Soal Identitas Trigonometri Tersulit di Dunia Beserta Penyelesaiannya

Mungkin layak soal ini mendapatkan ‘gelar’ tersebut. Soal ini saya peroleh dari Yahoo Answers Amerika Serikat setahun yang lalu dari seorang dosen matematika. Sayangnya saya lupa tautan (link) nya. Saya bilang luar biasa sang pembuat soal ini! Soal tersebut adalah (saya modifikasi terjemahannya dalam bahasa Indonesia) karena saya lupa bunyinya, Buktikan bahwa:

\displaystyle \frac{4\cos^4 x-4\sin x\cos^3 x-2\sin^2 x\tan x-\tan^2 x-2\cos 2x}{\sec^2x+\cos 2x}=\cos 2x-\sin 2x

 

Jawab:

\displaystyle \frac{4\cos^4 x-4\sin x\cos^3 x-2\sin^2 x\tan x-\tan^2 x-2\cos 2x}{\sec^2x+\cos 2x}\\= \frac{2\cos^2 x}{2\cos^2 x}~\frac{4\cos^4 x-4\sin x\cos^3 x-2\sin^2 x\frac{\sin x}{\cos x}-\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}-2\cos 2x}{\frac{1}{\cos^2 x}+\cos 2x}\\ =\frac{8\cos^6 x-8\sin x\cos^5 x-4\sin^3 x\cos x-2\sin^2 x-4\cos 2x\cos^2 x}{2+2\cos^2 x\cos 2x}\\ =\frac{(2\cos^2 x)^3-(2\sin x\cos x)(2\cos^2 x)^2-(2\sin x\cos x)(2\sin^2 x)-2\sin^2 x-(2\cos 2x)(2\cos^2 x)}{2+(\cos 2x)(2\cos^2 x)}\\ =\frac{(1+\cos 2x)^3-(\sin 2x)(1+\cos 2x)^2-(\sin 2x)(1-\cos 2x)-(1-\cos 2x)-(2\cos 2x)(1+\cos 2x)}{2+\cos 2x(1+\cos 2x)}\\=\frac{(1+3\cos 2x+3\cos^2 x+\cos^3 2x)-(\sin 2x)(1+2\cos 2x+\cos^2 x)-(\sin 2x)(1-\cos 2x)-(1-\cos 2x)-(2\cos 2x)(1+\cos 2x)}{2+\cos 2x+\cos^2 x}\\ =\frac{1+3\cos 2x+3\cos^2 x+\cos^3 2x-\sin 2x-2\sin 2x\cos 2x-\sin 2x\cos^2 x-\sin 2x+\sin 2x\cos 2x-1+\cos 2x-2\cos 2x-2\cos^2 2x}{2+\cos 2x+\cos^2 x}\\ =\frac{2\cos 2x+\cos^2 2x+\cos^3 2x-2\sin 2x-\sin 2x\cos 2x-\sin 2x\cos^2 2x}{2+\cos 2x+\cos^2 x}\\ =\frac{\cos 2x(2+\cos 2x+\cos^2 2x)-\sin 2x(2+\cos 2x+\cos^2 2x)}{2+\cos 2x+\cos^2 x}\\ =\frac{(\cos 2x-\sin 2x)(2+\cos 2x+\cos^2 2x)}{(2+\cos 2x+\cos^2 2x)}\\ =\cos 2x-\sin 2x
Terbukti!

Iklan

Menurunkan Rumus Rasio Trigonometri Sudut Berelasi

Sebelumnya saya turunkan terlebih dahulu rasio trigonometri untuk sudut istimewa yang mana besar sudut istimewa itu adalah 0°, 30°, 45°, 60°, dan 90°. Perhatikan gambar berikut:

perbandingan trig

Dari gambar di atas diperoleh rasio trigonometri sinus, cosinus, dan tangen untuk sudut 45°, 60° dan 30°:

Untuk sudut 45°:

\displaystyle \sin 45^{\circ}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{2}\\ \cos 45^{\circ}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{2}\\ \tan 45^{\circ}=\frac{1}{1}=1

Untuk sudut 60°:

\displaystyle \sin 60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{2}\sqrt{3}\\ \cos 60^{\circ}=\frac{1}{2}\\ \tan 60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{1}=1

Untuk sudut 30°:

\displaystyle \sin 30^{\circ}=\frac{1}{2}\\ \cos 30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{2}\sqrt{3}\\ \tan 30^{\circ}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{1}{3}\sqrt{3}

