Soal Identitas Trigonometri Tersulit di Dunia Beserta Penyelesaiannya

Mungkin layak soal ini mendapatkan ‘gelar’ tersebut. Soal ini saya peroleh dari Yahoo Answers Amerika Serikat setahun yang lalu dari seorang dosen matematika. Sayangnya saya lupa tautan (link) nya. Saya bilang luar biasa sang pembuat soal ini! Soal tersebut adalah (saya modifikasi terjemahannya dalam bahasa Indonesia) karena saya lupa bunyinya, Buktikan bahwa:

\displaystyle \frac{4\cos^4 x-4\sin x\cos^3 x-2\sin^2 x\tan x-\tan^2 x-2\cos 2x}{\sec^2x+\cos 2x}=\cos 2x-\sin 2x

 

Jawab:

\displaystyle \frac{4\cos^4 x-4\sin x\cos^3 x-2\sin^2 x\tan x-\tan^2 x-2\cos 2x}{\sec^2x+\cos 2x}\\= \frac{2\cos^2 x}{2\cos^2 x}~\frac{4\cos^4 x-4\sin x\cos^3 x-2\sin^2 x\frac{\sin x}{\cos x}-\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}-2\cos 2x}{\frac{1}{\cos^2 x}+\cos 2x}\\ =\frac{8\cos^6 x-8\sin x\cos^5 x-4\sin^3 x\cos x-2\sin^2 x-4\cos 2x\cos^2 x}{2+2\cos^2 x\cos 2x}\\ =\frac{(2\cos^2 x)^3-(2\sin x\cos x)(2\cos^2 x)^2-(2\sin x\cos x)(2\sin^2 x)-2\sin^2 x-(2\cos 2x)(2\cos^2 x)}{2+(\cos 2x)(2\cos^2 x)}\\ =\frac{(1+\cos 2x)^3-(\sin 2x)(1+\cos 2x)^2-(\sin 2x)(1-\cos 2x)-(1-\cos 2x)-(2\cos 2x)(1+\cos 2x)}{2+\cos 2x(1+\cos 2x)}\\=\frac{(1+3\cos 2x+3\cos^2 x+\cos^3 2x)-(\sin 2x)(1+2\cos 2x+\cos^2 x)-(\sin 2x)(1-\cos 2x)-(1-\cos 2x)-(2\cos 2x)(1+\cos 2x)}{2+\cos 2x+\cos^2 x}\\ =\frac{1+3\cos 2x+3\cos^2 x+\cos^3 2x-\sin 2x-2\sin 2x\cos 2x-\sin 2x\cos^2 x-\sin 2x+\sin 2x\cos 2x-1+\cos 2x-2\cos 2x-2\cos^2 2x}{2+\cos 2x+\cos^2 x}\\ =\frac{2\cos 2x+\cos^2 2x+\cos^3 2x-2\sin 2x-\sin 2x\cos 2x-\sin 2x\cos^2 2x}{2+\cos 2x+\cos^2 x}\\ =\frac{\cos 2x(2+\cos 2x+\cos^2 2x)-\sin 2x(2+\cos 2x+\cos^2 2x)}{2+\cos 2x+\cos^2 x}\\ =\frac{(\cos 2x-\sin 2x)(2+\cos 2x+\cos^2 2x)}{(2+\cos 2x+\cos^2 2x)}\\ =\cos 2x-\sin 2x
Terbukti!

Iklan

Metode Pecahan Parsial Sebagai Alternatif Metode Ostrogradsky

Ada satu metode yang tidak saya dapati di mata kuliah Matematika Dasar saat memelajari kalkulus integral, yaitu metode Ostrogradsky. Tahu metode ini dari buku KALKULUS penulis H.M. Hasyim Baisuni. Kebetulan ada soal dari buku ini yang melibatkan metode tersebut pada halaman 194 nomor 24. Walau sudah saya pelajari secara otodidak metodenya, saya masih belum paham. Maka dari itu saya selesaikan dengan metode partial fraction decomposition. Soal tersebut ialah ∫ dx / ((x + 1)(x^2 + x + 1)²). Ternyata panjang dan memerlukan ketelitian untuk soal ini.

