Bukti Perkalian Dua Gradien Garis yang Saling Tegak Lurus Sama Dengan -1

Saya berinisiatif membuktikan rumus m₁ m₂ = -1 karena dalam buku pelajaran bahkan guru hampir tidak membuktikannya. Rumus ini instan diberikan saat memelajari bab garis lurus di kelas VIII SMP. Saya buktikan melalui rumus Pythagoras dan jarak antar dua titik. Perhatikan gambar!

Tidak Sempurna

a² + b² = c²

(x₂ – 0)² + (y₂ – 0)² + (x₁ – 0)² + (y₁ – 0)² = (x₁ – x₂)² + (y₁ – y₂)²

x² + x² + y² + y² = x² + 2x₁x₂ + x² + y² + 2y₁y₂ + y²

xx₂ + y₁y₂ = 0

y₂/x₂ = -x₁/y₁

 

m₁m₂ = y₁/x₁ y₂/x₂

m₁m₂ = y₁/x₁ (-x₁/y₁)

m₁m₂ = -1

Iklan

Pembuktian Teorema Pythagoras Menggunakan Luas Trapesium dan Segitiga Siku-Siku

Sebenarnya banyak cara untuk membuktikan rumus yang populer ini. Rumus ini sudah kita terima (diajarkan) sejak SD. Perhatikan gambar!

26907552_402512923504621_5143505103176357455_n
Sebelumnya kita tunjukkan dulu ΔBCE adalah segitiga siku-siku.
∠AEB + ∠BEC + DEC = 180°
90° – θ + ∠BEC + θ = 180°
∠BEC = 90°
ΔBCE merupakan segitiga siku-siku.

L ABCD = L ΔABE + L ΔCDE + L ΔBCE
(a + b)(a + b) / 2 = ba / 2 + ab / 2 + cc / 2
a² + 2ab + b² = 2ab + c²
a² + 2ab + b² – 2ab = c²
a² + b² = c²

Aplikasi Selisih Kubik pada Soal Identitas Trigonometri

Rumus selisih kubik adalah a³ – b³ = (a – b)(a² + ab + b²). Sebelumnya saya akan buktikan bagaimana rumus ini diperoleh. Dari ekspansi binomial pangkat tiga (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³, maka:

a³ + b³ = (a + b)³ – 3a²b – 3ab²

a³ + b³ = (a + b)³ – 3ab (a + b)

a³ + b³ = (a + b)[(a + b)² – 3ab]

a³ + b³ = (a + b)(a² + 2ab + b² – 3ab)

a³ + b³ = (a + b)(a² – ab + b²) ← Rumus jumlah kubik.

Kita hanya mengganti b dengan -b untuk menurunkannya. Diperoleh:

a³ – b³ = [a + (-b)] [a² – a(-b) + (-b)²]

a³ – b³ = (a – b)(a² + ab + b²)

 

1.  Buktikan bahwa \displaystyle \frac{\tan \theta }{1-\cot \theta}+\frac{\cot \theta}{1-\tan \theta}=\csc \theta ~\sec \theta +1=\tan \theta+\cot \theta+1=\tan \theta~(\cot^2 \theta+\cot \theta+1)

Jawab:

Perhatikan penggunaannya pada baris ke 7 !