Untuk cosecan, secan, dan cotaget tidak perlu saya turunkan karena hanya kebalikan dari sinus, cosinus, dan tangen. Bagaimana dengan rasio trigonometri sudut 0° dan 90°? Perhatikan gambar berikut:

0 and 90 deg

Jika segitiga siku-siku pada gambar sebelumnya sudut lancip 45° kita ubah menjadi 0°, maka panjang sisi miring menjadi sama dengan sisi samping sudut 0°. Alhasil menjadi garis horizontal dan rasio trigonometrinya:

\displaystyle \sin 0^{\circ}=\frac{0}{1}=0\\ \cos 0^{\circ}=\frac{1}{1}=1\\ \tan 0^{\circ}=\frac{0}{1}=0

jika segitiga siku-siku pada gambar sebelumnya sudut lancip 45° kita ubah menjadi 90°, maka panjang sisi miring menjadi sama dengan sisi depan sudut 90°. Alhasil menjadi garis vertikal dan rasio trigonometrinya:

\displaystyle \sin 90^{\circ}=\frac{1}{1}=1\\ \cos 90^{\circ}=\frac{0}{1}=0\\ \tan 90^{\circ}=\frac{1}{0}=\textrm{tak terdefinisi}

Sekarang kita turunkan rumus rasio trigonometri sudut berelasi. Hal ini penting untuk mencari rasio trigonometri dengan sudut >90°.

  • Sudut (90° – θ)

Perhatikan hubungan rasio trigonometri sudut 60° dengan 30°! Kita lihat kesamaan nilainya:

\displaystyle \sin 60^{\circ}=\cos 30^{\circ}=\frac{1}{2}\sqrt{3}\\ \cos 60^{\circ}=\sin 30^{\circ}=\frac{1}{2}

Dari hubungan di atas kita buat seperti ini: sin (90° – 30°) = cos 30°, maka dapat disimpulkan:

\displaystyle \sin \left ( 90^{\circ}-\theta \right )=\cos \theta\\ \cos \left ( 90^{\circ}-\theta \right )=\sin \theta\\ \tan \left ( 90^{\circ}-\theta \right )=\cot \theta

  • Sudut (180° – θ)

Perhatikan gambar berikut:

hub 1

Lihat hubungan titik P dengan P‘! Rotasikan titik P sejauh θ berlawanan jarum jam kemudian cerminkan terhadap sumbu Y, maka terbentuk titik P‘. Andaikan θ = 60°, maka sin (180° – 60°) = sin 60°. Berdasarkan definisi rasio trigonometri dapat disimpulkan:

\displaystyle \sin \left ( 180^{\circ}-\theta \right )=\sin \theta\\ \cos \left ( 180^{\circ}-\theta \right )=-\cos \theta\\ \tan \left ( 180^{\circ}-\theta \right )=-\tan \theta

  • Sudut (90° + θ)

Lihat gambar sebelumnya! Rotasikan titik P‘ sejauh θ berlawanan jarum jam dari sudut 90° sehingga terletak di kuadran II! Tinjau hubungan titik P‘ dengan titik P pada kuadran I! Permisalan masih sama, andaikan θ = 60° maka sin (90° + 60°) = sin 30° = cos 60°. Dapat disimpulkan:

\displaystyle \sin \left ( 90^{\circ}+\theta \right )=\cos \theta\\ \cos \left ( 90^{\circ}+\theta \right )=-\sin \theta\\ \tan \left ( 90^{\circ}+\theta \right )=-\cot \theta

  • Sudut (180° + θ)

Lihat gambar sebelumnya! Cerminkan titik P terhadap titik pusat O(0, 0) sehingga terbentuk titik P‘ dan terletak di kuadran III! Andaikan θ = 60°, maka sin (180° + 60°) = -sin 60°. Dengan peninjauan yang sama dan berdasarkan definisi rasio trigonometri dapat disimpulkan:

\displaystyle \sin \left ( 180^{\circ}+\theta \right )=-\sin \theta\\ \cos \left ( 180^{\circ}+\theta \right )=-\cos \theta\\ \tan \left ( 180^{\circ}+\theta \right )=\tan \theta

  • Sudut (270° – θ)

Lihat gambar sebelumnya! Rotasikan titik P‘ sejauh θ berlawanan jarum jam dari sudut 270° sehingga terletak di kuadran III! Tinjau hubungan titik P‘ dengan titik P pada kuadran I! Permisalan masih sama, andaikan θ = 60° maka sin (270° – 60°) = -sin 30° = -cos 60°. Dapat disimpulkan:

\displaystyle \sin \left ( 270^{\circ}-\theta \right )=-\cos \theta\\ \cos \left ( 270^{\circ}-\theta \right )=-\sin \theta\\ \tan \left ( 270^{\circ}-\theta \right )=\cot \theta

  • Sudut (270° + θ)

Lihat gambar sebelumnya! Rotasikan titik P‘ sejauh θ searah jarum jam dari sudut 270° sehingga terletak di kuadran IV! Tinjau hubungan titik P‘ dengan titik P pada kuadran I! Permisalan masih sama, andaikan θ = 60° maka sin (270° + 60°) = -sin 30° = -cos 60°. Dapat disimpulkan:

\displaystyle \sin \left ( 270^{\circ}+\theta \right )=-\cos \theta\\ \cos \left ( 270^{\circ}+\theta \right )=\sin \theta\\ \tan \left ( 270^{\circ}+\theta \right )=-\cot \theta

  • Sudut (360° – θ)

Lihat gambar sebelumnya! Cerminkan titik P terhadap sumbu X sehingga terbentuk titik P‘ dan terletak di kuadran IV! Andaikan θ = 60°, maka sin (360° – 60°) = -sin 60°. Dengan peninjauan yang sama dan berdasarkan definisi rasio trigonometri dapat disimpulkan:

\displaystyle \sin \left ( 360^{\circ}-\theta \right )=-\sin \theta\\ \cos \left ( 360^{\circ}-\theta \right )=\cos \theta\\ \tan \left ( 360^{\circ}-\theta \right )=-\tan \theta

  • Sudut negatif (θ)

Cara penurunan sama seperti sudut (360° – θ) dan diperoleh:

\displaystyle \sin \left ( -\theta \right )=-\sin \theta\\ \cos \left ( -\theta \right )=\cos \theta\\ \tan \left ( -\theta \right )=-\tan \theta

  • Sudut >360°

Berlaku keperiodikan. Misal kita ingin mencari nilai dari cos 945°. Jika dalam 1 putaran/periode menempuh 360°, maka 945° masih menempuh 2 periode. Rumus untuk relasi sudut ini adalah:

\displaystyle \sin \left ( \theta+k\cdot 360^{\circ} \right )=\sin \theta\\ \cos \left ( \theta+k\cdot 360^{\circ} \right )=\cos \theta\\ \tan \left ( \theta+k\cdot 360^{\circ} \right )=\tan \theta

dengan k merupakan periode dan dalam bilangan asli.

Sekarang kita coba mencari nilai dari cos 945°. Kita tentukan periodenya. k = 945°/360° = 2,625 ≈ 2, maka:

\displaystyle \cos \left ( \theta+k\cdot 360^{\circ} \right )=\cos \theta\\ \cos 945^{\circ}=\cos \left ( 225^{\circ}+2\cdot 360^{\circ} \right )\\ =\cos 225^{\circ}\\ =\cos \left ( 180^{\circ}+45^{\circ} \right )\\ =-\cos 45^{\circ} \\=-\frac{1}{2}\sqrt{2}

atau

\displaystyle \cos \left ( \theta+k\cdot 360^{\circ} \right )=\cos \theta\\ \cos 945^{\circ}=\cos \left ( 225^{\circ}+2\cdot 360^{\circ} \right )\\ =\cos 225^{\circ}\\ =\cos \left ( 270^{\circ}-45^{\circ} \right )\\ =-\sin 45^{\circ} \\=-\frac{1}{2}\sqrt{2}

Mengkonversi Satuan Derajat ke Radian dan Sebaliknya

Sebenarnya di Google atau buku-buku matematika SMA/SMK banyak yang membahas ini tetapi tujuan saya memposting ini karena ingin menujukkan cara yang mungkin lebih mudah dipahami, yaitu menggunakan perbandingan senilai. Cara ini menggunakan patokan 1 radian = 180°.

  • Mengkonversi Satuan Derajat ke Radian

Contoh soal: Ubah 165° ke satuan radian!

\displaystyle \frac{180^{\circ}}{\pi \mathrm{rad}}=\frac{165^{\circ}}{x}\\ x=\frac{165}{180}\, \pi \mathrm{rad}\\ x=\frac{11\pi}{12}\mathrm{rad}

Silahkan coba untuk soal-soal lainnya yang sedang anda akan kerjakan!

  • Mengkonversi satuan Radian ke Derajat

Ini adalah sebaliknya dari yang tadi. Contoh soal: Ubah π/12 rad ke satuan derajat!