\displaystyle \frac{1}{(x+1)(x^2+x+1)^2}=\frac{A}{x+1}+\frac{Bx+C}{x^2+x+1}+\frac{Dx+E}{(x^2+x+1)^2}\\ \frac{1}{(x+1)(x^2+x+1)^2}=\frac{A(x^2+x+1)^2+(Bx+C)(x+1)(x^2+x+1)+(Dx+E)(x+1)}{(x+1)(x^2+x+1)^2}\\ 1=Ax^4+2Ax^3+3Ax^2+2Ax+A+Bx^4+2Bx^3+2Bx^2+Bx+Cx^3+2Cx^2+2Cx+C+Dx^2+Dx+Ex+E\\ 1=(A+B)x^4+(2A+2B+C)x^3+(3A+2B+2C+D)x^2+(2A+B+2C+D+E)x+(A+C+E)

A + B = 0 → A = –B

♦ 2A + 2B + C = 0

2(-B) + 2B + C = 0 → C = 0

♦ 3A + 2B + 2C + D = 0

3(-B) + 2B + 2(0) + D = 0

B + D = 0 → B = D

♦ 2A + B + 2C + D + E  =0

2(-B) + B + 2(0) + B + E = 0 → E = 0

A + C + E = 1

A + 0 + 0 = 1 → A = 1B = -1D = -1

\displaystyle \int \frac{dx}{(x+1)(x^2+x+1)^2}=\int \left (\frac{1}{x+1}-\frac{x}{x^2+x+1}-\frac{x}{(x^2+x+1)^2} \right )dx

Selesaikan soal ini menjadi 3 bagian:

  • Bagian pertama: ∫ dx / (x + 1)

Sangat mudah diselesaikan! Dengan metode substitusi diperoleh:

\displaystyle \int \frac{dx}{x+1}\: dx=\ln |x+1|

Ingat! Penggunaan konstanta (C) di penyelesaian akhir.

  • Bagian kedua: ∫ dx / (x² + x + 1)

\displaystyle \int \frac{x}{x^2+x+1}\\ =\int \frac{\frac{1}{2}(2x+1)-\frac{1}{2}}{x^2+x+1}\: dx=\frac{1}{2}\int \left ( \frac{2x+1}{x^2+x+1}-\frac{1}{x^2+x+1} \right )dx

◊ Sub bagian kedua i: ∫ (2x + 1) / (x² + x + 1) dx

\displaystyle \int \frac{2x+1}{x^2+x+1}\\ u=x^2+x+1\rightarrow \frac{du}{dx}=2x+1\\ =\int \frac{du}{u}\\ =\ln |u|=\ln (x^2+x+1)

◊ Sub bagian kedua ii: ∫ dx / (x² + x + 1)

\displaystyle \int \frac{dx}{x^2+x+1}\\ =\int \frac{dx}{x^2+x+\left ( \frac{1}{2} \right )^2-\left ( \frac{1}{2} \right )^2+1}\\ =\int \frac{dx}{\left ( x+\frac{1}{2} \right )^2+\frac{3}{4}}

Berdasarkan rumus \displaystyle \int \frac{du}{a^2+u^2}=\frac{\tan^{-1}\left ( \frac{u}{a} \right )}{a}+C, a>0, dan misal a² = ¾ & u = x + ½, maka:

\displaystyle =\frac{\tan^{-1}\left ( \frac{x+\frac{1}{2}}{\sqrt{\frac{3}{4}}} \right )}{\sqrt{\frac{3}{4}}}=\frac{2\tan^{-1}\left ( \frac{2x+1}{\sqrt{3}} \right )}{\sqrt{3}}

Jadi:

\displaystyle \int \frac{x}{x^2+x+1}dx\\ =\frac{1}{2}\int \left ( \frac{2x+1}{x^2+x+1}-\frac{1}{x^2+x+1} \right )dx\\ =\frac{1}{2}\left [ \ln (x^2+x+1)-\frac{2\tan^{-1}\left ( \frac{2x+1}{\sqrt{3}} \right )}{\sqrt{3}} \right ]\\ =\frac{\ln (x^2+x+1)}{2}-\frac{\tan^{-1}\left ( \frac{2x+1}{\sqrt{3}} \right )}{\sqrt{3}}

