Soal Identitas Trigonometri Tersulit di Dunia Beserta Penyelesaiannya

Mungkin layak soal ini mendapatkan ‘gelar’ tersebut. Soal ini saya peroleh dari Yahoo Answers Amerika Serikat setahun yang lalu dari seorang dosen matematika. Sayangnya saya lupa tautan (link) nya. Saya bilang luar biasa sang pembuat soal ini! Soal tersebut adalah (saya modifikasi terjemahannya dalam bahasa Indonesia) karena saya lupa bunyinya, Buktikan bahwa:

\displaystyle \frac{4\cos^4 x-4\sin x\cos^3 x-2\sin^2 x\tan x-\tan^2 x-2\cos 2x}{\sec^2x+\cos 2x}=\cos 2x-\sin 2x

 

Jawab:

\displaystyle \frac{4\cos^4 x-4\sin x\cos^3 x-2\sin^2 x\tan x-\tan^2 x-2\cos 2x}{\sec^2x+\cos 2x}\\= \frac{2\cos^2 x}{2\cos^2 x}~\frac{4\cos^4 x-4\sin x\cos^3 x-2\sin^2 x\frac{\sin x}{\cos x}-\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}-2\cos 2x}{\frac{1}{\cos^2 x}+\cos 2x}\\ =\frac{8\cos^6 x-8\sin x\cos^5 x-4\sin^3 x\cos x-2\sin^2 x-4\cos 2x\cos^2 x}{2+2\cos^2 x\cos 2x}\\ =\frac{(2\cos^2 x)^3-(2\sin x\cos x)(2\cos^2 x)^2-(2\sin x\cos x)(2\sin^2 x)-2\sin^2 x-(2\cos 2x)(2\cos^2 x)}{2+(\cos 2x)(2\cos^2 x)}\\ =\frac{(1+\cos 2x)^3-(\sin 2x)(1+\cos 2x)^2-(\sin 2x)(1-\cos 2x)-(1-\cos 2x)-(2\cos 2x)(1+\cos 2x)}{2+\cos 2x(1+\cos 2x)}\\=\frac{(1+3\cos 2x+3\cos^2 x+\cos^3 2x)-(\sin 2x)(1+2\cos 2x+\cos^2 x)-(\sin 2x)(1-\cos 2x)-(1-\cos 2x)-(2\cos 2x)(1+\cos 2x)}{2+\cos 2x+\cos^2 x}\\ =\frac{1+3\cos 2x+3\cos^2 x+\cos^3 2x-\sin 2x-2\sin 2x\cos 2x-\sin 2x\cos^2 x-\sin 2x+\sin 2x\cos 2x-1+\cos 2x-2\cos 2x-2\cos^2 2x}{2+\cos 2x+\cos^2 x}\\ =\frac{2\cos 2x+\cos^2 2x+\cos^3 2x-2\sin 2x-\sin 2x\cos 2x-\sin 2x\cos^2 2x}{2+\cos 2x+\cos^2 x}\\ =\frac{\cos 2x(2+\cos 2x+\cos^2 2x)-\sin 2x(2+\cos 2x+\cos^2 2x)}{2+\cos 2x+\cos^2 x}\\ =\frac{(\cos 2x-\sin 2x)(2+\cos 2x+\cos^2 2x)}{(2+\cos 2x+\cos^2 2x)}\\ =\cos 2x-\sin 2x
Terbukti!

Iklan

Integral Parsial vs Integral Substitusi

Apa yang ada di benah anda jika melihat soal ∫ 2x(x – 6)^4 dx ? Anda pasti mengerjakannya menggunakan metode  parsial (integration by parts method) karena 2x(x – 6)^4 merupakan bentuk perkalian. Akan tetapi integral yang melibatkan bentuk itu tidak semua harus dikerjakan dengan metode parsial. Sekarang saja selesaikan dengan metode parsial kemudian dengan metode substitusi.

