Soal Identitas Trigonometri Tersulit di Dunia Beserta Penyelesaiannya

Mungkin layak soal ini mendapatkan ‘gelar’ tersebut. Soal ini saya peroleh dari Yahoo Answers Amerika Serikat setahun yang lalu dari seorang dosen matematika. Sayangnya saya lupa tautan (link) nya. Saya bilang luar biasa sang pembuat soal ini! Soal tersebut adalah (saya modifikasi terjemahannya dalam bahasa Indonesia) karena saya lupa bunyinya, Buktikan bahwa:

\displaystyle \frac{4\cos^4 x-4\sin x\cos^3 x-2\sin^2 x\tan x-\tan^2 x-2\cos 2x}{\sec^2x+\cos 2x}=\cos 2x-\sin 2x

 

Jawab:

\displaystyle \frac{4\cos^4 x-4\sin x\cos^3 x-2\sin^2 x\tan x-\tan^2 x-2\cos 2x}{\sec^2x+\cos 2x}\\= \frac{2\cos^2 x}{2\cos^2 x}~\frac{4\cos^4 x-4\sin x\cos^3 x-2\sin^2 x\frac{\sin x}{\cos x}-\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}-2\cos 2x}{\frac{1}{\cos^2 x}+\cos 2x}\\ =\frac{8\cos^6 x-8\sin x\cos^5 x-4\sin^3 x\cos x-2\sin^2 x-4\cos 2x\cos^2 x}{2+2\cos^2 x\cos 2x}\\ =\frac{(2\cos^2 x)^3-(2\sin x\cos x)(2\cos^2 x)^2-(2\sin x\cos x)(2\sin^2 x)-2\sin^2 x-(2\cos 2x)(2\cos^2 x)}{2+(\cos 2x)(2\cos^2 x)}\\ =\frac{(1+\cos 2x)^3-(\sin 2x)(1+\cos 2x)^2-(\sin 2x)(1-\cos 2x)-(1-\cos 2x)-(2\cos 2x)(1+\cos 2x)}{2+\cos 2x(1+\cos 2x)}\\=\frac{(1+3\cos 2x+3\cos^2 x+\cos^3 2x)-(\sin 2x)(1+2\cos 2x+\cos^2 x)-(\sin 2x)(1-\cos 2x)-(1-\cos 2x)-(2\cos 2x)(1+\cos 2x)}{2+\cos 2x+\cos^2 x}\\ =\frac{1+3\cos 2x+3\cos^2 x+\cos^3 2x-\sin 2x-2\sin 2x\cos 2x-\sin 2x\cos^2 x-\sin 2x+\sin 2x\cos 2x-1+\cos 2x-2\cos 2x-2\cos^2 2x}{2+\cos 2x+\cos^2 x}\\ =\frac{2\cos 2x+\cos^2 2x+\cos^3 2x-2\sin 2x-\sin 2x\cos 2x-\sin 2x\cos^2 2x}{2+\cos 2x+\cos^2 x}\\ =\frac{\cos 2x(2+\cos 2x+\cos^2 2x)-\sin 2x(2+\cos 2x+\cos^2 2x)}{2+\cos 2x+\cos^2 x}\\ =\frac{(\cos 2x-\sin 2x)(2+\cos 2x+\cos^2 2x)}{(2+\cos 2x+\cos^2 2x)}\\ =\cos 2x-\sin 2x
Terbukti!

Iklan

Menyelesaikan Persamaan Kuadrat dan Menyusun Persamaan Kuadrat

Ada 3 metode untuk menyelesaikan ini, yaitu dengan pemfaktoran, melengkapi kuadrat sempurna dan mengunakan ‘rumus abc’.

  • Metode Pemfaktoran

Selesaikanlah persamaan kuadrat x² – 2x – 8 = 0! Untuk menyelesaikan ini faktorkan ruas kiri:

\displaystyle x^2-2x-8=x^2+(p+q)x+pq\\ \left.\begin{matrix} p+q=-2\\ pq=-8 \end{matrix}\right\} p=-4\, \textrm{dan}\, q=2\\ x^2-2x-8=(x+p)(x+q)\\ =(x-4)(x+2)\\ \\x^2-2x-8=0\\ (x-4)(x+2)=0\\ x-4=0\rightarrow x_1=4\\ \textrm{atau}\\ x+2=0\rightarrow x_2=-2

Jadi akar-akar nya 4 dan -2.

Untuk metode ini apabila persamaan sulit difaktorkan diharuskan menggunakan metode lain untuk menyelesaikannya!

  • Metode Melengkapkan Kuadrat Sempurna

Untuk menyelesaikan persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0 dengan metode ini, ubah persamaan menjadi ax² + bx = –c lalu tambahkan kedua ruas dengan [b / (2a)]². Masih dengan soal yang sama, Selesaikanlah persamaan kuadrat x² – 2x – 8 = 0!

\displaystyle x^2-2x-8=0\\ x^2-2x=8\\ x^2-2x+\left ( \frac{-2}{2(1)} \right )^2=8+\left ( \frac{-2}{2(1)} \right )^2\\ x^2-2x+1=9\\ (x-1)^2=9\\ x-1=\pm 3\\x-1=3\rightarrow x_1=4\\ \textrm{atau}\\ x-1=-3\rightarrow x_2=-2
Kadang beberapa soal sulit diselesaikan menggunakan metode ini. maka metode menggunakan ‘rumus abc’ adalah yang terampuh untuk menyelesaikannya.