  • Bagian ketiga: ∫ dx / (x² + x + 1)²

Sama seperti pada bagian kedua: \displaystyle \int \frac{x}{(x^2+x+1)^2}dx=\frac{1}{2}\int \left [\frac{2x+1}{(x^2+x+1)^2}-\frac{1}{(x^2+x+1)^2} \right ]dx

◊ Sub bagian ketiga i: ∫ (2x + 1) / (x² + x + 1)² dx

Dengan metode substitusi diperoleh:

\displaystyle \int \frac{2x+1}{(x^2+x+1)^2}\: dx=-\frac{1}{x^2+x+1}

◊ Sub bagian ketiga ii: ∫ dx / (x² + x + 1)²

\displaystyle \int \frac{dx}{(x^2+x+1)^2}\: dx\\ =\int \frac{dx}{\left [\left ( x+\frac{1}{2} \right )^2+\frac{3}{4} \right ]^2}\\ =\int \left [\frac{1}{\left (x+\frac{1}{2} \right )^2+\frac{3}{4}} \right ]^2dx\\ =\int \left [\frac{4}{4\left (x^2+x+\frac{1}{4}+\frac{3}{4} \right )} \right ]^2dx\\ =16\int \frac{dx}{[(2x+1)^2+3]^2}\\ u=2x+1\rightarrow \frac{du}{dx}=2\\ =8\int \frac{du}{(u^2+3)^2}

Ingat kembali rumus reduksi \displaystyle \int \frac{dx}{(ax^2+b)^n}=\frac{2n-3}{2b(n-1)}\int \frac{dx}{(ax^2+b)^{n-1}}+\frac{x}{2b(n-1)(ax^2+b)^{n-1}}+C, sehingga diperoleh:

\displaystyle =8\left [ \frac{u}{6(u^2+3)}+\frac{1}{6}\int \frac{du}{u^2+3} \right ]\\ =\frac{4u}{3(u^2+3)}+\frac{4}{3}\frac{\tan^{-1}\left ( \frac{u}{3} \right )}{\sqrt{3}}\\ =\frac{4(2x+1)}{3[(2x+1)^2+3]}+\frac{4\tan^{-1}\left ( \frac{2x+1}{\sqrt{3}} \right )}{3\sqrt{3}}

Jadi:

\displaystyle \int \frac{x}{(x^2+x+1)^2}dx\\ =\frac{1}{2}\int \left [\frac{2x-1}{(x^2+x+1)^2}-\frac{1}{(x^2+x+1)^2} \right ]dx\\ =\frac{1}{2}\left \{ -\frac{1}{x^2+x+1}-\left [ \frac{4(2x+1)}{3[(2x+1)^2+3]}+\frac{4\tan^{-1}\left ( \frac{2x+1}{\sqrt{3}} \right )}{3\sqrt{3}} \right ] \right \}\\ =-\frac{1}{2(x^2+x+1)}-\frac{2(2x+1)}{3[(2x+1)^2+3]}-\frac{2\tan^{-1}\left ( \frac{2x+1}{\sqrt{3}} \right )}{3\sqrt{3}}

Jawaban dari soal ini adalah:

\displaystyle \int \frac{dx}{(x+1)(x^2+x+1)^2}\\ =\int \left [\frac{1}{x+1}-\frac{x}{x^2+x+1}-\frac{x}{(x^2+x+1)^2} \right ]dx\\ =\ln |x+1|-\left [ \frac{\ln (x^2+x+1)}{2}-\frac{\tan^{-1}\left ( \frac{2x+1}{\sqrt{3}} \right )}{\sqrt{3}} \right ]-\left [-\frac{1}{2(x^2+x+1)}-\frac{2(2x+1)}{3[(2x+1)^2+3]}-\frac{2\tan^{-1}\left ( \frac{2x+1}{\sqrt{3}} \right )}{3\sqrt{3}} \right ]+C\\ =\ln |x+1|-\frac{\ln (x^2+x+1)}{2}+\frac{5\tan^{-1}\left ( \frac{2x+1}{\sqrt{3}} \right )}{3\sqrt{3}}+\frac{1}{2(x^2+x+1)}+\frac{4x+2}{12(x^2+x+1)}+C\\ =\ln |x+1|-\frac{\ln (x^2+x+1)}{2}+\frac{5\tan^{-1}\left ( \frac{2x+1}{\sqrt{3}} \right )}{3\sqrt{3}}+\frac{6+4x+2}{12(x^2+x+1)}+C\\ =\ln |x+1|-\frac{\ln (x^2+x+1)}{2}+\frac{5\sqrt{3}\tan^{-1}\left ( \frac{2x+1}{\sqrt{3}} \right )}{9}+\frac{x+2}{3(x^2+x+1)}+C