\displaystyle \int 2x(x-6)^4dx\\ \\ \int u\, dv=uv-\int v\, du\\ u=2x\rightarrow dx=\frac{du}{2}\\ dv=(x-6)^4\rightarrow v=\frac{(x-6)^5}{5}\\ \int 2x(x-6)^4dx=(2x)\, \frac{(x-6)^5}{5}-\int \frac{(x-6)^5}{5}\, (2\, dx)\\ =\frac{2x(x-6)^5}{2}-\frac{2}{5}\, \frac{(x-6)^6}{6}+C\\ =\frac{2x(x-6)^5}{2}-\frac{(x-6)^6}{15}+C\\ = \frac{6x(x-6)^5-(x-6)^6}{15}+C\\ =\frac{(x-6)^5\, [6x-(x-6)]}{15}+C\\ =\frac{(x-6)^5\, (5x+6)}{15}+C

Bandingkan dengan menggunakan metode substitusi:

\displaystyle \int 2x(x-6)^4dx\\  u=x-6\rightarrow x=u-6\\ du=dx\\ 2\int (u+6)u^4du\\ =2\left ( \frac{u^6}{6}+\frac{6u^5}{5} \right )+C\\ =\frac{(x-6)^6}{3}+\frac{12(x-6)^5}{5}+C\\ =\frac{5(x-6)^6+36(x-6)^5}{15}+C\\ =\frac{(x-6)^5\, [5(x-6)+36]}{15}+C\\ =\frac{(x-6)^5\, (5x+6)}{15}+C

Sekarang kalau soalnya begini: ∫ 4x√(3x – 2) dx

Dengan metode substitusi:

\displaystyle \int 4x\sqrt{3x-2}\, dx\\ \displaystyle u=3x-2\rightarrow x=\frac{u+2}{3}\\ du=3\, dx\rightarrow dx=\frac{du}{3}\\  4\int \frac{u+2}{3}u^{\frac{1}{2}}\, \frac{du}{3}\\ =\frac{4}{9}\int \left ( u^{\frac{3}{2}}+2u^{\frac{1}{2}} \right )du\\ =\frac{4}{9}\left [ \frac{2(3x-2)^{\frac{5}{2}}}{5}+\frac{4(3x-2)^{\frac{3}{2}}}{3} \right ]+C\\ =\frac{8(3x-2)^{\frac{5}{2}}}{45}+\frac{16(3x-2)^{\frac{3}{2}}}{27}+C\\ =\frac{24(3x-2)^{\frac{5}{2}}+80(3x-2)^{\frac{3}{2}}}{135}+C\\ =\frac{(3x-2)^{\frac{3}{2}}[24(3x-2)+80(3x-2)^0]}{135}+C\\ =\frac{8(3x-2)^{\frac{3}{2}}(9x+4)}{135}+C

Dengan metode parsial:

\displaystyle \int 4x\sqrt{3x-2}dx\\  u=4x\rightarrow du=4\, dx\\ dv=(3x-2)^\frac{1}{2}\rightarrow v=\frac{2(3x-2)^{\frac{3}{2}}}{9}\\ \int 4x\sqrt{3x-2}\, dx=\frac{2(3x-2)^{\frac{3}{2}}}{9}(4x)-\int \frac{2(3x-2)^{\frac{3}{2}}}{9}(4\, dx)\\ =\frac{8(3x-2)^{\frac{3}{2}}}{9}-\frac{8}{9}\int (3x-2)^{\frac{3}{2}}\, dx\\ =\frac{8(3x-2)^{\frac{3}{2}}}{9}-\frac{8}{9}\: \frac{2(3x-2)^{\frac{5}{2}}}{15}+C\\ =\frac{8(3x-2)^{\frac{3}{2}}}{9}-\frac{16(3x-2)^{\frac{5}{2}}}{135}+C\\ =\frac{120x(3x-2)^{\frac{3}{2}}-16(3x-2)^{\frac{5}{2}}}{135}+C\\ =\frac{(3x-2)^{\frac{3}{2}}[120x-16(3x-2)]}{135}+C\\ =\frac{8(3x-2)^{\frac{3}{2}}(9x+4)}{135}+C

Ternyata pada soal kedua jika diselesaikan dengan metode  parsial lebih lama waktunya karena juga melibatkan integral substitusi. Jadi untuk menyelesaikan bentuk soal seperti soal kedua lebih efisien menggunakan integral substitusi.

