Pembahasan Soal OSN Fisika 2003 SMA Bab Gerak Parabola

Bunyi soal sebagai berikut:

Sebuah peluru A ditembakkan dengan sudut elevasi α1. Setelah selang waktu T, peluru B ditembakkan dengan sudut elevasi α2. Kecepatan kedua peluru sama yaitu v0. Hitung T agar kedua peluru bertumbukan di udara!

Jawaban:

Agar kedua peluru bertumbukan jika v0 sama, α1 < α2 dan Jarak jangkau keduanya (x maks), x maks 1 < x maks 2. Misal waktu bola A dari ditembakkan sampai ke titik P adalah tA = t dan waktu bola B dari ditembakkan sampai ke titik P adalah tB = tT (T bukan periode). Perhatikan gambar berikut:

Skema Soal Olimpiade

Terlihat bahwa jarak tempuh bola A dan B sama saat bertumbukan di titik P (XA = XB) dan tingginya dari tanah (YA = YB) juga sama, sehingga diperoleh persamaan:

\displaystyle x_A=x_B\\ v_0\cos \alpha_1~t=v_0\cos \alpha_2~(t-T)\, ...(1)\\ Y_A=Y_B\\ v_0\sin \alpha_1~t-\frac{1}{2}gt^2=v_0\sin \alpha_2~(t-T)-\frac{1}{2}g(t-T)^2~...(2)

Sekarang kita operasikan persamaan (1). Inti dari soal ini adalah merumuskan T. Saya coba dengan merumuskan t terlebih daluhu kemudian mengoperasikan persamaan (2) lalu disubstitusikan:

\displaystyle x_A=x_B\\ v_0\cos \alpha_1~t=v_0\cos \alpha_2~(t-T)\\ \cos \alpha_1~t=\cos \alpha_2~t-\cos \alpha_2~T\\ \cos \alpha_2~t-\cos \alpha_1~t=\cos \alpha_2~T\\ t=\frac{\cos \alpha_2~T}{\cos \alpha_2-\cos \alpha_1}~...(3)

Kalikan kedua ruas dengan 2 pada persamaan (2) kemudian operasikan:

\displaystyle y_A=y_B\\ v_0\sin \alpha_1~t-\frac{1}{2}gt^2=v_0\sin \alpha_2~(t-T)-\frac{1}{2}g(t-T)^2\\ 2v_0\sin \alpha_1~t-gt^2=2v_0\sin \alpha_2~(t-T)-g(t-T)^2\\ 2v_0\sin \alpha_1~t-2v_0\sin \alpha_2~(t-T)=gt^2-g(t-T)^2\\ 2v_0[\sin \alpha_1~t-\sin \alpha_2~(t-T)]=g[t^2-(t-T)^2]\\ 2v_0(\sin \alpha_1~t-\sin \alpha_2~t+\sin \alpha_2~T)=gT(2t-T)...(4)

Substitusi persamaan (3) ke persamaan (4) yang sudah diubah bentuknya sehingga:

\displaystyle 2v_0(\sin \alpha_1~t-\sin \alpha_2~t+\sin \alpha_2~T)=gT(2t-T) \\2v_0(\sin \alpha_1-\sin \alpha_2)t+2v_0\sin \alpha_2~T=gT(2t-T)\\ 2v_0(\sin \alpha_1-\sin \alpha_2)\frac{\cos \alpha_2~T}{\cos \alpha_2-\cos \alpha_1}+2v_0\sin \alpha_2~T=gT\left ( 2\frac{\cos \alpha_2~T}{\cos \alpha_2-\cos \alpha_1}-T \right )\\ 2v_0T\left [ \frac{(\sin \alpha_1-\sin \alpha_2)\cos \alpha_2}{\cos \alpha_2-\cos \alpha_1}+\sin \alpha_2 \right ]=gT^2\left ( 2\frac{\cos \alpha_2}{\cos \alpha_2-\cos \alpha_1}-1 \right )\\ 2v_0\left [ \frac{(\sin \alpha_1-\sin \alpha_2)\cos \alpha_2+\sin \alpha_2(\cos \alpha_2-\cos \alpha_1)}{\cos \alpha_2-\cos \alpha_2} \right ]=gT\left [ \frac{2\cos \alpha_2-(\cos \alpha_2-\cos \alpha_1)}{\cos \alpha_2-\cos \alpha_2} \right ]\\ 2v_0(\sin \alpha_1\cos \alpha_2-\sin \alpha_2\cos \alpha_2+\sin \alpha_2\cos \alpha_2-\sin \alpha_2\cos \alpha_1)=gT(\cos \alpha_2+\cos \alpha_1)\\ 2v_0(\sin \alpha_1\cos \alpha_2-\cos \alpha_1\sin \alpha_2)=gT(\cos \alpha_2+\cos \alpha_1)\\ T=\frac{2v_0\sin (\alpha_1-\alpha_2)}{g(\cos \alpha_1+\cos \alpha_2)}