Soal Integral Legendaris Akar Kuadrat tan x dx

Banyak yang sudah membahas soal ini di Youtube walaupun orang mancanegara. Integral ini tidak dapat diselesaikan menggunakan metode substitusi! Saya akan menyelesaikan dengan cara manipulasi dan tentunya melibatkan identitas trigonometri. Cara yang digunakan adalah mengubah √tan x menjadi 1/2 (√tan x + √cot x + √tan x – √cot x) dan dijadikan seperti berikut:

\displaystyle \int \sqrt{\tan x}\: dx\\ =\int \frac{\sqrt{\tan x}+\sqrt{\cot x}+\sqrt{\tan x}-\sqrt{\cot x}}{2}\: dx\\ =\int \left ( \frac{\sqrt{\tan x}+\sqrt{\cot x}}{2}+\frac{\sqrt{\tan x}-\sqrt{\cot x}}{2} \right )dx\\ =\frac{1}{2}\int \left ( \sqrt{\frac{\sin x}{\cos x}}+\sqrt{\frac{\cos x}{\sin x}} \right )dx+\frac{1}{2}\int \left ( \sqrt{\frac{\sin x}{\cos x}}-\sqrt{\frac{\cos x}{\sin x}} \right )dx

Kemudian kita gunakan manipulasi dengan cara mengkuadratkan \displaystyle \sqrt{\frac{\sin x}{\cos x}}+\sqrt{\frac{\cos x}{\sin x}} dan \displaystyle \sqrt{\frac{\sin x}{\cos x}}-\sqrt{\frac{\cos x}{\sin x}} lalu diakarkan kembali. Misal: \displaystyle a=\sqrt{\frac{\sin x}{\cos x}}+\sqrt{\frac{\cos x}{\sin x}}, maka:

\displaystyle a=\sqrt{\frac{\sin x}{\cos x}}+\sqrt{\frac{\cos x}{\sin x}}\\ a^2=\frac{\sin x}{\cos x}+2+\frac{\cos x}{\sin x}=\frac{\sin^2 x+2\sin x\cos x+\cos^2 x}{\sin x\cos x}=\frac{(\sin x+\cos x)^2}{\sin x\cos x}\\ a=\frac{\sin x+\cos x}{\sqrt{\sin x\cos x}}

Untuk \displaystyle \sqrt{\frac{\sin x}{\cos x}}-\sqrt{\frac{\cos x}{\sin x}}\\ caranya sama. Jadi:

\displaystyle =\frac{1}{2}\int \left ( \sqrt{\frac{\sin x}{\cos x}}+\sqrt{\frac{\cos x}{\sin x}} \right )dx+\frac{1}{2}\int \left ( \sqrt{\frac{\sin x}{\cos x}}-\sqrt{\frac{\cos x}{\sin x}} \right )dx\\ =\frac{1}{2}\int \frac{\sin x+\cos x}{\sqrt{\sin x\cos x}}\: dx+\frac{1}{2}\int \frac{\sin x-\cos x}{\sqrt{\sin x\cos x}}\: dx\\ =\frac{1}{2}\int \frac{\sin x+\cos x}{\sqrt{\frac{\sin 2x}{2}}}\: dx+\frac{1}{2}\int \frac{\sin x-\cos x}{\sqrt{\frac{\sin 2x}{2}}}\: dx\\ =\frac{\sqrt{2}}{2}\int \frac{\sin x+\cos x}{\sqrt{\sin 2x}}\: dx+\frac{\sqrt{2}}{2}\int \frac{\sin x-\cos x}{\sqrt{\sin 2x}}\: dx\\ =\frac{1}{\sqrt{2}}\int \frac{\sin x+\cos x}{\sqrt{\sin 2x}}\: dx+\frac{1}{\sqrt{2}}\int \frac{\sin x-\cos x}{\sqrt{\sin 2x}}\: dx\\ =\frac{1}{\sqrt{2}}\int \frac{\sin x+\cos x}{\sqrt{1-(1-\sin 2x)}}\: dx+\frac{1}{\sqrt{2}}\int \frac{\sin x-\cos x}{\sqrt{(1+\sin 2x)-1}}\: dx\\ =\frac{1}{\sqrt{2}}\int \frac{\sin x+\cos x}{\sqrt{1-(\sin^2 x+\cos^2 x-2\sin x\cos x)}}\: dx+\frac{1}{\sqrt{2}}\int \frac{\sin x-\cos x}{\sqrt{(\sin^2 x+\cos^2 x+2\sin x\cos x)-1}}\: dx\\ =\frac{1}{\sqrt{2}}\int \frac{\sin x+\cos x}{\sqrt{1-(\sin x-\cos x)^2}}\: dx+\frac{1}{\sqrt{2}}\int \frac{\sin x-\cos x}{\sqrt{(\sin x+\cos x)^2-1}}\: dx

Akhirnya bentuk yang diperoleh bisa diselesaikan dengan integral substiusi. Untuk \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}\int \frac{\sin x+\cos x}{\sqrt{1-(\sin x-\cos x)^2}}\: dx

\displaystyle u=\sin x-\cos x\rightarrow \frac{du}{dx}=\cos x+\sin x\\ =\frac{1}{\sqrt{2}}\int \frac{\sin x+\cos x}{\sqrt{1-u^2}}\: \frac{du}{\cos x+\sin x}\\ =\frac{1}{\sqrt{2}}\arcsin (u)=\frac{\sin^{-1}(\sin x-\cos x)}{\sqrt{2}}

dan untuk \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}\int \frac{\sin x-\cos x}{\sqrt{(\sin x+\cos x)^2-1}}\: dx

\displaystyle v=\sin x+\cos x\rightarrow \frac{dv}{dx}=\cos x-\sin x\\ =\frac{1}{\sqrt{2}}\int \frac{\sin x-\cos x}{\sqrt{v^2-1}}\frac{dv}{\cos x-\sin x}\\ =-\frac{1}{\sqrt{2}}\int \frac{\cos x-\sin x}{\sqrt{v^2-1}}\frac{dv}{\cos x-\sin x}\\ =-\frac{1}{\sqrt{2}}\: \mathrm{arcosh}(v)=-\frac{\cosh^{-1}(\sin x+\cos x)}{\sqrt{2}}

Hasil dari pengintegralan ∫ √tan x dx adalah:

\displaystyle \int \sqrt{\tan x}\: dx\\ =\frac{1}{\sqrt{2}}\int \frac{\sin x+\cos x}{\sqrt{1-(\sin x-\cos x)^2}}\: dx+\frac{1}{\sqrt{2}}\int \frac{\sin x+\cos x}{\sqrt{(\sin x+\cos x)^2-1}}\: dx\\ =\frac{\sin^{-1}(\sin x-\cos x)}{\sqrt{2}}+\left [ -\frac{\cosh^{-1}(\sin x+\cos x)}{\sqrt{2}} \right ]+C\\ =\frac{\sin^{-1}(\sin x-\cos x)-\cosh^{-1}(\sin x+\cos x)}{\sqrt{2}}+C

How to integrate ∫ x √(x² + 2x + 2) dx ?