Lalu metode parsial sebaiknya digunakan jika bentuk soal bagaimana? Digunakan apabila saat menggunakan metode substitusi tidak dapat dikerjakan. Contoh soal yang harus menggunakan metode parsial:

  1. ∫ arcsin x dx
  2. x² ln x dx
  3. x² e^(2x) dx
  4. ∫ e^x sin x dx

Dua Soal Identitas Trigonometri dari Sukino Beserta Penyelesaiannya

  • Soal pertama dari nomor 8 halaman 352 Matematika Kelas XII Sukino Kelompok Peminatan MIPA Kurikulum 2013 yang mana bunyi soalnya, Tunjukkan bahwa:

\displaystyle \frac{1+\sin \theta }{1+\cos \theta }=\frac{1}{2}\left [ \tan \left ( \frac{\theta}{2}\right)+1 \right ]^2

Soal ini mudah hanya agar bisa diselesaikan harus menggunakan identitas trigonometri yang tepat!

\displaystyle \frac{1}{2}\left [ \tan \left ( \frac{\theta}{2}\right)+1 \right ]^2\\ =\frac{1}{2}\left [ \tan^2 \left ( \frac{\theta}{2} \right )+2\tan \left ( \frac{\theta}{2} \right )+1 \right ]\\ =\frac{1}{2}\left ( \frac{1-\cos \theta }{1+\cos \theta}+2\frac{\sin \theta}{1+\cos \theta}+1 \right )\\=\frac{1}{2}\: \frac{1-\cos \theta +2\sin \theta +1+\cos \theta }{1+\cos \theta }\\ =\frac{1}{2}\: \frac{2(1+\sin \theta ) }{1+\cos \theta }\\ =\frac{1+\sin \theta}{1+\cos \theta}
TERBUKTI.

  • Soal kedua dari nomor 10f halaman 346 Matematika Kelas XII Sukino Kelompok Peminatan MIPA Kurikulum 2013 yang mana bunyi soalnya, Buktikanlah kebenaran setiap identitas berikut:

\displaystyle \frac{1+\sin \theta +\cos \theta }{1+\sin \theta -\cos \theta}=\cot \left ( \frac{\theta}{2} \right )

Di buku soal no 10 ada 10 sub soal (10a – 10j) tetapi hanya satu yang saya kerjakan. Teknik untuk mengerjakan soal ini merasionalkan penyebut pada pecahan.

\displaystyle \frac{1+\sin \theta +\cos \theta }{1+\sin \theta -\cos \theta}\\ =\frac{1+\sin \theta +\cos \theta }{1+(\sin \theta -\cos \theta)}\: \frac{1-(\sin \theta +\cos \theta) }{1-(\sin \theta -\cos \theta)}\\ =\frac{(1+\sin \theta +\cos \theta)(1-\sin \theta +\cos \theta)}{1-(\sin \theta -\cos \theta )^2}\\=\frac{1-\sin \theta +\cos \theta +\sin \theta -\sin^2 \theta +\sin \theta \cos \theta +\cos \theta -\cos\theta \sin \theta +\cos^2 \theta }{1-(\sin^2 \theta-2\sin \theta \cos \theta +\cos^2 \theta )}\\ =\frac{1+2\cos \theta +\cos 2\theta }{1-(1-2\sin \theta \cos \theta )}\\ =\frac{1+2\cos \theta +2\cos^2 \theta -1}{2\sin \theta \cos \theta }\\=\frac{1+2\cos \theta +2\cos^2 \theta -1}{2\sin \theta \cos \theta }\\ =\frac{\cos \theta (1+\cos \theta )}{\sin \theta \cos \theta}\\ =\cot \left ( \frac{\theta}{2} \right )

TERBUKTI.