\displaystyle \frac{\pi \mathrm{rad}}{180^{\circ}}=\frac{\frac{\pi}{12}\mathrm{rad}}{x}\\ 12=\frac{180^{\circ}}{x}\\ x=15^{\circ}

Silahkan coba untuk soal-soal lainnya yang sedang anda akan kerjakan!

Hubungan Koordinat Cartesius dengan Koordinat Polar/Kutub

Dalam koordinat Cartesius suatu titik (misal titik P) dinyatakan dengan P(x, y), tetapi pada koordinat polar titik P dinyatakan dengan P(r, θ) yang mana r merupakan jarak titik P ke titik pangkal (0, 0) dan θ besar sudut garis r dengan sumbu X. Perhatikan gambar berikut:

hub cartesius polar

Berdasarkan gambar x dan y dapat diubah menjadi r cos θ dan r sin θ dan r dihitung denngan rumus Pythagoras r = √(x² + y²), sedangkan θ dihitung dari invers fungsi tangen θ = arctan (y/x) dan dalam mengkonversikan harus memerhatikan letak titik di kuadran berapa! Contoh soal:

  • Konversikan titik A(-3, 3√3) ke koordinat kutub!

Letak titik A berada di kuadran II. Hitung r dengan rumus Pythagoras:

\displaystyle r=\sqrt{x^2+y^2}\\ =\sqrt{\left ( -3 \right )^2+\left ( 3\sqrt{3} \right )^2}=6\\ \\ \theta =\tan^{-1}\left ( \frac{y}{x} \right )\\ =\tan^{-1}\left ( \frac{3\sqrt{3}}{-3} \right )=120^{\circ}

Jadi koordinat kutubnya A(6, 120°).

 

Sekarang kita konversikan balik ke koordinat Cartesius.

\displaystyle x=r\cos \theta \\ =6\cos 120^{\circ}=-3\\ \\y=r\sin \theta \\ =6\sin 120^{\circ}=3\sqrt{3}

Jadi koordinat Cartesiusnya A(-3, 3√3).

 

Catatan sebelum mengkonversi:

  • Dari koordinat Cartesius ke kutub/polar

Perhatikan tanda + dan – pada x dan y! Pada kuadran I, (x, y); kuadran II, (-x, y), kuadran III, (-x, –y) dan kuadran IV, (x, –y).

  • Dari koordinat polar ke Cartesius

Perhatikan besar sudutnya (θ)! Kuadran I, 0° <= θ <= 90°; Kuadran II, 90° <= θ <= 180°; Kuadran III, 180° <= θ <= 270° dan Kuadran IV, 270° <= θ <= 360°.

Evaluate csc² (π/7) + csc² (2π/7) + csc² (3π/7)

Bagi banyak orang soal ini dianggap terlalu rumit untuk dikerjakan. Sebenarnya tidak hanya penyelesaiannya panjang. Sebelumnya saya juga pernah kesulitan untuk menaklukkan soal ini. Saya cari di Google dan fb jawabannya 8. Penyelesaian yang diberikan melibatkan teorema Vieta seperti https://brainly.co.id/tugas/10633967. Di situ soal dijadikan suatu bentuk dan dimisalkan π/7, 2π/7 & 3π/7 menjadi akar-akar persamaan kubik dari penyelesaian soal yang mana persamaan nya adalah 64 (sin² x)³ – 112 (sin² x)² + 56 sin² x – 7 = 0. Sayangnya penyelesaian ini tidak sah! Mengapa? Coba anda masukkan akar-akarnya ke persamaan. Ternyata akar 2π/7 saat dimasukkan persamaanya tidak sama dengan 0. Yang saya heran kok bisa soal ini dibawa ke bentuk persamaan kubik dan hasil perhitungan benar? Maka dari itu setelah saya bisa menyelesaikan dengan jalan yang benar, saya publikasikan ini untuk semua!

Perhatikan pada https://brainly.co.id/tugas/10633967 foto kedua penyelesaian sebelum hasil akhir, ia menjadikan bentuk itu ke persamaan kubik. Justru itu adalah kesalahan yang cukup fatal karena menyebabkan penyelesaian tidak sah! Beginilah penyelesaian yang sah!