\displaystyle \frac{\tan \theta }{1-\cot \theta}+\frac{\cot \theta}{1-\tan \theta}\\ =\frac{\frac{\sin \theta}{\cos \theta}}{1-\frac{\cos \theta}{\sin \theta}}+\frac{\frac{\cos \theta}{\sin \theta}}{1-\frac{\sin \theta}{\cos \theta}}\\ =\frac{\frac{\sin \theta}{\cos \theta}}{\frac{\sin \theta-\cos \theta}{\sin \theta}}+\frac{\frac{\cos \theta}{\sin \theta}}{\frac{\cos \theta-\sin \theta}{\cos \theta}}\\ =\frac{\sin^2 \theta }{\cos \theta~(\sin \theta-\cos \theta)}-\frac{\cos^2 \theta }{\sin \theta~(\sin \theta-\cos \theta)}\\ =\frac{1}{\sin \theta-\cos \theta}\left ( \frac{\sin^2 \theta }{\cos \theta }-\frac{\cos^2 \theta }{\sin \theta } \right )\\ =\frac{1}{\sin \theta-\cos \theta}~\frac{\sin^3 \theta -\cos^3 \theta }{\cos \theta ~\sin \theta }\\=\frac{1}{\sin \theta-\cos \theta}~\frac{(\sin \theta -\cos \theta)(\sin^2 \theta +\sin \theta~ \cos \theta+\cos^2 \theta ) }{\cos \theta ~\sin \theta }\\ =\frac{1+\sin \theta ~\cos \theta }{\cos \theta ~\sin \theta}\\ =\csc \theta ~\sec \theta +1

Dari baris ke 7 kita bisa ubah ke bentuk (a + b + c)/d ke a/d + b/d + c/d, diperoleh:

\displaystyle \frac{\sin^2 \theta +\sin \theta ~\cos \theta +\cos^2 \theta }{\cos \theta ~\sin \theta }\\ =\frac{\sin^2 \theta }{\cos \theta ~\sin \theta}+\frac{\sin \theta ~\cos \theta }{\cos \theta ~\sin \theta}+\frac{\cos^2 \theta }{\cos \theta ~\sin \theta}\\ =\tan \theta +\cot \theta +1

Dari baris ke 8 kita ubah bentuk (a + b)/b = a/b + 1 dan menggunakan manipulasi, diperoleh:

\displaystyle \frac{1+\sin \theta ~\cos \theta }{\sin \theta ~\cos \theta}\\ =\frac{1}{\sin \theta ~\cos \theta}+1\\ =\frac{\sin \theta }{\cos \theta }\left ( \frac{1}{\sin^2 \theta }+\frac{\cos \theta }{\sin \theta } \right )\\ =\tan \theta~ (\csc^2 \theta +\cot \theta )\\ =\tan \theta~ (\cot^2 \theta +\cot \theta +1)

 

2. Buktikan bahwa \displaystyle \sec^6 x-\tan^6 x=1+3\tan^2 x \sec^2 x

Jawab:

Soal ini bentuknya selisih pangkat enam. Kita gunakan rumus (a^p)^q = a^(p + q). Jadi: a^6 – b^6 = (a² – b²)(a^4 + a²b² + b^4)

\displaystyle \sec^6 x-\tan^6 x\\ =(\sec^2 x-\tan^2 x)(\sec^4 x+\sec^2 x~\tan^2 x+\tan^4 x)\\ =1\left ( \frac{1}{\cos^4 x}+\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x~\cos^2 x}+\frac{\sin^4 x}{\cos^4 x} \right )\\ =\frac{\sin^2 x+\cos^2 x+\sin^2 x+\sin^4 x}{\cos^4 x}\\ =\frac{2\sin^2 x+\cos^2 x+\sin^2 x~(\sin^2 x)}{\cos^4 x}\\ =\frac{2\sin^2 x+\cos^2 x+\sin^2 x~(1-\cos^2 x)}{\cos^4 x}\\ =\frac{3\sin^2 x+\cos^2 x~(1-\sin^2 x)}{\cos^4 x}\\=\frac{3\sin^2 x+\cos^4 x}{\cos^4 x}\\ =3~\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x~\cos^2 x}+1\\ =1+3\tan^2 x~\sec^2 x

Bukti Identitas Pythagoras (Trigonometri)

Identitas ini adalah identitas yang fundamental untuk mengerjakan soal-soal identitas lainnya. Rumus ini diperoleh dari substitusi definisi perbandingan trigonometri ke rumus Pythagoras. Pertama kita akan buktikan bahwa: sin² θ + cos² θ = 1. Perhatikan gambar dibawah ini!

