) sehingga:

\displaystyle \frac{a^m}{a^m}=a^{m-m}\\ 1=a^0\, \textrm{dengan}~a\neq 0

Terbukti.

  • Bukti pangkat negatif \displaystyle a^{-m}=\frac{1}{a^m}\, \textrm{dengan}~a\neq 0

Gunakan rumus  \displaystyle \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\: \textrm{dengan}~a\neq 0 untuk membuktikannya. Kita buat a^(-m) = a^(0 – m) sehingga:

\displaystyle a^{-m}=a^{0-m}=\frac{a^0}{a^m}=\frac{1}{a^m}\, \textrm{dengan}~a\neq 0

Terbukti.

Dari sini kita bisa turunkan rumus a^(m – n) = 1 / [a^(n – m)] dengan a ≠ 0.

\displaystyle a^{m-n}=a^{-(n-m)}=\frac{1}{a^{n-m}}\: \textrm{dengan}~a\neq 0

Menentukan Nilai Eksak dari sin 15°

Perhatikan gambar berikut dan perhatikan langkah-langkahnya dengan saksama!

sin 15

  1. Buat setengah lingkaran dan beri nama garis (diameter) AB.
  2. Dari titik A buat sudut 15° dan tarik sebuah garis ke busur lingkaran sehingga terbentuk garis AC.
  3. Dati titik C tarik sebuah garis secara tegak lurus ke garis AB sehingga terbentuk segitiga siku-siku ACD.
  4. Buat sudut 60° di titik C dan tarik sebuah garis ke pusat setengah lingkaran (titik O) sehingga terbentuk segitiga siku-siku OCD.

Dengan mengunakan perbandingan panjang sisi-sisi segitiga siku-siku dengan sudut-sudut dalamnya yang istimewa diperoleh gambar di atas. Selanjutnya lihat ΔACD! Kita hitung dulu panjang AC sebelum menentukan nilai eksak sin 15°!

\displaystyle AC=\sqrt{AD^2+CD^2}\\ =\sqrt{\left ( 2+\sqrt{3} \right )^2+1^2}\\ =\sqrt{8+4\sqrt{3}}\\ =\sqrt{2}\sqrt{4+2\sqrt{3}}\\ =\sqrt{2}\sqrt{3+1+2\sqrt{3(1)}}\\ =\sqrt{2}\left ( \sqrt{3}+\sqrt{1} \right )\\ =\sqrt{6}+\sqrt{2}

Maka nilai eksak dari sin 15° adalah:

\displaystyle \sin 15^{\circ}=\frac{CD}{AC}\\ =\frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}\\ =\frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}~\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{\sqrt{6}-\sqrt{2}}\\ =\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{6-2}\\ =\frac{1}{4}\left ( \sqrt{6}-\sqrt{2} \right )

 

 

Nilai eksak sin 15° juga dapat diselesaikan dengan rumus rasio trgonometri selisih sudut atau dengan rumus sudut paruh.

\displaystyle \sin (A-B)=\sin A\cos B-\cos A\sin B\\ \sin 15^{\circ}=\sin \left ( 60^{\circ}-45^{\circ} \right )\\ =\sin 60^{\circ}\cos 45^{\circ}-\cos 60^{\circ}\sin 45^{\circ}\\ =\frac{1}{2}\sqrt{3}\left ( \frac{1}{2}\sqrt{2} \right )-\frac{1}{2}\left ( \frac{1}{2}\sqrt{2} \right )\\ =\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}

 

\displaystyle \sin \left ( \frac{A}{2} \right )=\pm \sqrt{\frac{1-\cos A}{2}}\\ \textrm{karena di kuadran I, sin bernilai positif}\\ \sin 15^{\circ}=\sqrt{\frac{1-\cos 30^{\circ}}{2}}\\ =\sqrt{\frac{1-\frac{\sqrt{3}}{2}}{2}}\\ =\frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}\\ =\frac{\sqrt{2}\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2\sqrt{2}}\\=\frac{\sqrt{2}\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2\sqrt{2}}\\ =\frac{\sqrt{4-2\sqrt{3}}}{2\sqrt{2}}\, \frac{2\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}\\ =\frac{\left ( 2\sqrt{2} \right )\sqrt{3+1-2\sqrt{3(1)}}}{8}\\ =\frac{2\sqrt{2}\left ( \sqrt{3}-\sqrt{1} \right )}{8}\\ =\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}

Menarik Akar dalam Akar Suku Dua (Pembuktian Rumus)

Kali ini saya akan membuktikan keempat rumus dibawah ini dengan cara mengkuadratkan ruas kanan, mengoperasikannya kemudian diakarkan.