\displaystyle \csc^2 \frac{\pi}{7}+\csc^2 \frac{2\pi}{7}+\csc^2 \frac{3\pi}{7}\\ =\frac{1}{\sin^2 \frac{\pi}{7}}+\frac{1}{\sin^2 \frac{2\pi}{7}}+\frac{1}{\sin^2 \frac{3\pi}{7}}\\ =\frac{2}{1-\cos \frac{2\pi}{7}}+\frac{2}{1-\cos \frac{4\pi}{7}}+\frac{2}{1-\cos \frac{6\pi}{7}}\\=\frac{2}{1+\cos \frac{5\pi}{7}}+\frac{2}{1+\cos \frac{3\pi}{7}}+\frac{2}{1+\cos \frac{\pi}{7}}\\ =2\left [ \frac{\left ( 1+\cos \frac{3\pi}{7} \right )\left ( 1+\cos \frac{\pi}{7} \right )+\left ( 1+\cos \frac{5\pi}{7} \right )\left ( 1+\cos \frac{\pi}{7} \right )+\left ( 1+\cos \frac{5\pi}{7} \right )\left ( 1+\cos \frac{3\pi}{7} \right )}{\left ( 1+\cos \frac{5\pi}{7} \right )\left ( 1+\cos \frac{3\pi}{7} \right )\left ( 1+\cos \frac{\pi}{7} \right )} \right ]\\=2\left [ \frac{3+2\cos \frac{3\pi}{7}+2\cos \frac{\pi}{7}+2\cos \frac{5\pi}{7}+\cos \frac{\pi}{7}\cos \frac{3\pi}{7}+\cos \frac{3\pi}{7}\cos \frac{5\pi}{7}+\cos \frac{5\pi}{7}\cos \frac{\pi}{7}}{\left ( 1+\cos \frac{5\pi}{7} \right )\left ( 1+\cos \frac{3\pi}{7} \right )\left ( 1+\cos \frac{\pi}{7} \right )} \right ]\\ =2\left [ \frac{3+2\cos \frac{3\pi}{7}+2\cos \frac{\pi}{7}+2\cos \frac{5\pi}{7}+\frac{1}{2}\left ( -\cos \frac{3\pi}{7}-\cos \frac{5\pi}{7}-\cos \frac{\pi}{7}-\cos \frac{5\pi}{7}-\cos \frac{\pi}{7}-\cos \frac{3\pi}{7} \right )}{\left ( 1+\cos \frac{5\pi}{7} \right )\left ( 1+\cos \frac{3\pi}{7} \right )\left ( 1+\cos \frac{\pi}{7} \right )} \right ]\\=2\left ( \frac{3+\cos \frac{3\pi}{7}+\cos \frac{\pi}{7}+\cos \frac{5\pi}{7}}{1+\cos \frac{5\pi}{7}\cos \frac{3\pi}{7}\cos \frac{\pi}{7}} \right )\\ =2\left ( \frac{3+\frac{2\sin \frac{\pi}{7}\cos \frac{\pi}{7}+2\sin \frac{\pi}{7}\cos \frac{3\pi}{7}+2\sin \frac{\pi}{7}\cos \frac{5\pi}{7}}{2\sin \frac{\pi}{7}}}{1+\frac{2\sin \frac{\pi}{7}\cos \frac{\pi}{7}\cos \frac{2\pi}{7}\cos \frac{4\pi}{7}}{2\sin \frac{\pi}{7}}} \right )
Lanjutannya:

\displaystyle =2\left ( \frac{3+\frac{\sin \frac{\pi}{7}}{2\sin \frac{\pi}{7}}}{1+\frac{2\sin \frac{4\pi}{7}\cos \frac{4\pi}{7}}{8\sin \frac{\pi}{7}}} \right )\\=2\left [ \frac{3+\frac{1}{2}}{1+\frac{\sin \left ( \pi+\frac{\pi}{7} \right )}{8\sin \frac{\pi}{7}}} \right ]\\\\ =2\left ( \frac{\frac{7}{2}}{1-\frac{1}{8}} \right )\\=8

 

Bonus soal yang sebenarnya dapat dikatakan soal terstruktur:

\displaystyle \cot^2 \frac{\pi}{7}+\cot^2 \frac{2\pi}{7}+\cot^2 \frac{3\pi}{7}\\ =\csc^2 \frac{\pi}{7}-1+\csc^2 \frac{2\pi}{7}-1+\csc^2 \frac{3\pi}{7}-1\\ =8-3\\ =5

 

Silakhan anda buktikan 2 soal terstruktur ini:

\displaystyle \sec^2 \frac{\pi}{7}+\sec^2 \frac{2\pi}{7}+\sec^2 \frac{3\pi}{7}=24\\ \tan^2 \frac{\pi}{7}+\tan^2 \frac{2\pi}{7}+\tan^2 \frac{3\pi}{7}=21