Menurunkan Rumus Cepat Kecepatan Kedua Benda Setelah Tumbukan Lenting Sempurna

Rumus ini untuk menyelesaikan soal mengenai tumbukan lenting sempurna yang diketahui massa kedua benda dan kecepatan kedua benda. Untuk menyelesaiannya seringkali kita melibatkan persamaan linear dua veriabel yang diperoleh dari rumus hukum kekekalan momentum dan rumus koefisien restitusi. Ada cara yang lebih cepat untuk menyelesaikannya! Dari rumus hukum kekekalan momentum kita ubah menjadi seperti berikut:

\displaystyle m_1v_1+m_2v_2=m_1v_1'+m_2v_2'\\ m_1v_1-m_1v_1'=m_2v_2'-m_2v_2\\ m_1(v_1-v_1')=m_2(v_2'-v_2)~...~(1)

Pada tumbukan lenting sempurna berlaku hukum kekekalan energi mekanik. Dari rumus hukum kekekalan energi mekanik kita ubah menjadi:

\displaystyle \frac{1}{2}m_1v_1^2+\frac{1}{2}m_2v_2^2=\frac{1}{2}m_1(v_1')^2+\frac{1}{2}m_2(v_2')^2\\ m_1[v_1^2-(v_1')^2]=m_2[(v_2')^2-v_2^2]\\ m_1(v_1-v_1')(v_1+v_1')=m_2(v_2'+v_2)(v_2'-v_2)~...~(2)

Substitusi persamaan (1) ke persamaan (2) menghasilkan:

\displaystyle m_2(v_2'-v_2)(v_1+v_1')=m_2(v_2'-v_2)(v_2'+v_2)\\ v_2'+v_2=v_1+v_1'~...~(3)

Dari persamaan (3) dapat diperoleh kedua persamaan kecepatan benda setelah tumbukan:

\displaystyle v_1'=v_2+v_2'-v_1~...~(4)\\ v_2'=v_1+v_1'-v_2~...~(5)

Persamaan diatas belum selesai karena tidak melibatkan variabel massa kedua benda. Maka dari itu substitusi persamaan (4) ke persamaan (2) sehingga diperoleh:

\displaystyle m_1(v_1-v_2-v_2'+v_1)(v_1+v_2+v_2'-v_1)=m_2(v_2'+v_2)(v_2'-v_2)\\ m_2(v_2'+v_2)(v_2'-v_2)=m_1(2v_1-v_2'-v_2)(v_2'+v_2)\\ m_2v_2'-m_2v_2=2m_1v_1-m_1v_2'-m_1v_2\\ m_2v_2'+m_1v_2'=m_2v_2-m_1v_2+2m_1v_1\\ v_2'(m_1+m_2)=2m_1v_1+m_2v_2-m_1v_2\\ \boxed {v_2'=\frac{2m_1}{m_1+m_2}v_1+\frac{m_2-m_1}{m_1+m_2}v_2}

Substitusi juga persamaan (5) ke persamaan (2) sehingga diperoleh:

\displaystyle m_1(v_1-v_1')(v_1+v_1')=m_2(v_1+v_1'-v_2+v_2)(v_1+v_1'-v_2-v_2)\\ m_2(v_1+v_1'-2v_2)=m_1(v_1-v_1')\\ m_2v_1+m_2v_1'-2m_2v_2=m_1v_1-m_1v_1'\\ m_2v_1'+m_1v_1'=m_1v_1-m_2v_1+2m_2v_2\\ v_1'(m_1+m_2)=m_1v_1-m_2v_1+2m_2v_2\\ \boxed {v_1'=\frac{2m_2}{m_1+m_2}v_2+\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}v_1}
Iklan

Penurunan Persamaan Garis Singgung Lingkaran yang Melewati Titik (x₁, y₁) di Luar Lingkaran

Kita akan menurunkan rumus cepat untuk kasus ini. Kita gunakan rumus y – y₁ = m(x – x₁) untuk menyelesaikannya dengan m merupakan sebuah rumus. Ingat, RUMUS INI HANYA BISA DIGUNAKAN UNTUK IRISAN KERUCUT LINGKARAN.

  • Rumus persamaan garis singgung lingkaran x² + y² = r² yang melewati titik (x₁, y₁) di luar lingkaran.