Iklan

Rumus Cepat yang Penting Dalam Gerak Parabola

Ada 3 rumus cepat yang akan saya turunkan untuk menyelesaikan soal-soal dengan data yang diketahui sebagai berikut dan ini hanya berlaku untuk soal yang lintasannya berupa parabola penuh:

  • Diketahui jarak maksimum dan sudut elevasi. Ditanyakan tinggi maksimum yang dicapai. Rumusnya \displaystyle y_{\textrm{maks}}=\frac{1}{4}\: x_{\textrm{maks}}\tan \theta

Contoh soal:

Dalam sebuah tendangan bebs pada permainan sepak bola, agar titik tertinggi dan titik terjauh yang dapat dicapai bola sama, bola harus ditendang dengan sudut elevasi θ, harga tan θ adalah …

Untuk menuruknan rumus tersebut, bandingkan rumus y maks dengan x maks, sehingga:

\displaystyle \frac{y_{\textrm{maks}}}{x_{\textrm{maks}}}=\frac{\frac{v_0^2\sin^2\theta}{2g}}{\frac{v_0^2\sin 2\theta}{g}}\\ \frac{y_{\textrm{maks}}}{x_{\textrm{maks}}}=\frac{v_0^2\sin^2\theta}{2g}\: \frac{g}{2v_0^2\sin\theta \cos\theta }\\ \frac{y_{\textrm{maks}}}{x_{\textrm{maks}}}=\frac{\sin \theta }{4\cos\theta }\\ \boxed {y_{\textrm{maks}}=\frac{1}{4}\: x_{\textrm{maks}}\tan \theta }\\ \tan \theta=\frac{4y_{\textrm{maks}}}{x_{\textrm{maks}}}=\frac{4x_{\textrm{maks}}}{x_{\textrm{maks}}}=4

  • Diketahui hanya tinggi maksimum yang dicapai. Ditanyakan waktu berada di udara.

Dari rumus waktu yang diperlukan selama di udara \displaystyle {t_{\textrm{maks}}}=2\frac{v_0\sin \theta }{g}, kuadratkan kedua ruas menjadi \displaystyle ({t_{\textrm{maks}}})^2=4\frac{v_0^2\sin^2 \theta }{g^2}. Berdasarkan rumus tinggi maksimum yang dicapai \displaystyle y_{\textrm{maks}}=\frac{v_0^2\sin^2\theta}{2g}, maka:

\displaystyle (t_{\textrm{maks}})^2=\frac{4}{g}\: 2y_{\textrm{maks}}\\ \boxed {t_{\textrm{maks}}=\sqrt{\frac{8y_{\textrm{maks}}}{g}}}

Contoh soal:

Sebuah bola ditendang mengikuti gerakan parabola. Jika titik tertinggi yang dapat dicapai 45 m dan g = 10 m/s², lama waktu bola di udara adalah …

\displaystyle {t_{\textrm{maks}}}=\sqrt{\frac{8y_{\textrm{maks}}}{g}}\\ =\sqrt{\frac{8(45\mathrm{m})}{10~\mathrm{m/s^2}}}=6~s

  • Diketahui hanya sudut elevasi. Ditanyakan perbandingan jarak maksimum dengan tinggi maksimum yang dicapai.