Langkah pertama kita manipulasi menjadi seperti berikut:

\displaystyle \int x\sqrt{x^2+2x+2}\: dx\\ =\int [(x+1)-1]\sqrt{x^2+2x+2}\: dx\\\\ =\int \left [ (x+1)\sqrt{x^2+2x+2}-\sqrt{x^2+2x+2} \right ]dx\\ =\int (x+1)\sqrt{x^2+2x+2}\: dx-\int \sqrt{x^2+2x+2}\: dx

Kita integralkan satu persatu agar penyelesaian lebih mudah:

\displaystyle \int (x+1)\sqrt{x^2+2x+2}\: dx\\ u=x^2+2x+2\rightarrow \frac{du}{dx}=2x+2\\ =\int (x+1)\sqrt{u}\: \frac{du}{2x+2}\\ =\frac{1}{2}\int \sqrt{u}\: du\\ =\frac{1}{2}\left ( \frac{2}{3}u^{\frac{3}{2}} \right )\\ =\frac{1}{3}\left ( x^2+2x+2 \right )^{\frac{3}{2}}

Sampai langkah ini pemberian konstanta (C) belum diberikan karena ini bukan hasil akhir (jawaban) dari soal. Selanjutnya masih menggunakan manipulasi aljabar untuk mengintegralkan ∫ √(x² + 2x + 2) dx:

\displaystyle \int \sqrt{x^2+2x+2}\: dx\\ =\int \sqrt{x^2+2x+1+1}\: dx\\ =\int \sqrt{(x+1)^2+1}\: dx\\ v=x+1\rightarrow \frac{dv}{dx}=1\\ =\int \sqrt{v^2+1}\: dv

Bentuk integral ini diselesaikan dengan substitusi trigonometri atau dengan substitusi fungsi hiperbolik. Kita gunakan kedua metode untuk menunjukkan kebenarannya. Perhatikan gambar berikut:

Substitusi Trigonometri dann Hiperbolik

\displaystyle \int \sqrt{v^2+1}\: dv\\ =\int \sqrt{\tan^2 \theta+1}\: \sec^2\theta\: d\theta\\ =\int \sec^3\theta\: d\theta\\ =\frac{\ln |\tan\theta +\sec\theta |+\tan\theta \sec\theta }{2}\\ =\frac{\ln |v +\sqrt{v^2+1} |+v \sqrt{v^2+1} }{2}\\ =\frac{\sinh^{-1}(v)+v \sqrt{v^2+1} }{2}\\ =\frac{\sinh^{-1}(x+1)+x+1 \sqrt{(x+1)^2+1} }{2}

Belum merupakan hasil akhir, pemberian C belum diberikan. Sekarang dicoba dengan substitusi hiperbolik:

\displaystyle \int \sqrt{v^2+1}\: dv\\ v=\sinh u\rightarrow \frac{dv}{du}=\cosh u\\ =\int \sqrt{\sinh^2 u+1}\: \cosh u\: du\\ =\int \cosh^2 u\: du\\ =\frac{1}{2}\int (1+\cosh 2u)du\\ =\frac{1}{2}\left ( u+\frac{1}{2}\sinh 2u \right )\\ =\frac{u+\sinh u\cosh u}{2}\\ =\frac{u+\sinh u\sqrt{1+\sinh^2 u}}{2}\\ =\frac{\sinh^{-1}(v)+v\sqrt{1+v^2}}{2}\\ =\frac{\sinh^{-1}(x+1)+x+1\sqrt{(x+1)^2+1}}{2}

Jadi:

\displaystyle \int x\sqrt{x^2+2x+2}\: dx\\ =\frac{\left ( x^2+2x+2 \right )^{\frac{3}{2}}}{3}-\frac{\sinh^{-1}(x+1)+x+1\sqrt{(x+1)^2+1}}{2}+C\\ =\frac{2(x^2+2x+2)\sqrt{x^2+2x+2}-3\sinh^{-1}(x+1)-(3x+3)\sqrt{x^2+2x+2}}{6}+C\\ =\frac{\sqrt{x^2+2x+2}\: [(2x^2+4x+4)-(3x+3)]-3\sinh^{-1}(x+1)}{6}+C\\ =\frac{(2x^2+x+1)\sqrt{x^2+2x+2}-3\sinh^{-1}(x+1)}{6}+C

Metode Rasionalisasi Penyebut vs Substitusi Weierstrass

Pada kesempatan kali ini yana akan mengerjakan soal \displaystyle \int \frac{dx}{1+\sin x} dengan metode rasionalisasi penyebut dan substitusi Weierstrass. Apakah kedua metode hasilnya sama? Jika berbeda, saya akan menurunkan hasil pengintegralan dari dua metode yang berbeda untuk menunjukkan bahwa kedua metode valid digunakan.