Jawaban Soal Nomor 8b Halaman 367 Matematika Kelas XII Sukino Kelompok Peminatan MIPA Kurikulum 2013

Bunyi Soalnya sebagai berikut, tetapi sudah saya perbaiki penulisan yang di buku sesuai standar internasional:

Buktikan bahwa: \displaystyle \frac{1+\sin \theta -\cos \theta }{1+\sin \theta +\cos \theta}+\frac{1+\sin \theta +\cos \theta}{1+\sin \theta -\cos \theta}=2\csc \theta

Jawab:

Sebenarnya ini mudah seperti menyelesaikan soal pecahan tetapi panjang penyelesaiannya. Sebelum menyamakan penyebut, buat soal menyadi seperti ini: \displaystyle \frac{1+\sin \theta -\cos \theta }{(1+\sin \theta) +\cos \theta}+\frac{1+\sin \theta +\cos \theta}{(1+\sin \theta) -\cos \theta}. Dengan menggunakan rumus selisih kuadrat a² – b² = (a + b)(ab) dan dari soal a = 1 + sin θ dan b = cos θ, maka:

\displaystyle \frac{1+\sin \theta -\cos \theta }{(1+\sin \theta) +\cos \theta}+\frac{1+\sin \theta +\cos \theta}{(1+\sin \theta) -\cos \theta}\\ =\frac{(1+\sin \theta -\cos \theta)^2+(1+\sin \theta +\cos \theta)^2}{(1+\sin \theta )^2-\cos^2 \theta }\\ =\frac{\sin^2 \theta +\cos^2 \theta +2\sin \theta -2\cos \theta -2\sin \theta \cos \theta +1+\sin^2 \theta +\cos^2 \theta +2\sin \theta +2\cos \theta +2\sin \theta \cos \theta +1}{1+2\sin \theta +\sin^2 \theta -(1-\sin^2 \theta )}\\=\frac{4+4\sin \theta }{2\sin \theta +2\sin^2 \theta }\\ =\frac{4(1+\sin \theta )}{2\sin \theta (1+\sin \theta )}\\ =2\csc \theta

TERBUKTI.

Menurunkan Rumus Rasio Trigonometri Sudut Berelasi

Sebelumnya saya turunkan terlebih dahulu rasio trigonometri untuk sudut istimewa yang mana besar sudut istimewa itu adalah 0°, 30°, 45°, 60°, dan 90°. Perhatikan gambar berikut:

perbandingan trig

Dari gambar di atas diperoleh rasio trigonometri sinus, cosinus, dan tangen untuk sudut 45°, 60° dan 30°:

Untuk sudut 45°:

\displaystyle \sin 45^{\circ}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{2}\\ \cos 45^{\circ}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{2}\\ \tan 45^{\circ}=\frac{1}{1}=1

Untuk sudut 60°:

\displaystyle \sin 60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{2}\sqrt{3}\\ \cos 60^{\circ}=\frac{1}{2}\\ \tan 60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{1}=1

Untuk sudut 30°:

\displaystyle \sin 30^{\circ}=\frac{1}{2}\\ \cos 30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{2}\sqrt{3}\\ \tan 30^{\circ}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{1}{3}\sqrt{3}

Untuk cosecan, secan, dan cotaget tidak perlu saya turunkan karena hanya kebalikan dari sinus, cosinus, dan tangen. Bagaimana dengan rasio trigonometri sudut 0° dan 90°? Perhatikan gambar berikut:

0 and 90 deg

Jika segitiga siku-siku pada gambar sebelumnya sudut lancip 45° kita ubah menjadi 0°, maka panjang sisi miring menjadi sama dengan sisi samping sudut 0°. Alhasil menjadi garis horizontal dan rasio trigonometrinya:

\displaystyle \sin 0^{\circ}=\frac{0}{1}=0\\ \cos 0^{\circ}=\frac{1}{1}=1\\ \tan 0^{\circ}=\frac{0}{1}=0

jika segitiga siku-siku pada gambar sebelumnya sudut lancip 45° kita ubah menjadi 90°, maka panjang sisi miring menjadi sama dengan sisi depan sudut 90°. Alhasil menjadi garis vertikal dan rasio trigonometrinya:

\displaystyle \sin 90^{\circ}=\frac{1}{1}=1\\ \cos 90^{\circ}=\frac{0}{1}=0\\ \tan 90^{\circ}=\frac{1}{0}=\textrm{tak terdefinisi}

Sekarang kita turunkan rumus rasio trigonometri sudut berelasi. Hal ini penting untuk mencari rasio trigonometri dengan sudut >90°.

  • Sudut (90° – θ)

Perhatikan hubungan rasio trigonometri sudut 60° dengan 30°! Kita lihat kesamaan nilainya:

\displaystyle \sin 60^{\circ}=\cos 30^{\circ}=\frac{1}{2}\sqrt{3}\\ \cos 60^{\circ}=\sin 30^{\circ}=\frac{1}{2}

Dari hubungan di atas kita buat seperti ini: sin (90° – 30°) = cos 30°, maka dapat disimpulkan:

\displaystyle \sin \left ( 90^{\circ}-\theta \right )=\cos \theta\\ \cos \left ( 90^{\circ}-\theta \right )=\sin \theta\\ \tan \left ( 90^{\circ}-\theta \right )=\cot \theta

  • Sudut (180° – θ)

Perhatikan gambar berikut:

hub 1

Lihat hubungan titik P dengan P‘! Rotasikan titik P sejauh θ berlawanan jarum jam kemudian cerminkan terhadap sumbu Y, maka terbentuk titik P‘. Andaikan θ = 60°, maka sin (180° – 60°) = sin 60°. Berdasarkan definisi rasio trigonometri dapat disimpulkan:

\displaystyle \sin \left ( 180^{\circ}-\theta \right )=\sin \theta\\ \cos \left ( 180^{\circ}-\theta \right )=-\cos \theta\\ \tan \left ( 180^{\circ}-\theta \right )=-\tan \theta

  • Sudut (90° + θ)

Lihat gambar sebelumnya! Rotasikan titik P‘ sejauh θ berlawanan jarum jam dari sudut 90° sehingga terletak di kuadran II! Tinjau hubungan titik P‘ dengan titik P pada kuadran I! Permisalan masih sama, andaikan θ = 60° maka sin (90° + 60°) = sin 30° = cos 60°. Dapat disimpulkan:

\displaystyle \sin \left ( 90^{\circ}+\theta \right )=\cos \theta\\ \cos \left ( 90^{\circ}+\theta \right )=-\sin \theta\\ \tan \left ( 90^{\circ}+\theta \right )=-\cot \theta

  • Sudut (180° + θ)

Lihat gambar sebelumnya! Cerminkan titik P terhadap titik pusat O(0, 0) sehingga terbentuk titik P‘ dan terletak di kuadran III! Andaikan θ = 60°, maka sin (180° + 60°) = -sin 60°. Dengan peninjauan yang sama dan berdasarkan definisi rasio trigonometri dapat disimpulkan:

\displaystyle \sin \left ( 180^{\circ}+\theta \right )=-\sin \theta\\ \cos \left ( 180^{\circ}+\theta \right )=-\cos \theta\\ \tan \left ( 180^{\circ}+\theta \right )=\tan \theta

  • Sudut (270° – θ)