\displaystyle \textrm{Jika}~a\geq 0,b\geq 0~\textrm{dan}~c\geq 0,\textrm{maka}:\\ \sqrt{a+b+2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}\\ \sqrt{a+b-2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}-\sqrt{b}~\textrm{dengan}~a> b\\ \sqrt{a+b\sqrt{c}}=\sqrt{\frac{a+n}{2}}+\sqrt{\frac{a-n}{2}}~\textrm{dengan}~n=\sqrt{a^2-\left ( b\sqrt{c} \right )^2}\\ \sqrt{a-b\sqrt{c}}=\sqrt{\frac{a+n}{2}}-\sqrt{\frac{a-n}{2}}~\textrm{dengan}~n=\sqrt{a^2-\left ( b\sqrt{c} \right )^2}

 

  • Bukti √(a + b + 2√ab) = √a + √b
\displaystyle \textrm{misal}~p=\sqrt{a}+\sqrt{b}\\ p^2=a+2\sqrt{ab}+b\\ p=\sqrt{a+b+2\sqrt{ab}}\\ \textrm{dapat~disimpulkan}\\ \boxed{\sqrt{a+b+2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}}

Terbukti.

  • Bukti √(a + b – 2√ab) = √a – √b dengan a > b
\displaystyle \textrm{misal}~p=\sqrt{a}-\sqrt{b}\\ p^2=a-2\sqrt{ab}+b\\ p=\sqrt{a+b-2\sqrt{ab}}\\ \textrm{dapat~disimpulkan}\\ \boxed{\sqrt{a+b-2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}-\sqrt{b}~\textrm{dengan}~a>b}

Terbukti.

  • Bukti √(a + b√c) = √[(a + n) / 2] + √[(a – n) / 2] dengan n = √[a² – (b√c)²]
\displaystyle \textrm{misal}~p=\sqrt{\frac{a+n}{2}}+\sqrt{\frac{a-n}{2}}\\ p^2=\frac{a+n}{2}+2\sqrt{\frac{(a+n)(a-n)}{4}}+\frac{a-n}{2}\\ p^2=a+\sqrt{a^2-n^2}\\ p^2=a+\sqrt{a^2-a^2+\left ( b\sqrt{c} \right )^2}\\ p=\sqrt{a+b\sqrt{c}}\\ \textrm{dapat~dispmpulkan}\\ \boxed{\sqrt{a+b\sqrt{c}}=\sqrt{\frac{a+n}{2}}+\sqrt{\frac{a-n}{2}}~\textrm{dengan}~n=\sqrt{a^2-\left ( b\sqrt{c} \right )^2}}

Terbukti.

  • Bukti √(a – b√c) = √[(a + n) / 2] – √[(a – n) / 2] dengan n = √[a² – (b√c)²]
\displaystyle \textrm{misal}~p=\sqrt{\frac{a+n}{2}}-\sqrt{\frac{a-n}{2}}\\ p^2=\frac{a+n}{2}-2\sqrt{\frac{(a+n)(a-n)}{4}}+\frac{a-n}{2}\\ p^2=a-\sqrt{a^2-n^2}\\ p^2=a-\sqrt{a^2-a^2+\left ( b\sqrt{c} \right )^2}\\ p=\sqrt{a-b\sqrt{c}}\\ \textrm{dapat~dispmpulkan}\\ \boxed{\sqrt{a-b\sqrt{c}}=\sqrt{\frac{a+n}{2}}-\sqrt{\frac{a-n}{2}}~\textrm{dengan}~n=\sqrt{a^2-\left ( b\sqrt{c} \right )^2}}

Terbukti.

Bukti Aturan Cosinus (Lengkap)

Lanjutan dari postingan sebeliumnya mengenai aturan sinus, saya akan membuktikan aturan cosinus lengkap dengan ke-3 rumusnya. Perhatikan ketiga gambar berikut:

Aturan Cosinus

Ketiga gambar tersebut sebenarnya adalah gambar satu segitiga yang sama tetapi berbeda gambarnya. Pada gambar. 1 kita tinjau ΔBCD. Berdasarkan rumus Pythagoras dan dari keterangan yang ada diperoleh:

\displaystyle a^2=d^2+(c-x)^2\\ a^2=d^2+c^2-2cx+x^2\\ a^2=b^2+c^2-2bc\cos A

Pada gambar. 2 kita tinjau ΔABE. Dengan cara yang sama diperoleh:

\displaystyle c^2=e^2+(a-x)^2\\ c^2=e^2+a^2-2ax+x^2\\ c^2=a^2+b^2-2ab\cos C

Pada gambar. 3 kita tinjau ΔACD. Dengan cara yang sama pula diperoleh:

\displaystyle b^2=f^2+(c-x)^2\\ b^2=f^2+c^2-2cx+x^2\\ b^2=a^2+c^2-2ac\cos B

Akhirnya kita peroleh lengkap ketiga rumus aturan Cosinus, yaitu:

\displaystyle \boxed {a^2=b^2+c^2-2bc\cos A}\\ \boxed {b^2=a^2+c^2-2ac\cos B}\\ \boxed {c^2=a^2+b^2-2ab\cos C}