  • Metode Rasionalisasi Penyebut

Diajarkan di SMA dan penyelesaian soal ini melibatkan identitas trigonometri.

\displaystyle \int \frac{dx}{1+\sin x}\\ =\int \left ( \frac{1}{1+\sin x}\, \frac{1-\sin x}{1+\sin x} \right )dx\\ =\int \frac{1-\sin x}{1-\sin^2 x}\, dx\\ =\int \frac{1-\sin x}{\cos^2 x}\, dx\\ =\int \left ( \frac{1}{\cos^2 x}-\frac{\sin x}{\cos^2 x} \right )dx

Sampai sini kita selesaikan dulu \displaystyle \int \frac{\sin x}{\cos^2 x}\, dx dengan metode substitusi:

\displaystyle u=\cos x\\ \frac{du}{dx}=-\sin x\rightarrow dx=-\frac{du}{\sin x}\\ \int \frac{\sin x}{\cos^2 x}\, dx\\ =\int \frac{\sin x}{u^2}\, \frac{du}{-\sin x}\\ =-\frac{1}{u}\\ =-\frac{1}{\cos x}=-\sec x

Jadi:

\displaystyle \int \left ( \frac{1}{\cos^2 x}-\frac{\sin x}{\cos^2 x} \right )dx\\ =\tan x-\sec x+C

  • Metode Substitusi Weierstrass

Digunakan untuk menyelesaikan integral fungsi rasional trigonometri. Ada 5 substitusi yang digunakan dan ‘mereka’ adalah:

\displaystyle t=\tan \left ( \frac{x}{2} \right )\\ dx=\frac{2}{1+t^2}\, dt\\ \sin x=\frac{2t}{1+t^2}\\ \cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}\\ \tan x=\frac{2t}{1-t^2}

Lalu darimana ke 5 nya diperoleh? Perhatikan gambar dibawah ini:

Weierstrass Substitution

Sekarang kita kerjakan soal ini:

\displaystyle \int \frac{dx}{1+\sin x}\\ =\int \frac{\frac{2dt}{1+t^2}}{1+\frac{2t}{1+t^2}}\\ =\int \frac{2dt}{1+t^2}\, \frac{1+t^2}{1+t^2+2t}\\ =2\int \frac{dt}{(1+t)^2}\\ =-\frac{2}{1+t}+C\\ =-\frac{2}{\tan \left ( \frac{x}{2} \right )+1}+C

Ternyata kedua metode menghasilkan jawaban yang beda. Kita turunkan kedua hasil yang diperoleh apakah hasilnya akan \displaystyle \frac{1}{1+\sin x} ?

  • \displaystyle \frac{d}{dx}(\tan x-\sec x)

\displaystyle =\sec^2 x-\sec x\tan x\\ =\sec x (\sec x-\tan x)\\ =\frac{\frac{1}{\cos x}-\frac{\sin x}{\cos x}}{\cos x}\\ =\frac{1-\sin x}{\cos^2 x}\\ =\frac{1-\sin x}{1-\sin^2 x}\\ =\frac{1-\sin x}{(1-\sin x)(1+\sin x)}\\ =\frac{1}{1+\sin x}

Metode pertama valid digunakan. Bagaimana dengan metode kedua?