Lihat gambar sebelumnya! Rotasikan titik P‘ sejauh θ berlawanan jarum jam dari sudut 270° sehingga terletak di kuadran III! Tinjau hubungan titik P‘ dengan titik P pada kuadran I! Permisalan masih sama, andaikan θ = 60° maka sin (270° – 60°) = -sin 30° = -cos 60°. Dapat disimpulkan:

\displaystyle \sin \left ( 270^{\circ}-\theta \right )=-\cos \theta\\ \cos \left ( 270^{\circ}-\theta \right )=-\sin \theta\\ \tan \left ( 270^{\circ}-\theta \right )=\cot \theta

  • Sudut (270° + θ)

Lihat gambar sebelumnya! Rotasikan titik P‘ sejauh θ searah jarum jam dari sudut 270° sehingga terletak di kuadran IV! Tinjau hubungan titik P‘ dengan titik P pada kuadran I! Permisalan masih sama, andaikan θ = 60° maka sin (270° + 60°) = -sin 30° = -cos 60°. Dapat disimpulkan:

\displaystyle \sin \left ( 270^{\circ}+\theta \right )=-\cos \theta\\ \cos \left ( 270^{\circ}+\theta \right )=\sin \theta\\ \tan \left ( 270^{\circ}+\theta \right )=-\cot \theta

  • Sudut (360° – θ)

Lihat gambar sebelumnya! Cerminkan titik P terhadap sumbu X sehingga terbentuk titik P‘ dan terletak di kuadran IV! Andaikan θ = 60°, maka sin (360° – 60°) = -sin 60°. Dengan peninjauan yang sama dan berdasarkan definisi rasio trigonometri dapat disimpulkan:

\displaystyle \sin \left ( 360^{\circ}-\theta \right )=-\sin \theta\\ \cos \left ( 360^{\circ}-\theta \right )=\cos \theta\\ \tan \left ( 360^{\circ}-\theta \right )=-\tan \theta

  • Sudut negatif (θ)

Cara penurunan sama seperti sudut (360° – θ) dan diperoleh:

\displaystyle \sin \left ( -\theta \right )=-\sin \theta\\ \cos \left ( -\theta \right )=\cos \theta\\ \tan \left ( -\theta \right )=-\tan \theta

  • Sudut >360°

Berlaku keperiodikan. Misal kita ingin mencari nilai dari cos 945°. Jika dalam 1 putaran/periode menempuh 360°, maka 945° masih menempuh 2 periode. Rumus untuk relasi sudut ini adalah:

\displaystyle \sin \left ( \theta+k\cdot 360^{\circ} \right )=\sin \theta\\ \cos \left ( \theta+k\cdot 360^{\circ} \right )=\cos \theta\\ \tan \left ( \theta+k\cdot 360^{\circ} \right )=\tan \theta

dengan k merupakan periode dan dalam bilangan asli.

Sekarang kita coba mencari nilai dari cos 945°. Kita tentukan periodenya. k = 945°/360° = 2,625 ≈ 2, maka:

\displaystyle \cos \left ( \theta+k\cdot 360^{\circ} \right )=\cos \theta\\ \cos 945^{\circ}=\cos \left ( 225^{\circ}+2\cdot 360^{\circ} \right )\\ =\cos 225^{\circ}\\ =\cos \left ( 180^{\circ}+45^{\circ} \right )\\ =-\cos 45^{\circ} \\=-\frac{1}{2}\sqrt{2}

atau

\displaystyle \cos \left ( \theta+k\cdot 360^{\circ} \right )=\cos \theta\\ \cos 945^{\circ}=\cos \left ( 225^{\circ}+2\cdot 360^{\circ} \right )\\ =\cos 225^{\circ}\\ =\cos \left ( 270^{\circ}-45^{\circ} \right )\\ =-\sin 45^{\circ} \\=-\frac{1}{2}\sqrt{2}