Dasar Trig

\displaystyle r^2=x^2+y^2\\ r^2=r^2\cos^2 \theta + r^2\sin^2 \theta \\ \boxed {\sin^2 \theta + \cos^2 \theta=1}

 

Kedua kita akan menurunkan rumus lain dari rumus pertama. Apabila ruas kiri dan kanan dibagi dengan sin² θ, diperoleh:

\displaystyle \frac{\sin^2 \theta + \cos^2 \theta}{\sin^2 \theta}=\frac{1}{\sin^2 \theta}\\ 1+\cot^2 \theta=\csc^2 \theta\\ \boxed {\csc^2 \theta - \cot^2 \theta = 1}

 

Ketiga kita bagi ruas kiri dan kanan pada rumus pertama dengan cos² θ, diperoleh:

\displaystyle \frac{\sin^2 \theta + \cos^2 \theta}{\cos^2 \theta}=\frac{1}{\cos^2 \theta}\\ \tan^2 \theta+1=\sec^2 \theta\\ \boxed {\sec^2 \theta - \tan^2 \theta = 1}

Penggunaan Manipulasi pada Pembuktian Soal Identitas Trigonometri

Kali ini saya akan menyelesaikan soal identitas trigonometri yang kelihatannya mudah, tapi sulit bagi beberapa orang saat mengerjakannya. Mengapa? karena pada bagian itu beberapa mentok tidak tahu harus menggunakan rumus / cara apa. Perhatikan soal berikut!

1. Buktikan bahwa (csc A – sin A)(sec A – cos A) = 1 / (tan A + cot A)

Pada baris ke-5 pengerjaan pasti banyak yang bingung harus dibagaimanakan. misal x = sin A cos A, kita manipulasi x menjadi 1 / 1/x dan 1 = sin² A + cos² A

Jawab:

\displaystyle (\csc A-\sin A)(\sec A-\cos A)\\ =\left ( \frac{1}{\sin A}-\sin A \right )\left ( \frac{1}{\cos A}-\cos A \right )\\ =\frac{1-\sin^2 A}{\sin A}~\frac{1-\cos^2 A}{\cos A}\\ =\frac{\cos^2 A~\sin^2 A}{\sin A \cos A}\\ =\sin A~\cos A\\ =\frac{1}{\frac{\sin^2 A+\cos^2 A}{\sin A~\cos A}}\\ =\frac{1}{\tan A+\cot A}

 

2. Buktikan bahwa (tan x – 1)(tan x + cot x) / (tan x – cot x) = sec² x / (1 + tan x)

Jawab:

Pada baris ke 6 kita manipulasi 1 / cos x menjadi cos x / cos² x

\displaystyle \frac{(\tan x-1)(\tan x+\cot x)}{\tan x-\cot x}\\ =\frac{\left ( \frac{\sin x}{\cos x}-1 \right )\left ( \frac{\sin x}{\cos x}+\frac{\cos x}{\sin x} \right )}{\frac{\sin x}{\cos x}-\frac{\cos x}{\sin x}}\\ =\frac{\frac{\sin x-\cos x}{\cos x}~\frac{\sin^2 x+\cos^2 x}{\sin x~\cos x}}{\frac{\sin^2 x-\cos^2 x}{\sin x \cos x}}\\ =\frac{\sin x-\cos x}{\cos x}~\frac{\sin^2 x+\cos^2 x}{\sin x~\cos x}~\frac{\sin x~\cos x}{(\sin x+\cos x)(\sin x-\cos x)}\\ =\frac{\sin^2 x+\cos^2 x}{\cos x~(\sin x+\cos x)}\\ =\frac{\frac{\sin^2 x+\cos^2 x}{\cos^2 x}}{\frac{\sin x+\cos x}{\cos x}}\\=\frac{\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}+1}{\frac{\sin x}{\cos x}+1}\\ =\frac{1+\tan^2 x}{1+\tan x}\\ =\frac{\sec^2 x}{1+\tan x}