\displaystyle \frac{d}{dx}\left ( -\frac{2}{\tan\left ( \frac{x}{2} \right )+1} \right )\\ =\frac{0\left [ \tan\left ( \frac{x}{2} \right )+1 \right ]-(-2)\left [ \frac{1}{2}\sec^2 \left ( \frac{x}{2} \right )+0 \right ]}{\left ( \tan\left ( \frac{x}{2} \right )+1 \right )^2}\\ =\frac{\sec^2 \left ( \frac{x}{2} \right )}{\left ( \tan\left ( \frac{x}{2} \right )+1 \right )^2}\\ =\frac{1}{\left ( \sin\left ( \frac{x}{2} \right )+\cos\left ( \frac{x}{2} \right ) \right )^2}\\ =\frac{1}{\sin^2\left ( \frac{x}{2} \right )+2\sin\left ( \frac{x}{2} \right )\cos\left ( \frac{x}{2} \right )+\cos^2\left ( \frac{x}{2} \right )}\\ =\frac{1}{1+\sin x}

Ternyata juga sama. Berati kedua metode valid untuk digunakan menyelesaikan soal dengan bentuk ini.

How to Integrate ∫ sin 4x e^(tan² x) dx ?

Soal ini pada awal penyelesaian tidak langsung menggunakan metode parsial karena akan sangat sulit diselesaikan. Untuk menyelesaikannya kita menggunakan beberapa identitas trigonometri dan trik berupa rumus cepat (dibuktikan pada postingan ini). Penggunaan rumus sudut ganda disini tidak menggunakan rumus yang sudah dipelajari saat SMA. Kita menggunakan \displaystyle \sin 2x=\frac{2\tan x}{1+\tan^2 x}\: \textrm{dan}\: \cos 2x=\frac{1-\tan^2 x}{1+\tan^2 x}.

Mengapa saya memosting soal ini? Karena ternyata wolframalpha.com yang mungkin didewa-dewakan untuk menyelesaikan soal rumit saja tidak dapat menunjukkan cara penyelesaiannya (hanya hasilnya) untuk soal ini!

Integral Istimewa

 

\displaystyle \int \sin 4x\, e^{\tan^2 x}\: dx\\ =\int 2\sin 2x \cos 2x\, e^{\tan^2 x}\: dx\\ =2\int \frac{2\tan x}{1+\tan^2 x}\: \frac{1-\tan^2 x}{1+\tan^2 x}\, e^{\tan^2 x}\: dx\\\\ =4\int \frac{\tan x(1-\tan^2 x)}{(\sec^2 x)^2}\, e^{\tan^2 x}\: dx\\ u=\tan^2 x\\ du=2\tan x\sec^2 x\, dx\\ =4\int \frac{\tan x(1-u)e^u}{(\sec^2 x)^2}\: \frac{du}{2\sec^2 x\tan x}\\ =2\int \frac{1-u}{(\sec^2 x)^3}\, e^u\, du\\ =2\int \frac{1-u}{(1+\tan^2 x)^3}\, e^u\, du\\ =2\int \frac{1-u}{(1+u)^3}\, e^u\, du\\ =2\int \frac{1+1-1-u}{(1+u)^3}\, e^u\, du\\ =2\int \frac{2-(1+u)}{(1+u)^3}\, e^u\, du\\ =2\int e^u\left [ \frac{2}{(1+u)^3}-\frac{1+u}{(1+u)^3} \right ]du\\ =2\int e^u\left [\frac{2}{(1+u)^3}-\frac{1}{(1+u)^2} \right ]du\\ =2\int e^u\left [-\frac{1}{(1+u)^2}+\frac{2}{(1+u)^3} \right ]du

Permasalahan di atas merupakan bentuk ∫ e^u [f(u) + f‘(u)] du yang memberikan solusi e^u f(u) + C. Kita buktikan rumus ini dengan metode parsial:
\displaystyle \int e^u[f(u)+f'(u)]\, du\\ \int e^u[f(u)+f'(u)]\, du=\int e^uf(u)\, du+\int e^uf'(u)\, du\\ \int e^u[f(u)+f'(u)]\, du=\int e^uf(u)\, du+e^uf(u)-\int e^uf(u)\, du\\ \boxed {\int e^u[f(u)+f'(u)]\, du=e^uf(u)+C}

Jadi:

\displaystyle =-2e^u\frac{1}{(1+u)^2}+C\\ =-\frac{2e^{\tan^2 x}}{(1+\tan^2 x)^2}+C\\ =-\frac{2e^{\tan^2 x}}{\sec^4 x}+C\\ =-2\cos^4 x\, e^{\tan^2 x}+C