Caranya sama seperti soal pertama dalam menurunkan rumusnya, diperoleh:

\displaystyle \boxed {\frac{x_{\textrm{maks}}}{y_{\textrm{maks}}}=4\cot \theta }

Contoh soal:

Apabila besar sudut antara arah horizontal dan arah tembak suatu peluru adalah 53°, perbandingan antara jarak tembak dalam arah mendatar dengan tinggi maksimum peluru adalah …

Jarak tembak maksimum adalah x maks. sin 53° = 4/5. Dengan menggunakan perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku, cot 53° = 3/4 sehingga:

\displaystyle \frac{x_{\textrm{maks}}}{y_{\textrm{maks}}}=4\cot 53^{\circ}\\ \frac{x_{\textrm{maks}}}{y_{\textrm{maks}}}=4\left ( \frac{3}{4} \right )\\ x_{\textrm{maks}}\: :\: y_{\textrm{maks}}=3:1

Metode Pecahan Parsial Sebagai Alternatif Metode Ostrogradsky

Ada satu metode yang tidak saya dapati di mata kuliah Matematika Dasar saat memelajari kalkulus integral, yaitu metode Ostrogradsky. Tahu metode ini dari buku KALKULUS penulis H.M. Hasyim Baisuni. Kebetulan ada soal dari buku ini yang melibatkan metode tersebut pada halaman 194 nomor 24. Walau sudah saya pelajari secara otodidak metodenya, saya masih belum paham. Maka dari itu saya selesaikan dengan metode partial fraction decomposition. Soal tersebut ialah ∫ dx / ((x + 1)(x^2 + x + 1)²). Ternyata panjang dan memerlukan ketelitian untuk soal ini.

\displaystyle \frac{1}{(x+1)(x^2+x+1)^2}=\frac{A}{x+1}+\frac{Bx+C}{x^2+x+1}+\frac{Dx+E}{(x^2+x+1)^2}\\ \frac{1}{(x+1)(x^2+x+1)^2}=\frac{A(x^2+x+1)^2+(Bx+C)(x+1)(x^2+x+1)+(Dx+E)(x+1)}{(x+1)(x^2+x+1)^2}\\ 1=Ax^4+2Ax^3+3Ax^2+2Ax+A+Bx^4+2Bx^3+2Bx^2+Bx+Cx^3+2Cx^2+2Cx+C+Dx^2+Dx+Ex+E\\ 1=(A+B)x^4+(2A+2B+C)x^3+(3A+2B+2C+D)x^2+(2A+B+2C+D+E)x+(A+C+E)

A + B = 0 → A = –B

♦ 2A + 2B + C = 0

2(-B) + 2B + C = 0 → C = 0

♦ 3A + 2B + 2C + D = 0

3(-B) + 2B + 2(0) + D = 0

B + D = 0 → B = D

♦ 2A + B + 2C + D + E  =0

2(-B) + B + 2(0) + B + E = 0 → E = 0

A + C + E = 1

A + 0 + 0 = 1 → A = 1B = -1D = -1

\displaystyle \int \frac{dx}{(x+1)(x^2+x+1)^2}=\int \left (\frac{1}{x+1}-\frac{x}{x^2+x+1}-\frac{x}{(x^2+x+1)^2} \right )dx

Selesaikan soal ini menjadi 3 bagian:

  • Bagian pertama: ∫ dx / (x + 1)

Sangat mudah diselesaikan! Dengan metode substitusi diperoleh:

\displaystyle \int \frac{dx}{x+1}\: dx=\ln |x+1|

Ingat! Penggunaan konstanta (C) di penyelesaian akhir.

  • Bagian kedua: ∫ dx / (x² + x + 1)

\displaystyle \int \frac{x}{x^2+x+1}\\ =\int \frac{\frac{1}{2}(2x+1)-\frac{1}{2}}{x^2+x+1}\: dx=\frac{1}{2}\int \left ( \frac{2x+1}{x^2+x+1}-\frac{1}{x^2+x+1} \right )dx

◊ Sub bagian kedua i: ∫ (2x + 1) / (x² + x + 1) dx

\displaystyle \int \frac{2x+1}{x^2+x+1}\\ u=x^2+x+1\rightarrow \frac{du}{dx}=2x+1\\ =\int \frac{du}{u}\\ =\ln |u|=\ln (x^2+x+1)

◊ Sub bagian kedua ii: ∫ dx / (x² + x + 1)

\displaystyle \int \frac{dx}{x^2+x+1}\\ =\int \frac{dx}{x^2+x+\left ( \frac{1}{2} \right )^2-\left ( \frac{1}{2} \right )^2+1}\\ =\int \frac{dx}{\left ( x+\frac{1}{2} \right )^2+\frac{3}{4}}