Garis  y = mx ± r √(1 + m²) melewati titik (x₁, y₁) di luar lingkaran. Ini berati rumus tersebut menjadi y₁ = mx₁ ± r √(1 + m²). Kuadratkan kedua ruas dan ubah ke bentuk persamaan kuadrat!

y₁ – mx₁ = ± r √(1 + m²)

y₁² – 2x₁y₁m + x₁²m² = r² (1 + m²)

y₁² – 2x₁y₁m + x₁²m² – r² – rm² = 0

(x₁² – r²)m² + (-2x₁y₁)m + (y₁² – r²) = 0

Dengan menggunakan rumus mencari akar-akar persamaan kuadrat diperoleh:

\displaystyle m=\frac{-(-2x_1y_1)\pm \sqrt{(-2x_1y_1)^2-4(x_1^2-r^2)(y_1^2-r^2)}}{2(x_1^2-r^2)}\\ m=\frac{x_1y_1\pm \sqrt{x_1^2y_1^2-x_1^2y_1^2+x_1r^2+y_1r^2-r^4}}{x_1^2-r^2}\\ m=\frac{x_1y_1\pm \sqrt{r^2(x_1^2+y_1^2-r^2)}}{x_1^2-r^2}\\

Jadi, persamaan garis singgung lingkaran x² + y² = r² yang melewati titik (x₁, y₁) di luar lingkaran adalah

\displaystyle \boxed {y-y_1=m(x-x_1)~\textrm{dengan}~m=\frac{x_1y_1\pm r\sqrt{x_1^2+y_1^2-r^2}}{x_1^2-r^2}}

 

 

  • Rumus persamaan garis singgung lingkaran (x – a)² + (y – b)² = r² yang melewati titik (x₁, y₁) di luar lingkaran.

Garis  y – b = m(x – a) ± r √(1 + m²) melewati titik (x₁, y₁) di luar lingkaran. Ini berati rumus tersebut menjadi y₁ – b = m(x₁ – a) ± r √(1 + m²). Kuadratkan kedua ruas dan ubah ke bentuk persamaan kuadrat!

(y₁ – b) – m(x₁ – a) = ± r √(1 + m²)

(y₁ – b)² – 2(y₁ – b)(x₁ – a)m + m²(x₁ – a)² = r² (1 + m²)

(y₁ – b)² – 2(y₁ – b)(x₁ – a)m + m²(x₁ – a)² – r² – rm² = 0

[(x₁ – a)² – r²]m – [2(y₁ – b)(x₁ – a)]m + [(y₁ – b)² – r²] = 0

Dengan menggunakan rumus mencari akar-akar persamaan kuadrat diperoleh:

\displaystyle m=\frac{-[-2(y_1-b)(x_1-a)]\pm \sqrt{[-2(y_1-b)(x_1-a)]^2-4[(x_1-a)^2-r^2][(y_1-b)^2-r^2]}}{2[(x_1-a)^2-r^2]}\\ m=\frac{(y_1-b)(x_1-a)\pm \sqrt{(y_1-b)^2(x_1-a)^2-(x_1-a)^2(y_1-b)^2+(x_1-a)^2r^2+(y_1-b)^2r^2-r^4}}{(x_1-a)^2-r^2}\\ m=\frac{(x_1-a)(y_1-b)\pm \sqrt{r^2[(x_1-a)^2+(y_1-b)^2-r^2]}}{(x_1-a)^2-r^2}\\ m=\frac{(x_1-a)(y_1-b)\pm r\sqrt{(x_1-a)^2+(y_1-b)^2-r^2}}{(x_1-a)^2-r^2}

Jadi, persamaan garis singgung lingkaran x² + y² = r² yang melewati titik (x₁, y₁) di luar lingkaran adalah:

\boxed {\displaystyle y-y_1=m(x-x_1)~\textrm{dengan}~m=\frac{(x_1-a)(y_1-b)\pm r\sqrt{(x_1-a)^2+(y_1-b)^2-r^2}}{(x_1-a)^2-r^2}}

 

Untuk persamaan umum lingkaran, persamaannya menjadi:

\boxed {\displaystyle y-y_1=m(x-x_1)~\textrm{dengan}~m=\frac{\left ( x_1+\frac{A}{2} \right )\left ( y_1+\frac{B}{2} \right )\pm r\sqrt{\left ( x_1+\frac{A}{2} \right )^2+\left ( y_1+\frac{B}{2} \right )^2-r^2}}{\left ( x_1+\frac{A}{2} \right )^2-r^2}}

Pembuktian Persamaan Garis Singgung Lingkaran yang Bergradien m

Untuk membuktikan ini menggunakan metode diskriminan.