  • Menggunakan Rumus Kuadratik

Soal masih sama. Saya sengaja begini agar menunjukkan ketiga metode ini berfungsi dengan baik. Selesaikanlah persamaan kuadrat x² – 2x – 8 = 0!

\displaystyle x^2-2x-8=0\\ a=1,b=-2,c=-8\\ x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\ x_{1,2}=\frac{2\pm\sqrt{(-2)^2-4(1)(-8)}}{2(1)}\\x_1=4\, \textrm{atau}\, x_2=-2

 
Menyusun Persamaan Kuadrat Jika Diketahui Akar-Akarnya.

Bagi kedua ruas dengan a pada bentuk umum persamaan kuadrat lalu operasikan:

\displaystyle ax^2+bx+c=0\\ x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0\\ x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2=0~...(*)\\ x-x_1x-x_2x+x_1x_2=0\\ (x-x_1)(x-x_2)=0~...(**)

Dari uraian di atas ada dua cara untuk menyelesaikannya. Contoh soal:

Susunlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya 2/3 dan -5!

  • Cara Pertama
\displaystyle x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2=0\\\\ x^2-\left ( \frac{2}{3}-5 \right )x+\frac{2}{3}(-5)=0\\ x^2+\frac{13}{3}x-\frac{10}{3}=0\\ 3x^2+13x-10=0
  • Cara Kedua
\displaystyle (x-x_1)(x-x_2)=0\\ \left ( x-\frac{2}{3} \right )\left ( x+5 \right )=0\\ x^2+5x-\frac{2}{3}x-\frac{10}{3}=0\\ 3x^2+13x-10=0

Pendahuluan Mengenai Persamaan Kuadrat

Persamaan kuadrat merupakan polinomial (suku banyak) berorde dua yang mana bentuk umumnya ax² + bx + = 0 dengan a ≠ 0. Persamaan ini mempunyai dua penyelesaian yang disebut akar-akar persamaan kuadrat. Kita turunkan rumus untuk menentukan akar-akar nya:

\displaystyle ax^2+bx+c=0\\ 4a^2x^2+4abx=-4ac\\ 4a^2x^2+4abx+b^2=-4ac+b^2\\ (2ax+b)^2=b^2-4ac\\ \boxed{x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}}

D = b² – 4ac yang mana D disebut dengan diskriminan. Berdasarkan rumus di atas dapat disimpulkan:

\displaystyle x_1=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}\, \textrm{atau}\, x_2=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}

 

  • Jumlah Akar-Akar Persamaan Kuadrat
\displaystyle x_1+x_2=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}+\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}\\ x_1+x_2=\frac{-2b}{2a}\\ \boxed {x_1+x_2=-\frac{b}{a}}
  • Hasil Kali Akar-Akar Persamaan Kuadrat
\displaystyle x_1x_2=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}\, \frac{-b-\sqrt{D}}{2a}\\ x_1x_2=\frac{b^2-D}{4a^2}\\ x_1x_2=\frac{b^2-(b^2-4ac)}{4a^2}\\ \boxed {x_1x_2=\frac{c}{a}}

Kedua rumus terakhir ini termasuk dalam teorema Vieta.

Pemfaktoran Trinomial

Kali ini saya akan membahas bagaimana memfaktorkan bentuk ax² + bx + c dengan a = 1 dan a ≠ 1. Sebenarnya ini sudah diajarkan di SMP kelas VIII, tetapi saya akan menurunkan asal usulnya mengapa kalau a = 1 atau a ≠ 1 harus begitu cara memfaktorkannya.

  • Memfaktorkan aljabar bentuk ax² + bx + c dengan a = 1

Karena a = 1 ini berati menjadi x² + bx + c. Kita ubah menjadi:

\displaystyle x^2+bx+c\\ =(x+p)(x+q)\\ =x^2+px+qx+pq\\ =x^2+(p+q)x+pq

Berdasarkan kesamaan ruas kiri dengan ruas kanan dapat disimpulkan:\displaystyle p+q=b\, \textrm{dan}\, pq=c

Contoh soal: Faktorkan x² + 7x + 12!

\displaystyle x^2+7x+12=x^2+(p+q)x+pq\\ \left.\begin{matrix} p+q=7\\ pq=12 \end{matrix}\right\} p=3\, \textrm{dan}\, q=4\, \textrm{atau sebaliknya}\\ x^2+7x+12=(x+p)(x+q)\\ =(x+3)(x+4)

 

  • Memfaktorkan aljabar bentuk ax² + bx + c dengan a ≠ 1

Kita ubah ax² + bx + c menjadi:

\displaystyle ax^2+bx+c\\ =a\left ( x+\frac{p}{a} \right )\left ( x+\frac{q}{a} \right )\\ =\left ( ax+p \right )\left ( x+\frac{q}{a} \right )\\ =ax^2+px+qx+\frac{pq}{a}\\ =ax^2+(p+q)x+\frac{pq}{a}

Berdasarkan kesamaan ruas kiri dengan ruas kanan dapat disimpulkan:\displaystyle p+q=b\, \textrm{dan}\, pq=ac

Contoh soal: Faktorkan 2x² + 3x – 14!

\displaystyle 2x^2+3x-14=2x^2+(p+q)x+\frac{pq}{a}\\ \left.\begin{matrix} p+q=3\\ pq=-28 \end{matrix}\right\} p=-4\, \textrm{dan}\, q=7\, \textrm{atau sebaliknya}\\ 2x^2+3x-14=2\left ( x+\frac{p}{a} \right )\left ( x+\frac{q}{a} \right )\\=2\left ( x+\frac{-4}{2} \right )\left ( x+\frac{7}{2} \right )\\ =(2x+7)(x-2)