Berdasarkan rumus \displaystyle \int \frac{du}{a^2+u^2}=\frac{\tan^{-1}\left ( \frac{u}{a} \right )}{a}+C, a>0, dan misal a² = ¾ & u = x + ½, maka:

\displaystyle =\frac{\tan^{-1}\left ( \frac{x+\frac{1}{2}}{\sqrt{\frac{3}{4}}} \right )}{\sqrt{\frac{3}{4}}}=\frac{2\tan^{-1}\left ( \frac{2x+1}{\sqrt{3}} \right )}{\sqrt{3}}

Jadi:

\displaystyle \int \frac{x}{x^2+x+1}dx\\ =\frac{1}{2}\int \left ( \frac{2x+1}{x^2+x+1}-\frac{1}{x^2+x+1} \right )dx\\ =\frac{1}{2}\left [ \ln (x^2+x+1)-\frac{2\tan^{-1}\left ( \frac{2x+1}{\sqrt{3}} \right )}{\sqrt{3}} \right ]\\ =\frac{\ln (x^2+x+1)}{2}-\frac{\tan^{-1}\left ( \frac{2x+1}{\sqrt{3}} \right )}{\sqrt{3}}

  • Bagian ketiga: ∫ dx / (x² + x + 1)²

Sama seperti pada bagian kedua: \displaystyle \int \frac{x}{(x^2+x+1)^2}dx=\frac{1}{2}\int \left [\frac{2x+1}{(x^2+x+1)^2}-\frac{1}{(x^2+x+1)^2} \right ]dx

◊ Sub bagian ketiga i: ∫ (2x + 1) / (x² + x + 1)² dx

Dengan metode substitusi diperoleh:

\displaystyle \int \frac{2x+1}{(x^2+x+1)^2}\: dx=-\frac{1}{x^2+x+1}

◊ Sub bagian ketiga ii: ∫ dx / (x² + x + 1)²

\displaystyle \int \frac{dx}{(x^2+x+1)^2}\: dx\\ =\int \frac{dx}{\left [\left ( x+\frac{1}{2} \right )^2+\frac{3}{4} \right ]^2}\\ =\int \left [\frac{1}{\left (x+\frac{1}{2} \right )^2+\frac{3}{4}} \right ]^2dx\\ =\int \left [\frac{4}{4\left (x^2+x+\frac{1}{4}+\frac{3}{4} \right )} \right ]^2dx\\ =16\int \frac{dx}{[(2x+1)^2+3]^2}\\ u=2x+1\rightarrow \frac{du}{dx}=2\\ =8\int \frac{du}{(u^2+3)^2}

Ingat kembali rumus reduksi \displaystyle \int \frac{dx}{(ax^2+b)^n}=\frac{2n-3}{2b(n-1)}\int \frac{dx}{(ax^2+b)^{n-1}}+\frac{x}{2b(n-1)(ax^2+b)^{n-1}}+C, sehingga diperoleh:

\displaystyle =8\left [ \frac{u}{6(u^2+3)}+\frac{1}{6}\int \frac{du}{u^2+3} \right ]\\ =\frac{4u}{3(u^2+3)}+\frac{4}{3}\frac{\tan^{-1}\left ( \frac{u}{3} \right )}{\sqrt{3}}\\ =\frac{4(2x+1)}{3[(2x+1)^2+3]}+\frac{4\tan^{-1}\left ( \frac{2x+1}{\sqrt{3}} \right )}{3\sqrt{3}}

Jadi:

\displaystyle \int \frac{x}{(x^2+x+1)^2}dx\\ =\frac{1}{2}\int \left [\frac{2x-1}{(x^2+x+1)^2}-\frac{1}{(x^2+x+1)^2} \right ]dx\\ =\frac{1}{2}\left \{ -\frac{1}{x^2+x+1}-\left [ \frac{4(2x+1)}{3[(2x+1)^2+3]}+\frac{4\tan^{-1}\left ( \frac{2x+1}{\sqrt{3}} \right )}{3\sqrt{3}} \right ] \right \}\\ =-\frac{1}{2(x^2+x+1)}-\frac{2(2x+1)}{3[(2x+1)^2+3]}-\frac{2\tan^{-1}\left ( \frac{2x+1}{\sqrt{3}} \right )}{3\sqrt{3}}

Jawaban dari soal ini adalah:

\displaystyle \int \frac{dx}{(x+1)(x^2+x+1)^2}\\ =\int \left [\frac{1}{x+1}-\frac{x}{x^2+x+1}-\frac{x}{(x^2+x+1)^2} \right ]dx\\ =\ln |x+1|-\left [ \frac{\ln (x^2+x+1)}{2}-\frac{\tan^{-1}\left ( \frac{2x+1}{\sqrt{3}} \right )}{\sqrt{3}} \right ]-\left [-\frac{1}{2(x^2+x+1)}-\frac{2(2x+1)}{3[(2x+1)^2+3]}-\frac{2\tan^{-1}\left ( \frac{2x+1}{\sqrt{3}} \right )}{3\sqrt{3}} \right ]+C\\ =\ln |x+1|-\frac{\ln (x^2+x+1)}{2}+\frac{5\tan^{-1}\left ( \frac{2x+1}{\sqrt{3}} \right )}{3\sqrt{3}}+\frac{1}{2(x^2+x+1)}+\frac{4x+2}{12(x^2+x+1)}+C\\ =\ln |x+1|-\frac{\ln (x^2+x+1)}{2}+\frac{5\tan^{-1}\left ( \frac{2x+1}{\sqrt{3}} \right )}{3\sqrt{3}}+\frac{6+4x+2}{12(x^2+x+1)}+C\\ =\ln |x+1|-\frac{\ln (x^2+x+1)}{2}+\frac{5\sqrt{3}\tan^{-1}\left ( \frac{2x+1}{\sqrt{3}} \right )}{9}+\frac{x+2}{3(x^2+x+1)}+C

Soal Integral Legendaris Akar Kuadrat tan x dx

Banyak yang sudah membahas soal ini di Youtube walaupun orang mancanegara. Integral ini tidak dapat diselesaikan menggunakan metode substitusi! Saya akan menyelesaikan dengan cara manipulasi dan tentunya melibatkan identitas trigonometri. Cara yang digunakan adalah mengubah √tan x menjadi 1/2 (√tan x + √cot x + √tan x – √cot x) dan dijadikan seperti berikut:

\displaystyle \int \sqrt{\tan x}\: dx\\ =\int \frac{\sqrt{\tan x}+\sqrt{\cot x}+\sqrt{\tan x}-\sqrt{\cot x}}{2}\: dx\\ =\int \left ( \frac{\sqrt{\tan x}+\sqrt{\cot x}}{2}+\frac{\sqrt{\tan x}-\sqrt{\cot x}}{2} \right )dx\\ =\frac{1}{2}\int \left ( \sqrt{\frac{\sin x}{\cos x}}+\sqrt{\frac{\cos x}{\sin x}} \right )dx+\frac{1}{2}\int \left ( \sqrt{\frac{\sin x}{\cos x}}-\sqrt{\frac{\cos x}{\sin x}} \right )dx

Kemudian kita gunakan manipulasi dengan cara mengkuadratkan \displaystyle \sqrt{\frac{\sin x}{\cos x}}+\sqrt{\frac{\cos x}{\sin x}} dan \displaystyle \sqrt{\frac{\sin x}{\cos x}}-\sqrt{\frac{\cos x}{\sin x}} lalu diakarkan kembali. Misal: \displaystyle a=\sqrt{\frac{\sin x}{\cos x}}+\sqrt{\frac{\cos x}{\sin x}}, maka:

\displaystyle a=\sqrt{\frac{\sin x}{\cos x}}+\sqrt{\frac{\cos x}{\sin x}}\\ a^2=\frac{\sin x}{\cos x}+2+\frac{\cos x}{\sin x}=\frac{\sin^2 x+2\sin x\cos x+\cos^2 x}{\sin x\cos x}=\frac{(\sin x+\cos x)^2}{\sin x\cos x}\\ a=\frac{\sin x+\cos x}{\sqrt{\sin x\cos x}}

Untuk \displaystyle \sqrt{\frac{\sin x}{\cos x}}-\sqrt{\frac{\cos x}{\sin x}}\\ caranya sama. Jadi:

\displaystyle =\frac{1}{2}\int \left ( \sqrt{\frac{\sin x}{\cos x}}+\sqrt{\frac{\cos x}{\sin x}} \right )dx+\frac{1}{2}\int \left ( \sqrt{\frac{\sin x}{\cos x}}-\sqrt{\frac{\cos x}{\sin x}} \right )dx\\ =\frac{1}{2}\int \frac{\sin x+\cos x}{\sqrt{\sin x\cos x}}\: dx+\frac{1}{2}\int \frac{\sin x-\cos x}{\sqrt{\sin x\cos x}}\: dx\\ =\frac{1}{2}\int \frac{\sin x+\cos x}{\sqrt{\frac{\sin 2x}{2}}}\: dx+\frac{1}{2}\int \frac{\sin x-\cos x}{\sqrt{\frac{\sin 2x}{2}}}\: dx\\ =\frac{\sqrt{2}}{2}\int \frac{\sin x+\cos x}{\sqrt{\sin 2x}}\: dx+\frac{\sqrt{2}}{2}\int \frac{\sin x-\cos x}{\sqrt{\sin 2x}}\: dx\\ =\frac{1}{\sqrt{2}}\int \frac{\sin x+\cos x}{\sqrt{\sin 2x}}\: dx+\frac{1}{\sqrt{2}}\int \frac{\sin x-\cos x}{\sqrt{\sin 2x}}\: dx\\ =\frac{1}{\sqrt{2}}\int \frac{\sin x+\cos x}{\sqrt{1-(1-\sin 2x)}}\: dx+\frac{1}{\sqrt{2}}\int \frac{\sin x-\cos x}{\sqrt{(1+\sin 2x)-1}}\: dx\\ =\frac{1}{\sqrt{2}}\int \frac{\sin x+\cos x}{\sqrt{1-(\sin^2 x+\cos^2 x-2\sin x\cos x)}}\: dx+\frac{1}{\sqrt{2}}\int \frac{\sin x-\cos x}{\sqrt{(\sin^2 x+\cos^2 x+2\sin x\cos x)-1}}\: dx\\ =\frac{1}{\sqrt{2}}\int \frac{\sin x+\cos x}{\sqrt{1-(\sin x-\cos x)^2}}\: dx+\frac{1}{\sqrt{2}}\int \frac{\sin x-\cos x}{\sqrt{(\sin x+\cos x)^2-1}}\: dx

Akhirnya bentuk yang diperoleh bisa diselesaikan dengan integral substiusi. Untuk \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}\int \frac{\sin x+\cos x}{\sqrt{1-(\sin x-\cos x)^2}}\: dx

\displaystyle u=\sin x-\cos x\rightarrow \frac{du}{dx}=\cos x+\sin x\\ =\frac{1}{\sqrt{2}}\int \frac{\sin x+\cos x}{\sqrt{1-u^2}}\: \frac{du}{\cos x+\sin x}\\ =\frac{1}{\sqrt{2}}\arcsin (u)=\frac{\sin^{-1}(\sin x-\cos x)}{\sqrt{2}}

dan untuk \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}\int \frac{\sin x-\cos x}{\sqrt{(\sin x+\cos x)^2-1}}\: dx

\displaystyle v=\sin x+\cos x\rightarrow \frac{dv}{dx}=\cos x-\sin x\\ =\frac{1}{\sqrt{2}}\int \frac{\sin x-\cos x}{\sqrt{v^2-1}}\frac{dv}{\cos x-\sin x}\\ =-\frac{1}{\sqrt{2}}\int \frac{\cos x-\sin x}{\sqrt{v^2-1}}\frac{dv}{\cos x-\sin x}\\ =-\frac{1}{\sqrt{2}}\: \mathrm{arcosh}(v)=-\frac{\cosh^{-1}(\sin x+\cos x)}{\sqrt{2}}

Hasil dari pengintegralan ∫ √tan x dx adalah:

\displaystyle \int \sqrt{\tan x}\: dx\\ =\frac{1}{\sqrt{2}}\int \frac{\sin x+\cos x}{\sqrt{1-(\sin x-\cos x)^2}}\: dx+\frac{1}{\sqrt{2}}\int \frac{\sin x+\cos x}{\sqrt{(\sin x+\cos x)^2-1}}\: dx\\ =\frac{\sin^{-1}(\sin x-\cos x)}{\sqrt{2}}+\left [ -\frac{\cosh^{-1}(\sin x+\cos x)}{\sqrt{2}} \right ]+C\\ =\frac{\sin^{-1}(\sin x-\cos x)-\cosh^{-1}(\sin x+\cos x)}{\sqrt{2}}+C

How to integrate ∫ x √(x² + 2x + 2) dx ?