  • Bukti bahwa persamaan garis singgung lingkaran x² + y² = r² yang bergradien m adalah y = mx ± r √(1 + m²)

Misal persamaan garis singgungnya y = mx + n … (*). Substitusi (*) ke persamaan lingkaran dan ubah menjadi bentuk persamaan kuadrat!

x² + (mx + n)² = r²

x² + m²x² + 2mnx + n² – r² = 0

(1 + m²)x² + (2mn)x + (n² – r²) = 0

Syarat menyinggung, D = 0

(2mn)² – 4(1 + m²)(n² – r²) = 0

4m²n² – 4(n² – r² + m²n² – m²r²) = 0

m²n² – n² + r² – m²n² + m²r² = 0

n² = r² (1 + m²)

n = r √(1 + m²) … (**)

Substitusi (**) ke (*) sehingga diperoleh:

\boxed {\displaystyle y=mx\pm r\sqrt{1+m^2}}

 

  • Bukti bahwa persamaan garis singgung lingkaran (x – a)² + (y – b)² = r² yang bergradien m adalah y – b = m(x – a) ± r √(1 + m²)

Cara yang digunakan masih sama tetapi penyelesaiannya menjadi sangat panjang. Misal persamaan garis singgungnya y = mx + n … (*). Substitusi (*) ke persamaan lingkaran dan ubah menjadi bentuk persamaan kuadrat.

(x – a)² + (mx + n – b)² = r²

x² – 2xa + a² + (m²x² + n² + b² + 2mnx – 2nb – 2mbx) – r² = 0

(1 + m²)x² + (2mn – 2mb – 2a)x + (a² + b² + n² – r² – 2nb) = 0

Syarat menyinggung, D = 0

(2mn – 2mb – 2a)² – 4(1 + m²)(a² + b² + n² – r² – 2nb) = 0

4m²n² + 4m²b² + 4a² – 8m²nb + 8mba – 8mna – 4(a² + b² + n² – r² – 2nb + m²a² + m²b² + m²n² – m²r² – 2m²bn) = 0

4m²n² + 4m²b² + 4a²8m²nb + 8mba – 8mna – 4a² – 4b² – 4n² + 4r² + 8nb – 4m²a² – 4m²b²4m²n² + 4m²r² + 8m²bn = 0

2mba – 2mna – b² – n² + 2nb – m²a² = -r² – m²r²

-2mba + 2mna + b² + n² – 2nb + m²a² = r² (1 + m²)

(b – am – n)² = r² (1 + m²)

n = b – am ± r √(1 + m²) … (**)

Substitusi (**) ke (*) sehingga diperoleh:

y = mx – ma + b ± r √(1 + m²)

\boxed {\displaystyle y-b=m(x-a)\pm r\sqrt{1+m^2}}

 

Untuk persamaan umum lingkaran, persamaan garis singgungnya menjadi:

\displaystyle \boxed {y+\frac{B}{2}=m\left ( x+\frac{A}{2} \right )\pm r\sqrt{1+m^2}}

Persamaan Umum Lingkaran dan Uraiannya

Telah diketahui bahwa persamaan lingkaran dalam bentuk standar adalah (x – a)² + (y – b)² = r² dengan (a, b) adalah koordinat pusat lingkaran. Kita jabarkan dan diubah sedemikian rupa untuk membentuk persamaan umum lingkaran.

x² – 2xa + a² + y² – 2yb + b² – r² = 0

x² + y² + Ax + By + C = 0 ← persamaan umum lingkaran

dengan A = -2a, B = -2b dan C = a² + b² – r²

Ini berati koordinat pusat lingkarannya adalah (-A/2, -B/2). Sekarang kita turunkan rumus untuk mencari panjang jari-jari nya agar tidak perlu mengubah ke bentuk standar apabila ada soal menentukan radius lingkaran dengan data berupa persamaan umum lingkaran. Dari C = a² + b² – r² diperoleh:

\displaystyle r^2=a^2+b^2-C\\ r=\sqrt{\left ( -\frac{A}{2} \right )^2+\left ( -\frac{B}{2} \right )^2-C}\\ r=\sqrt{\frac{1}{4}(A+B)-C}\\ r=\sqrt{\frac{A+B-4C}{4}}\\ \boxed {r=\frac{\sqrt{A+B-4C}}{2}}