Langkah pertama kita manipulasi menjadi seperti berikut:

\displaystyle \int x\sqrt{x^2+2x+2}\: dx\\ =\int [(x+1)-1]\sqrt{x^2+2x+2}\: dx\\\\ =\int \left [ (x+1)\sqrt{x^2+2x+2}-\sqrt{x^2+2x+2} \right ]dx\\ =\int (x+1)\sqrt{x^2+2x+2}\: dx-\int \sqrt{x^2+2x+2}\: dx

Kita integralkan satu persatu agar penyelesaian lebih mudah:

\displaystyle \int (x+1)\sqrt{x^2+2x+2}\: dx\\ u=x^2+2x+2\rightarrow \frac{du}{dx}=2x+2\\ =\int (x+1)\sqrt{u}\: \frac{du}{2x+2}\\ =\frac{1}{2}\int \sqrt{u}\: du\\ =\frac{1}{2}\left ( \frac{2}{3}u^{\frac{3}{2}} \right )\\ =\frac{1}{3}\left ( x^2+2x+2 \right )^{\frac{3}{2}}

Sampai langkah ini pemberian konstanta (C) belum diberikan karena ini bukan hasil akhir (jawaban) dari soal. Selanjutnya masih menggunakan manipulasi aljabar untuk mengintegralkan ∫ √(x² + 2x + 2) dx:

\displaystyle \int \sqrt{x^2+2x+2}\: dx\\ =\int \sqrt{x^2+2x+1+1}\: dx\\ =\int \sqrt{(x+1)^2+1}\: dx\\ v=x+1\rightarrow \frac{dv}{dx}=1\\ =\int \sqrt{v^2+1}\: dv

Bentuk integral ini diselesaikan dengan substitusi trigonometri atau dengan substitusi fungsi hiperbolik. Kita gunakan kedua metode untuk menunjukkan kebenarannya. Perhatikan gambar berikut:

Substitusi Trigonometri dann Hiperbolik

\displaystyle \int \sqrt{v^2+1}\: dv\\ =\int \sqrt{\tan^2 \theta+1}\: \sec^2\theta\: d\theta\\ =\int \sec^3\theta\: d\theta\\ =\frac{\ln |\tan\theta +\sec\theta |+\tan\theta \sec\theta }{2}\\ =\frac{\ln |v +\sqrt{v^2+1} |+v \sqrt{v^2+1} }{2}\\ =\frac{\sinh^{-1}(v)+v \sqrt{v^2+1} }{2}\\ =\frac{\sinh^{-1}(x+1)+x+1 \sqrt{(x+1)^2+1} }{2}

Belum merupakan hasil akhir, pemberian C belum diberikan. Sekarang dicoba dengan substitusi hiperbolik:

\displaystyle \int \sqrt{v^2+1}\: dv\\ v=\sinh u\rightarrow \frac{dv}{du}=\cosh u\\ =\int \sqrt{\sinh^2 u+1}\: \cosh u\: du\\ =\int \cosh^2 u\: du\\ =\frac{1}{2}\int (1+\cosh 2u)du\\ =\frac{1}{2}\left ( u+\frac{1}{2}\sinh 2u \right )\\ =\frac{u+\sinh u\cosh u}{2}\\ =\frac{u+\sinh u\sqrt{1+\sinh^2 u}}{2}\\ =\frac{\sinh^{-1}(v)+v\sqrt{1+v^2}}{2}\\ =\frac{\sinh^{-1}(x+1)+x+1\sqrt{(x+1)^2+1}}{2}

Jadi:

\displaystyle \int x\sqrt{x^2+2x+2}\: dx\\ =\frac{\left ( x^2+2x+2 \right )^{\frac{3}{2}}}{3}-\frac{\sinh^{-1}(x+1)+x+1\sqrt{(x+1)^2+1}}{2}+C\\ =\frac{2(x^2+2x+2)\sqrt{x^2+2x+2}-3\sinh^{-1}(x+1)-(3x+3)\sqrt{x^2+2x+2}}{6}+C\\ =\frac{\sqrt{x^2+2x+2}\: [(2x^2+4x+4)-(3x+3)]-3\sinh^{-1}(x+1)}{6}+C\\ =\frac{(2x^2+x+1)\sqrt{x^2+2x+2}-3\sinh^{-1}(x+1)}{6}+C